Бета-функция (физика)

Функция, кодирующая зависимость параметра связи от энергетической шкалы

В теоретической физике , в частности, в квантовой теории поля , бета-функция , β(g) , кодирует зависимость параметра связи , g , от масштаба энергии , μ , данного физического процесса, описываемого квантовой теорией поля . Она определяется как

${\displaystyle \beta (g)=\mu {\frac {\partial g}{\partial \mu }}={\frac {\partial g}{\partial \ln(\mu )}}~,}$

и, из-за базовой группы перенормировки , она не имеет явной зависимости от μ , поэтому она зависит от μ только неявно через g . Эта зависимость от масштаба энергии, заданного таким образом, известна как работа параметра связи, фундаментальная особенность зависимости от масштаба в квантовой теории поля, и ее явное вычисление достижимо с помощью различных математических методов. Концепция бета-функции была введена Эрнстом Штюкельбергом и Андре Петерманом в 1953 году. ^[1]

Масштабная инвариантность

Если бета-функции квантовой теории поля обращаются в нуль, обычно при определенных значениях параметров связи, то говорят, что теория масштабно-инвариантна . Почти все масштабно-инвариантные КТП также являются конформно-инвариантными . Изучение таких теорий называется конформной теорией поля .

Параметры связи квантовой теории поля могут работать, даже если соответствующая классическая теория поля является масштабно-инвариантной. В этом случае ненулевая бета-функция говорит нам, что классическая масштабная инвариантность является аномальной .

Примеры

Бета-функции обычно вычисляются в какой-то аппроксимационной схеме. Примером является теория возмущений , где предполагается, что параметры связи малы. Затем можно сделать разложение по степеням параметров связи и усечь члены более высокого порядка (также известные как вклады более высоких циклов , из-за количества циклов в соответствующих графиках Фейнмана ).

Вот несколько примеров бета-функций, вычисленных в теории возмущений:

Квантовая электродинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовой электродинамике (КЭД) имеет вид

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

или, что то же самое,

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$

записано через постоянную тонкой структуры в натуральных единицах, α = e ² /4π . ^[2]

Эта бета-функция говорит нам, что связь увеличивается с ростом масштаба энергии, и QED становится сильно связанной при высокой энергии. Фактически, связь, по-видимому, становится бесконечной при некоторой конечной энергии, что приводит к полюсу Ландау . Однако нельзя ожидать, что пертурбативная бета-функция даст точные результаты при сильной связи, и поэтому вполне вероятно, что полюс Ландау является артефактом применения теории возмущений в ситуации, когда она больше не действительна.

Квантовая хромодинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовой хромодинамике с ароматами и скалярными цветными бозонами имеет вид ${\displaystyle n_{f}}$ ${\displaystyle n_{s}}$

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

или

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

записано в терминах α _s = . ${\displaystyle g^{2}/4\pi }$

Предполагая, что n _s =0, если n _f ≤ 16, результирующая бета-функция диктует, что связь уменьшается с ростом масштаба энергии, явление, известное как асимптотическая свобода . Наоборот, связь увеличивается с уменьшением масштаба энергии. Это означает, что связь становится большой при низких энергиях, и больше нельзя полагаться на теорию возмущений.

SU(N) Неабелева калибровочная теория

В то время как калибровочная группа (Янга–Миллса) КХД равна , и определяет 3 цвета, мы можем обобщить на любое количество цветов, , с калибровочной группой . Тогда для этой калибровочной группы с фермионами Дирака в представлении и с комплексными скалярами в представлении , однопетлевая бета-функция равна ${\displaystyle SU(3)}$ ${\displaystyle N_{c}}$ ${\displaystyle G=SU(N_{c})}$ ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{s}}$

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

где — квадратичный Казимир для и — другой инвариант Казимира, определяемый для генераторов алгебры Ли в представлении R. (Для фермионов Вейля или Майораны замените на , а для действительных скаляров замените на .) Для калибровочных полей ( т.е. глюонов), обязательно в сопряженном к , ; для фермионов в фундаментальном (или антифундаментальном) представлении , . Тогда для КХД, с , приведенное выше уравнение сводится к приведенному для бета-функции квантовой хромодинамики. ${\displaystyle C_{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T(R)}$ ${\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}$ ${\displaystyle T_{R}^{a,b}}$ ${\displaystyle 4/3}$ ${\displaystyle 2/3}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/6}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T(R)=1/2}$ ${\displaystyle N_{c}=3}$

