Безызлучательный диэлектрический волновод

Рисунок 1

Волновод безизлучающего диэлектрика (NRD) был представлен Йонеямой в 1981 году. ^[1] На рис. 1 показаны крестики: он состоит из диэлектрической прямоугольной пластины высотой (а) и ширины (б), которая помещена между двумя металлические параллельные пластины подходящей ширины. Структура практически такая же, как у H-волновода, предложенного Тишером в 1953 году. ^{[2] [3]} Благодаря диэлектрической пластине электромагнитное поле удерживается вблизи диэлектрической области, тогда как для подходящих частот - во внешней области. , электромагнитное поле затухает экспоненциально. Поэтому, если металлические пластины достаточно вытянуты, поле на концах пластин практически незначительно, и поэтому ситуация не сильно отличается от идеального случая, когда пластины бесконечно вытянуты. Поляризация электрического поля в требуемом режиме преимущественно параллельна проводящим стенкам. Как известно, если электрическое поле параллельно стенкам, потери проводимости в металлических стенках уменьшаются с увеличением частоты, тогда как, если поле перпендикулярно стенкам , потери увеличиваются с увеличением частоты. Поскольку волновод NRD был разработан для его реализации на миллиметровых волнах , выбранная поляризация минимизирует омические потери в металлических стенках.

Существенная разница между H-волноводом и NRD-волноводом состоит в том, что в последнем расстояние между металлическими пластинами составляет менее половины длины волны в вакууме , тогда как в H-волноводе расстояние больше. Потери проводимости в металлических пластинах уменьшаются с увеличением расстояния. Следовательно, это расстояние больше в H-волноводе, используемом в качестве среды передачи на большие расстояния; вместо этого волновод NRD используется для приложений интегральных схем миллиметрового диапазона , для которых типичны очень короткие расстояния. Таким образом, увеличение потерь не имеет большого значения.

Выбор небольшого расстояния между металлическими пластинами имеет фундаментальное последствие, заключающееся в том, что требуемый режим получается ниже порогового значения во внешних областях воздуха. Таким образом, любой разрыв, например изгиб или соединение, является чисто реактивным. Это позволяет свести к минимуму излучение и помехи (отсюда и название безызлучательного руководства); этот факт имеет жизненно важное значение в приложениях интегральных схем. Вместо этого, в случае H-волновода, вышеупомянутые разрывы вызывают явления излучения и интерференции, поскольку желаемая мода, находясь выше границы, может распространяться наружу. В любом случае важно отметить, что, если эти разрывы изменяют симметрию конструкции относительно средней горизонтальной плоскости , в параллельной металлической пластинчатой ​​направляющей все равно возникает излучение в форме ТЕМ-моды , и эта мода приводит к превышению порога отсечки. , расстояние между пластинами может быть невелико. Этот аспект всегда необходимо учитывать при проектировании различных компонентов и соединений, и в то же время большое внимание следует уделять прилеганию диэлектрической пластины к металлическим стенкам, поскольку возникают вышеупомянутые явления потерь. ^[4] Это происходит, когда вообще любая асимметрия в поперечном сечении ограниченного режима переходит в «протекающий» режим.

Закон дисперсии в волноводе NRD

фигура 2

Дисперсионное соотношение , уравнение, определяющее постоянную продольного распространения , является функцией частоты и геометрических параметров для различных мод конструкции. В данном случае, однако, это соотношение не может быть выражено явно, как это проверяется в наиболее элементарном случае прямоугольного волновода , а неявно задается трансцендентным уравнением . ${\displaystyle k_{z}=\beta -j\alpha }$

Метод поперечного резонанса

Рисунок 3

Чтобы получить дисперсионное соотношение, можно поступить двумя разными способами. Первый, более простой с аналитической точки зрения, заключается в применении метода поперечного резонанса ^[4] для получения поперечной эквивалентной сети. Согласно этому методу будет применяться условие резонанса в поперечном направлении. Это условие приводит к трансцендентному уравнению, которое при численном решении дает возможные значения поперечных волновых чисел . Используя известное соотношение разделимости , связывающее волновые числа в различных направлениях и частотах, можно получить значения постоянной продольного распространения k _z для различных мод.

