Бессодержательная правда

Условное утверждение, которое является истинным, поскольку антецедент не может быть удовлетворен

В математике и логике пустая истина — это условное или всеобщее утверждение (всеобщее утверждение, которое можно преобразовать в условное утверждение), которое является истинным, потому что антецедент не может быть удовлетворен . ^[1] Иногда говорят, что утверждение является пустоистинным, потому что оно на самом деле ничего не говорит. ^[2] Например, утверждение «все мобильные телефоны в комнате выключены» будет истинным , когда в комнате нет мобильных телефонов. В этом случае утверждение «все мобильные телефоны в комнате включены » также будет пустоистинным, как и их конъюнкция : «все мобильные телефоны в комнате включены и выключены», которая в противном случае была бы бессвязной и ложной.

Более формально, относительно четко определенное использование относится к условному утверждению (или универсальному условному утверждению) с ложным антецедентом . ^{[1] [3] [2] [4]} Одним из примеров такого утверждения является «если Токио находится в Испании, то Эйфелева башня находится в Боливии».

Такие утверждения считаются пустыми истинами, поскольку тот факт, что антецедент является ложным, не позволяет использовать утверждение для вывода чего-либо об истинностном значении консеквента . По сути, условное утверждение, основанное на материальном условном выражении , является истинным, когда антецедент («Токио находится в Испании» в примере) является ложным, независимо от того, является ли заключение или консеквент («Эйфелева башня находится в Боливии» в примере) истинным или ложным, поскольку материальное условное выражение определено таким образом.

Примерами, распространенными в повседневной речи, являются условные фразы, используемые в качестве идиом невероятности, такие как «когда ад замерзнет...» и «когда свиньи смогут летать...», указывающие на то, что только после того, как данное (невозможное) условие будет выполнено, говорящий примет некоторое соответствующее (обычно ложное или абсурдное) утверждение.

В чистой математике пустословно истинные утверждения сами по себе, как правило, не представляют интереса, но они часто возникают как базовый случай доказательств методом математической индукции . ^[5] Это понятие имеет значение в чистой математике , а также в любой другой области, которая использует классическую логику .

За пределами математики утверждения в форме пустой истины, хотя и логически обоснованные, тем не менее могут вводить в заблуждение. Такие утверждения делают обоснованные утверждения о квалифицированных объектах, которые на самом деле не существуют . Например, ребенок может правдиво сказать своему родителю: «Я съел все овощи на своей тарелке», когда на тарелке ребенка изначально не было никаких овощей. В этом случае родитель может поверить, что ребенок на самом деле съел некоторые овощи, даже если это не так.

Область применения концепции

Утверждение является «бессодержательно истинным», если оно напоминает материальное условное утверждение , где антецедент , как известно, является ложным. ^{[1] [3] [2]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

К бессодержательно истинным утверждениям, которые можно свести ( с помощью соответствующих преобразований ) к этой базовой форме (материально-условным), относятся следующие универсально квантифицированные утверждения:

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$, где это тот случай, когда . ^[4] ${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, где множество пусто . ${\displaystyle A}$
  • Эту логическую форму можно преобразовать в материальную условную форму, чтобы легко определить антецедент . Для приведенного выше примера «все сотовые телефоны в комнате выключены» его можно формально записать как где — множество всех сотовых телефонов в комнате, а « выключен». Это можно записать в материальное условное выражение, где — множество всех вещей в комнате (включая сотовые телефоны, если они есть в комнате), антецедент — « является сотовым телефоном», а консеквент — « выключен». ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$, где символ ограничен типом , не имеющим представителей. ${\displaystyle \xi }$

Пустые истины чаще всего появляются в классической логике с двумя значениями истинности . Однако пустые истины могут также появляться, например, в интуиционистской логике , в тех же ситуациях, что приведены выше. Действительно, если является ложным, то даст пустую истину в любой логике, которая использует материальное условное ; если является необходимой ложью , то она также даст пустую истину при строгом условном . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

Другие неклассические логики, такие как логика релевантности , могут пытаться избегать пустых истин, используя альтернативные условные конструкции (например, случай контрфактуальных условных конструкций ).