Этот знаменитый результат был получен почти одновременно в 1973 году Политцером , ^[3] Гроссом и Вильчеком , ^[4] за что все трое были удостоены Нобелевской премии по физике в 2004 году. Без ведома этих авторов, Г. 'т Хоофт объявил о результате в комментарии после выступления К. Симанзика на небольшом собрании в Марселе в июне 1972 года, но он так и не опубликовал его. ^[5]

Стандартная модель связи Хиггса-Юкавы

В Стандартной модели кварки и лептоны имеют « связи Юкавы » с бозоном Хиггса . Они определяют массу частицы. Большинство связей Юкавы кварков и лептонов малы по сравнению со связью Юкавы топ-кварка . Эти связи Юкавы изменяют свои значения в зависимости от шкалы энергий, в которой они измеряются, посредством пробега . Динамика связей Юкавы кварков определяется уравнением ренормгруппы :

${\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)}$,

где — цветовая калибровочная связь (которая является функцией и связана с асимптотической свободой ), а — связь Юкавы. Это уравнение описывает, как связь Юкавы изменяется с масштабом энергии . ${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu }$

Связи Юкавы верхнего, нижнего, очарованного, странного и нижнего кварков малы на чрезвычайно высоком энергетическом масштабе великого объединения , ГэВ. Поэтому в приведенном выше уравнении можно пренебречь членом. Решая, мы затем обнаруживаем, что немного увеличивается на низких энергетических масштабах, на которых массы кварков генерируются Хиггсом, ГэВ. ${\displaystyle \mu \approx 10^{15}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu \approx 100}$

С другой стороны, решения этого уравнения для больших начальных значений заставляют правую часть быстро приближаться к меньшим значениям по мере того, как мы спускаемся по шкале энергии. Затем приведенное выше уравнение фиксируется на связи КХД . Это известно как (инфракрасная) квазификсированная точка уравнения группы ренормализации для связи Юкавы. ^{[6] [7]} Независимо от того, каково начальное начальное значение связи, если оно достаточно велико, оно достигнет этого значения квазификсированной точки, и соответствующая масса кварка будет предсказана. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g_{3}}$

Минимальная суперсимметричная стандартная модель

Исследования группы реномализации в Минимальной суперсимметричной стандартной модели (MSSM) великого объединения и неподвижных точках Хиггса-Юкавы были весьма обнадеживающими, что теория находится на правильном пути. Однако до сих пор никаких свидетельств предсказанных частиц MSSM не было получено в эксперименте на Большом адронном коллайдере .

Смотрите также

• Фиксированная точка Бэнкса–Закса
• Уравнение Каллана–Симанзика
• Квантовая тривиальность

Ссылки

1. Штюкельберг, ЭКГ ; Петерманн, А. (1953). «Перенормировка констант в теории квантов». Хелв. Физ. Акта (на французском языке). 26 : 499–520.
2. Средницки, Марк Аллен (2017). Квантовая теория поля (13-е печатное изд.). Кембридж: Cambridge Univ. Press. стр. 446. ISBN 978-0-521-86449-7.
3. H.David Politzer (1973). «Надежные результаты теории возмущений для сильных взаимодействий?». Phys. Rev. Lett . 30 (26): 1346–1349. Bibcode :1973PhRvL..30.1346P. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1346 .
4. DJ Gross и F. Wilczek (1973). "Asymptotically Free Gauge Theories. 1". Phys. Rev. D. 8 ( 10): 3633–3652. Bibcode :1973PhRvD...8.3633G. doi : 10.1103/PhysRevD.8.3633 ..
5. G. 't Hooft (1999). «Когда была открыта асимптотическая свобода?». Nucl. Phys. B Proc. Suppl . 74 (1): 413–425. arXiv : hep-th/9808154 . Bibcode :1999NuPhS..74..413T. doi :10.1016/S0920-5632(99)00207-8. S2CID  17360560.
6. Пендлтон, Б.; Росс, ГГ (1981). "Предсказания массы и угла смешивания из инфракрасных фиксированных точек". Phys. Lett . B98 (4): 291. Bibcode : 1981PhLB...98..291P. doi : 10.1016/0370-2693(81)90017-4.
7. Хилл, CT (1981). "Массы кварков и лептонов из фиксированных точек группы перенормировки". Phys. Rev. D24 ( 3): 691. Bibcode :1981PhRvD..24..691H. doi :10.1103/PhysRevD.24.691.

Дальнейшее чтение

• Пескин, М. и Шредер, Д.; Введение в квантовую теорию поля, Westview Press (1995). Стандартный вводный текст, охватывающий многие темы в КТП, включая расчет бета-функций; см. особенно главу 16.
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей (3 тома) Cambridge University Press (1995). Монументальный трактат по КТП.
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления, Oxford University Press (2002). Акцент на группе перенормировки и связанных с ней темах.