Предполагается, что потери на излучение, поскольку фактически металлические пластины имеют конечную ширину, пренебрежимо малы. Действительно, если предположить, что затухание поля во внешних воздушных областях на отверстии пренебрежимо мало , можно предположить, что ситуация по существу совпадает с идеальным случаем металлических пластин, имеющих бесконечную ширину. Таким образом, можно предположить поперечную эквивалентную сетку, показанную на рис. 2. На нем k _xε и k _x0 — волновые числа в поперечном направлении x, в диэлектрике и в воздухе соответственно; Y _ε и Y ₀ — соответствующие характеристические проводимости эквивалентной линии передачи . Наличие металлических пластин, считающихся идеально проводящими, накладывает возможные значения волнового числа в вертикальном направлении y: , с m = 0, 1, 2, ... Эти значения в воздухе такие же, как и в диэлектрических областях. . Как упоминалось выше, волновые числа должны удовлетворять соотношениям разделимости. В воздушной области, уподобленной вакууму, получается ${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{a}}}$

${\displaystyle k_{o}^{2}=\left({\frac {2\pi }{\lambda _{o}}}\right)^{2}=k_{xo}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=-\left|k_{xo}\right|^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ (1)}$

k _o и λ _{o -} волновое число и длина волны в вакууме соответственно. Предполагается, что k _z  = β, поскольку структура неизлучающая и не имеет потерь, причем k _xo = – j | к _хо  | , потому что поле должно быть мимолетным в воздушных регионах. Вместо этого в диэлектрической области

${\displaystyle k^{2}=k_{o}^{2}\varepsilon _{r}=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ \ \ (2)}$

где k и λ — волновое число и длина волны соответственно в диэлектрической области, а — относительная диэлектрическая проницаемость . ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

В отличие от k _xo , k _xε действительно и соответствует конфигурации стоячих волн внутри диэлектрической области. Волновые числа k _y и k _z одинаковы во всех областях. Этот факт обусловлен условиями непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на границе раздела. Как следствие, достигается непрерывность напряжения и тока в эквивалентной линии передачи. Таким образом, метод поперечного резонанса автоматически учитывает граничные условия на металлических стенках и условия сплошности на границе раздела воздух-диэлектрик.

Анализируя возможные поперечные моды, в воздушных областях (будучи ) вдоль x может распространяться только мода с m = 0; эта мода представляет собой моду ТЕМ, распространяющуюся под углом в плоскости xz, с ненулевыми компонентами поля E _y , H _x , H _z . Эта мода всегда возникает выше отсечки, независимо от того, мало ли a , но она не возбуждается, если сохраняется симметрия структуры относительно средней плоскости y = a/2. Фактически в симметричных структурах не возбуждаются моды с поляризацией, отличной от поляризации возбуждающего поля. Вместо этого в диэлектрической области имеется . Мода с индексом m находится выше отсечки, если a/λ > m/2. Например, если ε _r = 2,56, ( полистирол ), f = 50 ГГц и a = 2,7 мм, то это a/λo = 0,45 и a/λ = 0,72. Поэтому в диэлектрической области моды с m=1 находятся выше границы, а моды с m=2 ниже границы (1/2 < 0,72 < 1). ${\displaystyle a<{\frac {\lambda _{o}}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{o}}{\sqrt {\varepsilon _{r}}}}}$

В направляющей NRD, как и в направляющей H, из-за наличия диэлектрической полоски граничные условия не могут быть удовлетворены модами TEM, TM или (m≠0) TE относительно продольного направления z. Таким образом, моды структуры будут гибридными, то есть обе продольные компоненты поля отличны от нуля. К счастью, желаемым режимом является режим TM относительно горизонтального направления x, вдоль которого принята эквивалентная линия передачи. Поэтому согласно известным выражениям характеристических адмиттансов ТМ-мод

${\displaystyle Y_{o}={\frac {\omega \varepsilon _{o}}{k_{xo}}}\ \ \ \ Y_{\varepsilon }={\frac {\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}{k_{x\varepsilon }}}\ \ \ \ \ (3)}$

где

${\displaystyle k_{xo}=-j\left|k_{xo}\right|}$

Поперечная эквивалентная сеть на рис. 2 дополнительно упрощается с использованием геометрической симметрии структуры относительно средней плоскости x=0 и с учетом поляризации электрического поля для требуемой моды, которая является вектором, ортогональным средней плоскости. В этом случае можно разделить конструкцию пополам вертикальной металлической плоскостью без изменения граничных условий и, следовательно, внутренней конфигурации электромагнитного поля. Это соответствует короткому замыканию пополам в эквивалентной линии передачи, как упрощенная сеть показана на рис. 3.

