Большие числа

Числа значительно больше тех, которые используются обычно

Большие числа , далеко выходящие за рамки тех, которые встречаются в повседневной жизни, например, при простом подсчете или финансовых операциях, играют решающую роль в различных областях. Эти обширные величины занимают видное место в математике , космологии , криптографии и статистической механике . Хотя они часто проявляются как большие положительные целые числа , они также могут принимать другие формы в различных контекстах (например, P-адическое число ). Гугология углубляется в соглашения об именовании и свойствах этих огромных числовых сущностей. ^{[1] [2]}

В повседневном мире

Научная нотация была разработана для управления широким диапазоном значений, встречающихся в научных исследованиях. Например, когда мы пишем 1,0 × 10⁹ , мы выражаем один миллиард — единицу с девятью нулями: 1 000 000 000. И наоборот, обратная величина , 1,0 × 10⁻⁹ означает одну миллиардную, что эквивалентно 0,000 000 001. Используя 10 ⁹ вместо явного выписывания всех этих нулей, читатели избавлены от усилий и потенциальной путаницы, связанных с подсчетом расширенной серии нулей, чтобы понять величину числа. Кроме того, наряду с научной нотацией, основанной на степенях 10, существует систематическая номенклатура для больших чисел в короткой шкале

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира:

• Число клеток в организме человека (приблизительно 3,72 × 10¹³ ), или 37,2 триллиона ^[3]
• Количество бит на жестком диске компьютера (по состоянию на 2024 год ^{[обновлять]}, обычно около ¹⁰¹³ , 1–2  ТБ ), или 10 триллионов.
• Число нейронных связей в мозге человека (оценивается в 10 ¹⁴ ), или 100 триллионов
• Постоянная Авогадро — это число «элементарных частиц» (обычно атомов или молекул) в одном моле ; число атомов в 12 граммах углерода-12  — приблизительно6,022 × 10 ²³ , или 602,2 секстиллиона.
• Общее число пар оснований ДНК во всей биомассе на Земле, как возможная аппроксимация глобального биоразнообразия , оценивается в(5,3 ± 3,6) × 10 ³⁷ , или 53±36 ундециллионов ^{[4] [5]}
• Масса Земли составляет около 4 × 10 ⁵¹ , или 4 сексдециллиона, нуклонов.
• Предполагаемое число атомов в наблюдаемой Вселенной (10 ⁸⁰ ), или 100 квинвигинтиллионов
• Нижняя граница сложности игрового дерева в шахматах , также известная как « число Шеннона » (оценивается примерно в 10 ¹²⁰ ), или 1 новемтригинтиллион ^[6]
  • Обратите внимание, что это значение числа Шеннона относится к стандартным шахматам. Оно имеет еще большие значения для вариантов шахмат с большими досками, таких как Grant Acedrex , Tai Shogi и Taikyoku Shogi .

Астрономический

В обширном пространстве астрономии и космологии мы сталкиваемся с ошеломляющими числами, связанными с длиной и временем. Например, согласно преобладающей модели Большого взрыва , наша Вселенная имеет возраст приблизительно 13,8 миллиарда лет (что эквивалентно 4,355 × 10^17 секунд). Наблюдаемая Вселенная охватывает невероятные 93 миллиарда световых лет (примерно 8,8 × 10^26 метров) и содержит около 5 × 10^22 звезд, организованных примерно в 125 миллиардов галактик (согласно наблюдениям космического телескопа Хаббл). По грубой оценке, в наблюдаемой Вселенной находится около 10^80 атомов. ^[7]

По словам Дона Пейджа , физика из Университета Альберты, Канада, самое длинное конечное время, которое до сих пор было явно рассчитано каким-либо физиком, составляет

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ years}}}$

что соответствует масштабу предполагаемого времени повторения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, предполагая определенную инфляционную модель с инфлатоном , масса которого составляет 10−6 ^{планковских} масс . ^{[8] [9]} Это время предполагает статистическую модель, подверженную повторению Пуанкаре. Значительно упрощенный способ размышления об этом времени заключается в модели, в которой история Вселенной повторяется произвольное количество раз из-за свойств статистической механики ; это временной масштаб, когда она впервые будет несколько похожа (для разумного выбора «похожего») на свое текущее состояние снова.

