Биалгебра Ли

В математике биалгебра Ли — это теоретический случай биалгебры Ли : это множество со структурами алгебры Ли и коалгебры Ли , которые совместимы.

Это биалгебра , где умножение кососимметрично и удовлетворяет дуальному тождеству Якоби , так что дуальное векторное пространство является алгеброй Ли , тогда как коумножение является 1- коциклом , так что умножение и коумножение совместимы. Условие коцикла подразумевает, что на практике изучаются только классы биалгебр, которые когомологичны биалгебре Ли на когранице.

Их также называют алгебрами Пуассона-Хопфа , и они являются алгебрами Ли группы Пуассона-Ли .

Биалгебры Ли естественным образом возникают при изучении уравнений Янга–Бакстера .

Определение

Векторные пространства являются биалгебрами Ли, если они являются алгебрами Ли, и на двойственном векторном пространстве также существует структура алгебры Ли , которая совместима. Точнее, структура алгебры Ли на задается скобкой Ли , а структура алгебры Ли на задается скобкой Ли . Тогда двойственное к отображение называется кокоммутатором, а условие совместимости — это следующее отношение коцикла: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta ^{*}}$ ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)}$

где — сопряженный. Обратите внимание, что это определение симметрично и также является биалгеброй Ли, дуальной биалгеброй Ли. ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Пример

Пусть будет любой полупростой алгеброй Ли. Таким образом, чтобы задать структуру биалгебры Ли, нам нужно задать совместимую структуру алгебры Ли на двойственном векторном пространстве. Выберите подалгебру Картана и выбор положительных корней. Пусть будут соответствующими противоположными подалгебрами Бореля, так что и существует естественная проекция . Затем определим алгебру Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}}$

которая является подалгеброй произведения и имеет ту же размерность, что и . Теперь отождествляем с дуальным через сопряжение ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)}$

где и — форма Киллинга. Это определяет структуру биалгебры Ли на , и является «стандартным» примером: она лежит в основе квантовой группы Дринфельда-Джимбо. Обратите внимание, что разрешима, тогда как — полупроста. ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Связь с группами Пуассона–Ли

Алгебра Ли группы Пуассона–Ли G имеет естественную структуру биалгебры Ли. Вкратце, структура группы Ли дает скобку Ли на , как обычно, а линеаризация структуры Пуассона на G дает скобку Ли на (напоминая, что линейная структура Пуассона на векторном пространстве — это то же самое, что скобка Ли на двойственном векторном пространстве). Более подробно, пусть G — группа Пуассона–Ли, причем — две гладкие функции на групповом многообразии. Пусть — дифференциал в единичном элементе. Очевидно, . Тогда структура Пуассона на группе индуцирует скобку на , как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g^{*}}}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)}$ ${\displaystyle \xi =(df)_{e}}$ ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,}$

где — скобка Пуассона . Дано — бивектор Пуассона на многообразии, определим — правый транслятор бивектора в единичный элемент в G. Тогда имеем, что ${\displaystyle \{,\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{R}}$

${\displaystyle \eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

Тогда кокоммутатор — это касательное отображение:

${\displaystyle \delta =T_{e}\eta ^{R}\,}$

так что

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})}$

является двойственным к кокоммутатору.

Смотрите также

• Коалгебра Ли
• Манин тройной

Ссылки

• Х.-Д. Дёбнер, Й.-Д. Хенниг, ред., Квантовые группы, Труды 8-го Международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клаусталь, ФРГ, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN  3-540-53503-9 .
• Виджаянти Чари и Эндрю Пресли, Руководство по квантовым группам , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 . 
• Бейсерт, Н.; Спилл, Ф. (2009). «Классическая r-матрица AdS/CFT и ее структура биалгебры Ли». Сообщения по математической физике . 285 (2): 537–565. arXiv : 0708.1762 . Bibcode : 2009CMaPh.285..537B. doi : 10.1007/s00220-008-0578-2. S2CID  8946457.