Тогда можно применить условие поперечного резонанса вдоль горизонтального направления x, выражаемое соотношением:

${\displaystyle {\overleftarrow {Y}}+{\overrightarrow {Y}}=0\ \ \ \ \ \ }$

где

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}\ \ \ and\ \ \ {\overrightarrow {Y}}\ \ }$

— это пропускные способности, направленные соответственно влево и вправо по отношению к произвольному сечению T.

Выбор эталонного сечения, как показано на рис. 3, , поскольку линия бесконечна вправо. Глядя налево, это ${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}}$

${\displaystyle {\overleftarrow {Y}}=-jY_{\varepsilon }cot(k_{x\varepsilon }w)}$

Тогда вводя выражение характеристических адмиттансов в условие резонанса:

${\displaystyle -jY_{\varepsilon }cot(k_{x\varepsilon }w)+Y_{o}=0}$

выводится дисперсионное уравнение:

${\displaystyle -j\varepsilon _{r}k_{xo}cot(k_{x\varepsilon }w)+k_{x\varepsilon }=0\ \ \ \ (4)}$

Более того, из (1) и (2) получаем

${\displaystyle k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}}-({\frac {m\pi }{a}})^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {1-({\frac {m\pi }{ak_{o}}})^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}}$

${\displaystyle k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}\varepsilon _{r}}-({\frac {m\pi }{a}})^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-({\frac {m\pi }{ak_{o}}})^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}}$

Поэтому можно считать нормированной неизвестной , где – так называемая эффективная относительная диэлектрическая проницаемость проводника. ${\displaystyle {\frac {\beta }{k_{o}}}={\sqrt {\varepsilon _{eff}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{eff}}$

Частота среза f _c получается путем решения дисперсионного уравнения для β =0.

Важно отметить, что из-за наличия двух диэлектриков решение зависит от частоты, то есть значение β для любой частоты нельзя просто получить из частоты среза, как это было бы для одного диэлектрика, при который: . В нашем случае вместо этого необходимо решить дисперсионное уравнение для каждого значения частоты. Двойным образом можно рассматривать режимы TE относительно x. В этом случае выражения для характеристических адмиттансов имеют вид (μ=μ _o ): ${\displaystyle \beta ={\sqrt {k^{2}-k_{t}^{2}}}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \varepsilon -\omega _{c}^{2}\mu \varepsilon }}}$

${\displaystyle Y_{o}={\frac {k_{xo}}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ ,\ \ \ \ Y_{\varepsilon }={\frac {k_{x\varepsilon }}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ \ \ \ \ (5)}$

Более того, в этом случае магнитное поле ортогонально средней плоскости x=0. Следовательно, можно разделить конструкцию с идеальной магнитной стенкой пополам, что соответствует разделению пополам с разомкнутой цепью, получив схему, показанную на рис. 4. Тогда относительно плоскости Т она будет равна: , откуда получается дисперсионное уравнение : ${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ ,\ \ \ {\overleftarrow {Y}}=jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }w)}$

${\displaystyle jk_{x\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }w)+k_{xo}=0\ \ \ (6)}$

Очевидно, что результаты, полученные здесь для дисперсионного поведения, могут быть получены из полной поперечной эквивалентной сети без делений пополам, показанной на рис. 2. В этом случае, относительно плоскости T, получаем

${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}=Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}tan(k_{x\varepsilon }b)}}}$

а потом

${\displaystyle Y_{o}+Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}tan(k_{x\varepsilon }b)}}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)}$

Это зависит от того, рассматриваются ли режимы TM или TE относительно направления x, так что уравнения (3) или (5) можно использовать для соответствующих характеристик проводимости.

Тогда, как было показано ранее, метод поперечного резонанса позволяет легко получить дисперсионное уравнение для волновода NRD.

Однако конфигурация электромагнитного поля в трех регионах подробно не рассматривалась. Дополнительную информацию можно получить с помощью метода модального расширения.

Определение гибридных режимов

Рисунок 4

Применительно к поперечному сечению направляющей, показанному на рис. 1, поля TM и TE можно рассматривать относительно продольного направления z, вдоль которого направляющая является однородной. Как уже было сказано, в волноводе NRD ТМ или (m≠0) ТЕ моды относительно направления z существовать не могут, поскольку они не могут удовлетворять условиям, налагаемым наличием диэлектрической пластины. Однако известно, что мода распространения внутри направляющей структуры может быть выражена как суперпозиция поля ТМ и поля ТЕ относительно z.