Комбинаторные процессы порождают поразительно большие числа. Факториальная функция, которая количественно определяет перестановки фиксированного набора объектов, растет экспоненциально по мере увеличения числа объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение для этого быстрого роста.

В статистической механике комбинаторные числа достигают столь огромных величин, что их часто выражают с помощью логарифмов .

Числа Гёделя , наряду с аналогичными представлениями битовых строк в алгоритмической теории информации , огромны — даже для математических утверждений умеренной длины. Примечательно, что некоторые патологические числа превосходят даже числа Гёделя, связанные с типичными математическими предложениями.

Логик Харви Фридман внес значительный вклад в изучение очень больших чисел, включая работы, связанные с теоремой Краскала о дереве и теоремой Робертсона–Сеймура .

«Миллиарды и миллиарды»

Чтобы помочь зрителям «Космоса» различать «миллионы» и «миллиарды», астроном Карл Саган подчеркнул букву «б». Однако Саган никогда не говорил « миллиарды и миллиарды ». Ассоциация фразы и Сагана у публики возникла из скетча Tonight Show . Пародируя эффект Сагана, Джонни Карсон пошутил: «миллиарды и миллиарды». ^[10] Однако теперь эта фраза стала юмористическим вымышленным числом — Саганом . Ср. , Единица Сагана .

Примеры

• гугол = ${\displaystyle 10^{100}}$
• центиллион = или , в зависимости от системы наименования чисел ${\displaystyle 10^{303}}$ ${\displaystyle 10^{600}}$
• миллиниллион = или , в зависимости от системы наименования чисел ${\displaystyle 10^{3003}}$ ${\displaystyle 10^{6000}}$
• Наибольшее известное число Смита = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• Наибольшее известное простое число Мерсенна = ^[11] ${\displaystyle 2^{136,279,841}-1}$
• гуголплекс = ${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Числа Скьюза : первое приблизительно , второе ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• Число Грэма , большее, чем то, что можно представить даже с помощью степенных башен ( тетрация ). Однако его можно представить с помощью слоев нотации Кнута со стрелкой вверх.
• Теорема Краскала о дереве — это последовательность, относящаяся к графам. TREE(3) больше числа Грэма .
• Число Райо — большое число, названное в честь Агустина Райо, которое было заявлено как самое большое именованное число. Первоначально оно было определено в «дуэли больших чисел» в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007 года.

Стандартизированная система письма

Стандартизированный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в порядке возрастания, и можно получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в научной записи, скажем, 5×10 ⁴ и 2×10 ⁵ , сначала сравните показатели степеней, в этом случае 5 > 4, поэтому 2×10 ⁵ > 5×10 ⁴ . Если показатели степеней равны, следует сравнить мантиссу (или коэффициент), поэтому 5×10 ⁴ > 2×10 ^{4 ,} потому что 5 > 2.

Тетрация с основанием 10 дает последовательность , степенную башню чисел 10, где обозначает функциональную степень функции (функция также обозначается суффиксом «-плекс», как в гуголплексе, см. семейство гугол ). ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

Это очень круглые числа, каждое из которых представляет собой порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, — это указать, между какими двумя числами в этой последовательности оно находится.

Точнее, числа между ними можно выразить в виде , т. е. с башней степени из десятков и числом наверху, возможно, в научной записи, например , число между и (обратите внимание, что если ). (См. также расширение тетрации до действительных высот .) ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 1<a<10}$

Таким образом, гуголплекс — это ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Другой пример:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(между и ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

Таким образом, «порядок величины» числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается), можно охарактеризовать числом раз ( n ), которое нужно взять, чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число находится между и . Как объяснялось, более точное описание числа также указывает значение этого числа между 1 и 10, или предыдущее число (беря логарифм на один раз меньше) между 10 и 10 ¹⁰ , или следующее, между 0 и 1. ${\displaystyle log_{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

То есть, если число x слишком велико для представления, то степенную башню можно сделать на единицу выше, заменив x на log ₁₀ x , или найти x из представления логарифма ₁₀ целого числа в нижней башне. Если степенная башня будет содержать одно или несколько чисел, отличных от 10, то эти два подхода приведут к разным результатам, что соответствует тому факту, что расширение степенной башни с 10 внизу не то же самое, что расширение ее с 10 наверху (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся степенная башня состоит из копий одного и того же числа, отличного от 10). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