В компьютерном программировании

Во многих средах программирования есть механизм для запроса, удовлетворяет ли каждый элемент в коллекции элементов некоторому предикату. Обычно такой запрос всегда оценивается как истинный для пустой коллекции. Например:

• В JavaScript метод массива выполняет предоставленную функцию обратного вызова один раз для каждого элемента, присутствующего в массиве, останавливаясь только (если и когда) он находит элемент, где функция обратного вызова возвращает false. Примечательно, что вызов метода для пустого массива вернет true для любого условия. ^[6]everyevery
• В Python встроенная all()функция возвращает значение Trueтолько тогда, когда все элементы массива равны Trueили массив имеет нулевую длину, как показано в следующих примерах: all([1,1])==True; all([1,1,0])==False; all([])==True[ ^7] Менее двусмысленный способ выразить это — сказать, что all()возвращает True, когда ни один из элементов не равен False .
• В Rust функция Iterator::allпринимает итератор и предикат и возвращает значение trueтолько тогда, когда предикат возвращает значение trueдля всех элементов, созданных итератором, или если итератор не создает ни одного элемента. ^[8]

Примеры

Эти примеры, один из математики , а другой из естественного языка , иллюстрируют концепцию пустых истин:

• «Для любого целого числа x , если x > 5 , то x > 3 ». ^[9] – Это утверждение верно непусто (так как некоторые целые числа действительно больше 5), но некоторые из его следствий истинны лишь пусто: например, когда x — целое число 2, утверждение подразумевает пустую истину, что «если 2 > 5 , то 2 > 3 ».
• «Все мои дети — козлы» — пустая истина, сказанная человеком без детей. Аналогично, «Ни один из моих детей не козёл» также будет пустой истиной, сказанная тем же человеком.

Смотрите также

• Определенное описание
• Законы де Моргана – в частности, закон, согласно которому универсальное утверждение истинно только в том случае, если не существует контрпримера: ${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• Пустая сумма и пустое произведение
• Пустая функция
• Парадоксы материального смысла , особенно принцип взрыва
• Пресуппозиция , двойной вопрос
• Состояние дел (философия)
• Тавтология (логика) – другой тип истинного утверждения, которое также не передает никакой существенной информации.
• Тривиальность (математика) и вырожденность (математика)

Ссылки

1. "Vacuously true". web.cse.ohio-state.edu . Архивировано из оригинала 18 ноября 2023 г. Получено 15 декабря 2019 г.
2. "Vacuously true - CS2800 wiki". courses.cs.cornell.edu . Архивировано из оригинала 21 июня 2023 г. Получено 15 декабря 2019 г.
3. "Определение: Бессодержательная истина – ProofWiki". proofwiki.org . Получено 15.12.2019 .
4. Edwards, CH (18 января 1998 г.). "Vacuously True" (PDF) . swarthmore.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 28 апреля 2021 г. . Получено 14 декабря 2019 г. .
5. Болдуин, Дуглас Л.; Скрэгг, Грег В. (2011), Алгоритмы и структуры данных: Наука вычислений, Cengage Learning, стр. 261, ISBN 978-1-285-22512-8
6. "Array.prototype.every() - JavaScript | MDN". developer.mozilla.org .
7. «Встроенные функции – Документация Python 3.10.2». docs.python.org .
8. "Итератор в std::iter – Rust". doc.rust-lang.org .
9. "логика – Что именно является пустой истиной?". Mathematics Stack Exchange .

Библиография

• Блэкберн, Саймон (1994). «пустой», Оксфордский философский словарь . Оксфорд: Oxford University Press, стр. 388.
• Дэвид Х. Сэнфорд (1999). "implication". Кембриджский философский словарь , 2-е изд., стр. 420.
• Бир, Илан; Бен-Дэвид, Шохам; Эйснер, Синди; Родех, Йоав (1997). "Эффективное обнаружение пустоты в формулах ACTL". Computer Aided Verification: 9th International Conference, CAV'97 Haifa, Israel, June 22–25, 1997, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science . Vol. 1254. pp. 279–290. doi : 10.1007/3-540-63166-6_28 . ISBN 978-3-540-63166-8.

Внешние ссылки

• Условные утверждения: пустая истина