Более того, поле ТМ может быть получено из чисто продольного векторного потенциала Лоренца . Тогда электромагнитное поле можно вывести из общих формул: ${\displaystyle {\underline {A}}}$

${\displaystyle {\underline {H}}=\triangledown \times {\underline {A}}\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {E}}=-j\omega \mu {\underline {A}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {A}}}{j\omega \varepsilon }}\ \ \ \ \ \ (8)}$

Двойным образом поле TE может быть получено из чисто продольного векторного потенциала . Электромагнитное поле выражается: ${\displaystyle {\underline {F}}}$

${\displaystyle {\underline {E}}=-\triangledown \times {\underline {F}}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {H}}=-j\omega {\underline {F}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {F}}}{j\omega \mu }}\ \ \ \ \ \ \ (9)}$

Ввиду цилиндрической симметрии конструкции вдоль направления z можно предположить:

${\displaystyle {\underline {A}}=A_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ \ (10)}$

${\displaystyle {\underline {F}}=F_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ (11)}$

Как известно, в области без источника потенциал должен удовлетворять однородному электромагнитному волновому уравнению Гельмгольца :

${\displaystyle \triangledown ^{2}A_{z}+k^{2}A_{z}=0\ \ \ \ \ \ (12)}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}F_{z}+k^{2}F_{z}=0\ \ \ \ \ \ (13)}$

Из уравнений. (10)-(13), получаем

${\displaystyle {\frac {d^{2}L}{dz^{2}}}+k_{z}^{2}L=0\ \ \ \ \ \ (14)}$

${\displaystyle \triangledown _{t}^{2}T+k_{t}^{2}T=0\ \ \ \ \ \ (15)}$

где k _z – волновое число в продольном направлении,

${\displaystyle \triangledown _{t}^{2}=\triangledown ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\ \ \ and\ \ \ k_{t}^{2}=k^{2}-k_{z}^{2}}$ .

Для случая k _z ≠ 0 общее решение уравнения. (14) определяется следующим образом:

${\displaystyle L(z)=L_{o}^{\dotplus }e^{-jk_{z}z}+L_{o}^{-}e^{jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (16)}$

Далее предположим, что присутствует только прямая бегущая волна (L _o ⁻ = 0). Волновые числа k _y и k _z должны быть одинаковыми в диэлектрике и в воздушной области, чтобы удовлетворить условию непрерывности тангенциальных компонент поля. При этом k _z должно быть одинаковым как в ТМ, так и в полях ТЕ.

уравнение (15) можно решить методом разделения переменных . Полагая , получаем ${\displaystyle T(x,y)=X(x)Y(y)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+k_{x}^{2}X=0\ \ \ \ \ \ \ (17)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+k_{y}^{2}Y=0\ \ \ \ \ \ \ \ (18)}$

где ${\displaystyle Y(y)=C_{1}\cos(k_{y}y)+C_{2}sin(k_{y}y)}$

Для поля ТМ решение уравнения. (18) с учетом граничных условий при y = 0 и y = a имеет вид:

${\displaystyle sin({\frac {m\pi }{a}}y)\ \ \ \ \ (m=1,2,3,...)}$.

Для поля TE аналогично получаем:

${\displaystyle cos({\frac {m\pi }{a}}y)\ \ \ \ \ \ (m=1,2,3,...)}$.

Что касается уравнения. Для общего решения (17) выбран следующий вид:

${\displaystyle X(x)=C_{3}e^{-jk_{x}x}+C_{4}e^{jk_{x}x}}$

Поэтому для различных регионов предположим, что:

Диэлектрическая область (-w <x <w)

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{TM}=sin({\frac {m\pi }{a}}y)\cdot (Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ m=0,1,2,...\ \ \ \ \ \ (19)}$

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{TE}=cos({\frac {m\pi }{a}}y)\cdot (Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ \ m=1,2,3,...\ \ \ \ (20)}$

где

${\displaystyle k_{x\varepsilon }=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-({\frac {m\pi }{k_{o}a}})^{2}-({\frac {k_{z}}{k_{o}}})^{2}}}\ \ \ \ (21)}$

Воздушная область справа (x > w)

${\displaystyle T_{o+}^{TM}=Esin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ (22)}$

${\displaystyle T_{o+}^{TE}=Fcos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)}$

Воздушная область слева (x < w)

${\displaystyle T_{o-}^{TM}=Gsin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{jk_{xo}(x+w)}\ \ \ \ \ \ \ (24)}$

${\displaystyle T_{o-}^{TE}=Hcos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ (25)}$

В воздушных регионах получают

${\displaystyle k_{xo}=k_{o}{\sqrt {1-({\frac {m\pi }{k_{o}a}})^{2}-({\frac {k_{z}}{k_{o}}})^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ (26)}$

Восемь констант A, B, C, D, E, F, G, H определяются путем наложения восьми условий непрерывности тангенциальных составляющих E _y , E _z , H _y , H _z электромагнитного поля в точке x = w и при x = – w.