Если высота башни большая, то различные представления для больших чисел могут быть применены к самой высоте. Если высота дана только приблизительно, указание значения наверху не имеет смысла, поэтому можно использовать обозначение с двойной стрелкой (например, ). Если значение после двойной стрелки само по себе является очень большим числом, то указанное выше можно рекурсивно применить к этому значению. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$

Примеры:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(между и ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(между и ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Аналогично вышесказанному, если показатель степени не задан точно, то указание значения справа не имеет смысла, и вместо использования степенной записи можно прибавить к показателю степени , чтобы получить, например , . ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$

Если показатель степени большой, то к самому показателю степени можно применить различные представления для больших чисел. Если этот показатель степени не задан точно, то, опять же, указание значения справа не имеет смысла, и вместо использования степенной записи можно использовать оператор тройной стрелки, например . ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик, то вышесказанное применимо к нему, получая, например, (между и ). Это можно сделать рекурсивно, поэтому можно получить степень оператора тройной стрелки. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Затем можно перейти к операторам с большим количеством стрелок, записанным . ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

Сравните эту запись с гипероператором и записью цепочечных стрелок Конвея :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( а → b → n ) = гипер( а ,  n  + 2,  b )

Преимущество первого варианта заключается в том, что при рассмотрении его как функции b существует естественная запись для степеней этой функции (точно так же, как при записи n стрелок): . Например: ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= ( 10 → ( 10 → ( 10 → б → 2 ) → 2 ) → 2 )

и только в особых случаях сокращается длинная вложенная цепочечная нотация; для получаем: ${\displaystyle ''b''=1}$

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )

Поскольку b также может быть очень большим, в общем случае вместо этого можно записать число с последовательностью степеней с убывающими значениями n (с точно заданными целыми показателями степеней ) с числом в конце в обычной научной записи. Всякий раз, когда a слишком велико, чтобы быть заданным точно, значение увеличивается на 1, а все, что находится справа от , переписывается. ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n+1}}}$ ${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

Для приблизительного описания чисел отклонения от порядка убывания значений n не нужны. Например, , и . Таким образом, получается несколько контринтуитивный результат, что число x может быть настолько большим, что, в некотором смысле, x и 10 ^x будут «почти равны» (об арифметике больших чисел см. также ниже). ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$ ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

Если верхний индекс стрелки вверх большой, то различные представления для больших чисел могут быть применены к самому верхнему индексу. Если этот верхний индекс не задан точно, то нет смысла возводить оператор в определенную степень или корректировать значение, на которое он действует, вместо этого можно просто использовать стандартное значение справа, скажем, 10, и выражение сводится к с приблизительным n . Для таких чисел преимущество использования обозначения стрелки вверх больше не применимо, поэтому вместо этого можно использовать цепную нотацию. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

Вышеизложенное можно применить рекурсивно для этого n , так что запись получается в верхнем индексе первой стрелки и т. д., или в виде вложенной цепной записи, например: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 3\times 10^{5}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Если количество уровней становится слишком большим, чтобы быть удобным, используется нотация, в которой это количество уровней записывается как число (например, с использованием верхнего индекса стрелки вместо написания множества стрелок). Вводя функцию = (10 → 10 → n ), эти уровни становятся функциональными степенями f , что позволяет нам записывать число в форме , где m задано точно, а n — целое число, которое может быть задано или не задано точно (например: ). Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленных чисел. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа вида f ^m (1) = (10→10→ m →2). Например, ${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$ ${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Сравните определение числа Грэма: оно использует цифры 3 вместо 10 и имеет 64 уровня стрелок и цифру 4 наверху; таким образом , но также и . ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$ ${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

