Бикатегория

Обобщение категории

В математике бикатегория (или слабая 2-категория ) — это понятие в теории категорий, используемое для расширения понятия категории для обработки случаев, когда композиция морфизмов не является (строго) ассоциативной , а только ассоциативной с точностью до изоморфизма . Понятие было введено в 1967 году Жаном Бенабу .

Бикатегории можно рассматривать как ослабление определения 2-категорий . Похожий процесс для 3-категорий приводит к трикатегориям , и в более общем смысле к слабым n -категориям для n -категорий .

Определение

Формально бикатегория B состоит из:

• объекты a , b , ... называются 0- ячейками ;
• морфизмы f , g , ... с фиксированными исходными и целевыми объектами, называемыми 1- ячейками ;
• «морфизмы между морфизмами» ρ, σ, ... с фиксированными исходными и целевыми морфизмами (которые сами должны иметь один и тот же источник и одну и ту же цель), называемые 2- ячейками ;

с некоторой дополнительной структурой:

• Для двух объектов a и b существует категория B ( a , b ), объекты которой являются 1-ячейками, а морфизмы — 2-ячейками. Композиция в этой категории называется вертикальной композицией ;
• Для трех объектов a , b и c существует бифунктор , называемый горизонтальной композицией . ${\displaystyle *:\mathbf {B} (b,c)\times \mathbf {B} (a,b)\to \mathbf {B} (a,c)}$

Горизонтальная композиция должна быть ассоциативной с точностью до естественного изоморфизма α между морфизмами и . Кроме того, требуется выполнение некоторых дополнительных аксиом когерентности , аналогичных тем, которые необходимы для моноидальных категорий : моноидальная категория — это то же самое, что и бикатегория с одной 0-ячейкой. ${\displaystyle h*(g*f)}$ ${\displaystyle (h*g)*f}$

Пример: Булева моноидальная категория

Рассмотрим простую моноидальную категорию , например моноидальный предпорядок Bool ^[1], основанный на моноиде M = ({T, F}, ∧ , T). Как категория она представлена ​​двумя объектами {T, F} и одним морфизмом g : F → T.

Мы можем переинтерпретировать этот моноид как бикатегорию с единственным объектом x (одной 0-клеткой); эта конструкция аналогична конструкции малой категории из моноида. Объекты {T, F} становятся морфизмами, а морфизм g становится естественным преобразованием (образуя категорию функтора для единственной гомо-категории B ( x , x )).

Ссылки

1. Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (12.10.2018). «Семь набросков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [math.CT].

• J. Bénabou. "Введение в бикатегории, часть I". В Reports of the Midwest Category Seminar , Lecture Notes in Mathematics 47, страницы 1–77. Springer, 1967.

Внешние ссылки

• Бикатегория в n Lab