Различные компоненты поля определяются следующим образом:

${\displaystyle E_{x}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ \ \ \ (27)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ \ (28)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}\ \ \ \ \ \ \ (29)}$

${\displaystyle H_{x}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ (30)}$

${\displaystyle H_{y}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ (31)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}\ \ \ \ (32)}$

Накладывая условия непрерывности на каждом интерфейсе,

${\displaystyle -{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}}}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TE}=-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TE}}$

${\displaystyle {\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}}}\ T_{o}^{TM}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{r}\varepsilon _{o}}}T_{\varepsilon }^{TM}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TE}=-{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TE}}$

${\displaystyle {\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}\ T_{o}^{TE}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}^{TE}}$

где первые члены относятся к воздушным областям, а вторые - к диэлектрической области.

Вводя уравнения (19), (20) и (22)–(25) в четыре условия непрерывности при x = w, константы E и F можно выразить через A, B, C, D, которые связаны двумя отношениями.

Аналогично на границе раздела x = -w константы G и H могут быть выражены через A, B, C, D. Тогда выражения компонентов электромагнитного поля принимают вид:

Диэлектрическая область (-w <x <w)

${\displaystyle E_{x}=\left[j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (33)}$

${\displaystyle E_{y}=\left[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})-jk_{x\varepsilon }(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (34)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (35)}$

${\displaystyle H_{x}=\left[{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})+j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (36)}$

${\displaystyle H_{y}=\left[jk_{x\varepsilon }(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (37)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (38)}$

Воздушная область справа (x > w)

${\displaystyle E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (39)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (40)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (41)}$

${\displaystyle H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (42)}$

${\displaystyle H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{x0}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (43)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (44)}$

Воздушная область слева (x < -w)

${\displaystyle E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {-jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (45)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (46)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (47)}$

${\displaystyle H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (48)}$

${\displaystyle H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (49)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (50)}$

Эти выражения не получены непосредственно методом поперечного резонанса.

Наконец, из остальных условий непрерывности получается однородная система четырех уравнений с четырьмя неизвестными A, B, C, D. Нетривиальные решения находятся, если предположить, что определитель коэффициентов равен нулю . Таким образом, используя уравнения (21) и (26), получают дисперсионное уравнение, которое дает возможное значение постоянной продольного распространения k _{z для различных мод.}

Тогда неизвестные A, B, C, D могут быть найдены, кроме произвольного множителя.

Чтобы получить граничные частоты различных мод, достаточно положить в определитель k _z =0 и решить уравнение, теперь сильно упрощенное, относительно частоты. Подобного упрощения не происходит при использовании метода поперечного резонанса, поскольку k _z появляется лишь неявно; тогда уравнения, которые необходимо решить для получения частот среза, формально одинаковы.

Более простой анализ, снова разложив поле как суперпозицию мод, можно получить, учитывая ориентацию электрического поля для требуемой моды и разделив структуру с идеально проводящей стенкой пополам, как это сделано на рис. 3. В этом случае В этом случае имеется только две области, необходимо определить только шесть неизвестных и условий непрерывности также шесть (непрерывность E _y , E _z , H _y , H _z для x = w и исчезновение E _y , E _z для х=0).

Наконец, важно отметить, что полученное дисперсионное уравнение факторизуется в произведение двух выражений, которые совпадают с дисперсионным уравнением для мод TE и TM относительно направления x соответственно. Таким образом, все решения принадлежат этим двум классам мод.

Рекомендации

1. Т. Йонеяма, С. Нисида, «Неизлучающий диэлектрический волновод для интегральных схем миллиметрового диапазона», IEEE Trans. Теория микроволнового излучения. МТТ-29, стр. 1188–1192, ноябрь 1981 г.
2. Ф. Дж. Тишер, «Волноводная структура с низкими потерями», Arch. Элект. Убертрагунг, 1953, вып. 7, с. 592.
3. Ф. Дж. Тишер, «Свойства H-проводника в микроволновом и миллиметровом диапазонах волн», Proc. ИЭЭ, 1959, 106 Б, доп. 13, с. 47.
4. AA Oliner , ST Peng, KM Sheng, «Утечка из-за разрыва в руководстве NRD», Дайджест IEEE MTT-S 1985 г., стр. 619–622.