Если m in слишком велико, чтобы дать точно, можно использовать фиксированное n , например, n = 1, и применить вышеизложенное рекурсивно к m , т. е. число уровней стрелок вверх само по себе представлено в надстрочной записи со стрелкой вверх и т. д. Используя функциональную запись мощности f, это дает несколько уровней f . Вводя функцию, эти уровни становятся функциональными степенями g , что позволяет нам записать число в форме , где m задано точно, а n — целое число, которое может быть задано или не быть точно. Например, если (10→10→ m →3) = g ^m (1). Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленного. Аналогично можно ввести функцию h и т. д. Если требуется много таких функций, их можно пронумеровать вместо того, чтобы использовать новую букву каждый раз, например, в качестве нижнего индекса, так что будут числа в форме, где k и m заданы точно, а n — целое число, которое может быть задано или не быть точно. Используя k =1 для f выше, k =2 для g и т. д., получаем (10→10→ n → k ) = . Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленных выражений. Таким образом, получается вложение форм , где при движении внутрь k уменьшается, и с внутренним аргументом — последовательностью степеней с убывающими значениями n (где все эти числа являются точно заданными целыми числами) с числом в обычной научной записи в конце. ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$ ${\displaystyle g^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$ ${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Когда k слишком велико, чтобы быть заданным точно, соответствующее число можно выразить как =(10→10→10→ n ) с приблизительным n . Обратите внимание, что процесс перехода от последовательности =(10→ n ) к последовательности =(10→10→ n ) очень похож на переход от последней к последовательности =(10→10→10→ n ): это общий процесс добавления элемента 10 к цепочке в цепной нотации; этот процесс можно повторить снова (см. также предыдущий раздел). Нумерация последующих версий этой функции может быть описана с помощью функций , вложенных в лексикографическом порядке с q как наиболее значимым числом, но с убывающим порядком для q и для k ; в качестве внутреннего аргумента дает последовательность степеней с убывающими значениями n (где все эти числа являются точно заданными целыми числами) с числом в конце в обычной научной нотации. ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Для числа, слишком большого для записи в цепочечной нотации Конвея, его размер можно описать длиной этой цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; другими словами, можно указать его положение в последовательности 10, 10→10, 10→10→10, .. Если даже положение в последовательности представляет собой большое число, можно снова применить те же методы.

Примеры

Числа, выраженные в десятичной системе счисления:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3,125
• 6 ⁶ = 46 656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$= 2 ↑↑ 4 = 2↑↑↑3 = 65 536
• 7 ⁷ = 823,543
• 10 ⁶ = 1 000 000 = 1 миллион
• 8 ⁸ = 16 777 216
• 9 ⁹ = 387 420 489
• 10 ⁹ = 1 000 000 000 = 1 миллиард
• 10 ¹⁰ = 10 000 000 000
• 10 ¹² = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
• 3 ^{3 3} = 3 ↑↑ 3 = 7 625 597 484 987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион
• 10 ¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 миллиард миллиардов = 1 квинтилион

Числа, выраженные в научной записи:

• Приблизительное количество атомов в наблюдаемой Вселенной = 10 ⁸⁰ = 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• гугол = 10 ¹⁰⁰ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000,0 00 000 000 000 000 000 000
• 4 ^{4 4} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Приблизительное число планковских объемов, составляющих объем наблюдаемой Вселенной = 8,5 × 10 ¹⁸⁴
• 5 ^{5 5} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 36 ³⁰⁵ ≈ (10 ↑) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^{695 974} ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 15 ^{151 335} ≈ (10 ↑) ² 7,2
• ${\displaystyle M_{136,279,841}\approx 8.82\times 10^{41,024,319}\approx 10^{10^{7.6130}}\approx (10\uparrow )^{2}\ 7.6130}$, 52-е и по состоянию на октябрь 2024 года ^[update]наибольшее известное простое число Мерсенна . ^[11]
• 9 ^{9 9} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^{369 693 099} ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} =10 ↑↑ 3 = 10 10 ^{000 000 000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Числа, выражаемые в нотации (10 ↑) ⁿ k :

• гуголплекс = ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1,10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4.3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65 536 ≈ (10 ↑) ^{65 533} 4,3 находится между 10 ↑↑ 65 533 и 10 ↑↑ 65 534

Большие числа:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² находится между (10 ↑↑) ² 2 и (10 ↑↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$= ( 10 → 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$= ( 10 → 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$= ( 10 → 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$= ( 10 → 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$= ( 10 → 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$= ( 10 → 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$знак равно ( 10 → 2 → 4 ) знак равно ( 10 → 10 → 3 )
• Первый член в определении числа Грэма, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) находится между (10 ↑↑↑) ² 2 и (10 ↑↑↑) ² 3 (см. число Грэма#Магнитность )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$= ( 4 → 4 → 4 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$= ( 10 → 4 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$= ( 10 → 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$= ( 10 → 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$= ( 10 → 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$= ( 10 → 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$= ( 10 → 9 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$знак равно ( 10 → 2 → 5 ) знак равно ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) знак равно ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) знак равно ( 3 → 2 → 9 ) знак равно ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) знак равно ( 10 → 2 → ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• Второй член в определении числа Грэма, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• г ₃ = (3 → 3 → г ₂ ) > (10 → 10 → г ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• г ₄ = (3 → 3 → г ₃ ) > (10 → 10 → г ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Число Грэма, г ₆₄ ^[12]
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 ) где есть ( 10 → 10 → 10 ) "десятки"

Другие обозначения

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

• Нотация Кнута со стрелкой вверх / гипероператоры / функция Аккермана , включая тетрацию
• Обозначение цепочечных стрелок Конвея
• Нотация Штейнхауза-Мозера ; помимо метода построения больших чисел, она также включает графическую нотацию с многоугольниками . Альтернативные нотации, такие как более традиционная нотация функций, также могут использоваться с теми же функциями.
• Быстрорастущая иерархия

Эти обозначения по сути являются функциями целочисленных переменных, которые очень быстро увеличиваются с этими целыми числами. Все более быстро растущие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна при определении очень большого числа, хотя функция возрастает очень быстро: необходимо определить аргумент очень близко к асимптоте, т. е. использовать очень малое число, построение которого эквивалентно построению очень большого числа, например, обратной величины.

Сравнение базовых значений

Ниже проиллюстрирован эффект основания, отличного от 10, а именно основания 100. Он также иллюстрирует представления чисел и арифметику.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, при основании 10 показатель степени удваивается.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, то же самое.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, наивысший показатель степени увеличился лишь немногим более чем вдвое (увеличился на log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(таким образом, если n велико, то можно сказать, что оно «приблизительно равно» ) ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(сравните ; таким образом, если n велико, то, по-видимому, справедливо сказать, что оно «приблизительно равно» ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравнивать ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравнивать ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравните ; если n велико, то это «приблизительно» равно) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

Точность

Для числа изменение на единицу в n изменяет результат в 10 раз. В числе типа , с 6.2 в результате правильного округления с использованием значащих цифр, истинное значение показателя степени может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может быть слишком большим или слишком маленьким. Это кажется крайне низкой точностью, но для такого большого числа это можно считать справедливым (большая ошибка в большом числе может быть «относительно небольшой» и, следовательно, приемлемой). ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$ ${\displaystyle 10^{50}}$

Для очень больших чисел

В случае приближения чрезвычайно большого числа относительная погрешность может быть большой, однако все равно может быть смысл, в котором хочется считать числа «близкими по величине». Например, рассмотрим

${\displaystyle 10^{10}}$и ${\displaystyle 10^{9}}$

Относительная ошибка составляет

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

большая относительная погрешность. Однако можно также рассмотреть относительную погрешность логарифмов; в этом случае логарифмы (по основанию 10) равны 10 и 9, поэтому относительная погрешность логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что показательные функции значительно увеличивают относительные погрешности — если a и b имеют небольшую относительную погрешность,

${\displaystyle 10^{a}}$и ${\displaystyle 10^{b}}$

относительная ошибка больше, и

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$и ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне итерационных логарифмов сравнивать два числа? Есть смысл, в котором можно рассмотреть

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$и ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

быть "близкими по величине". Относительная ошибка между этими двумя числами велика, и относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка в их логарифмах второй итерации мала:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$и ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Подобные сравнения повторных логарифмов широко распространены, например, в аналитической теории чисел .

Классы

Одним из решений проблемы сравнения больших чисел является определение классов чисел, таких как система, разработанная Робертом Мунафо ^[13], которая основана на различных «уровнях» восприятия среднестатистического человека. Класс 0 — числа от нуля до шести — определяется как содержащие числа, которые легко субитизируются , то есть числа, которые очень часто встречаются в повседневной жизни и почти мгновенно сопоставимы. Класс 1 — числа от шести до 1 000 000=10 ⁶ — определяется как содержащие числа, десятичные выражения которых легко субитизируются, то есть числа, которые легко сопоставимы не по мощности , а «с первого взгляда» с учетом десятичного расширения.

Каждый класс после них определяется в терминах итерации этого десятичного возведения в степень, чтобы имитировать эффект другой «итерации» человеческой неразличимости. Например, класс 5 определяется как включающий числа между 10 ^{10 10 10 6} и 10 ^{10 10 10 10 6 ,} которые являются числами, где X становится для человека неотличимым от X ^{2 [14]} (взятие итерированных логарифмов такого X дает неразличимость, во-первых, между log( X ) и 2log( X ), во-вторых, между log(log( X )) и 1+log(log( X )), и, наконец, чрезвычайно длинное десятичное расширение, длина которого не может быть субитизирована).

Приблизительная арифметика

Существуют некоторые общие правила, касающиеся обычных арифметических операций, выполняемых над очень большими числами:

• Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему из них.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Следовательно:

• Очень большое число, возведенное в очень большую степень, «приблизительно» равно большему из следующих двух значений: первому значению и 10 в степени второй. Например, для очень большого существует (см. например, вычисление mega ) и также . Таким образом , см. таблицу . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

Систематическое создание все более быстрорастущих последовательностей

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность/функцию ( n ≥1), можно создать более быстрорастущую последовательность (где верхний индекс n обозначает n ^-ю функциональную степень ). Это можно повторить любое количество раз, позволив , каждая последовательность растет намного быстрее, чем предыдущая. Таким образом, можно определить , которая растет намного быстрее любой для конечного k (здесь ω — первое бесконечное порядковое число , представляющее предел всех конечных чисел k). Это основа для быстрорастущей иерархии функций, в которой индексный нижний индекс распространяется на все большие порядковые числа. ${\displaystyle f_{0}(n)}$ ${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Например, начнем с f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( n ) = f ₀ ⁿ ( n ) = n + n = 2 n
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) n для n ≥ 2 (используя обозначение Кнута со стрелкой вверх )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² n для n ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n для n ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) для n ≥ 2, где A — функция Аккермана ( унарной версией которой является f _{ω )}
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > число Грэма (= g ₆₄ в последовательности, определяемой g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Это следует из того, что f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2, и, следовательно, f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (используя обозначение цепочечных стрелок Конвея )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (потому что если g _k ( n ) = X → n → k , то X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• ж _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• ж _ω2 ( п ) знак равно ж _{ω+ п} ( п ) > ( п → п → п ) знак равно ( п → п → п → 1)
• ж _{ω2+ k} ( п ) > ( п → п → п → k )
• ж _ω3 ( п ) > ( п → п → п → п )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Цепочка из k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Цепочка из n +1 n' s)

В некоторых невычислимых последовательностях

Функция занятого бобра Σ является примером функции, которая растет быстрее любой вычислимой функции. Ее значение даже для относительно небольшого ввода огромно. Значения Σ( n ) для n = 1, 2, 3, 4, 5 равны 1, 4, 6, 13, 4098 ^[15] (последовательность A028444 в OEIS ). Σ(6) неизвестно, но составляет по крайней мере 10↑↑15.

Бесконечные числа

Хотя все числа, обсуждаемые выше, очень велики, они все еще определенно конечны . Некоторые области математики определяют бесконечные и трансфинитные числа . Например, алеф-ноль — это мощность бесконечного множества натуральных чисел , а алеф-один — это следующее по величине кардинальное число. — это мощность действительных чисел . Предложение, известное как гипотеза континуума . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Смотрите также

• Арифметика произвольной точности
• Список программного обеспечения для арифметических вычислений произвольной точности
• Гипотеза больших чисел Дирака
• Экспоненциальный рост
• История больших чисел
• Человеческий масштаб
• Неопределенные и фиктивные числа
• Наибольшее число
• Бесконечность
• Закон больших чисел
• Мириады (10 000) в Восточной Азии
• Названия больших чисел
• Степень двойки
• Степень 10
• Тетрация

Ссылки

1. Дарлинг, Дэвид; Банерджи, Агниджо (2018-01-01). Странная математика: на краю бесконечности и за ее пределами . Harper Collins . ISBN 978-9352779901.
2. Нолан, Роберт А. (2017-04-09). "Глава 14: Большие и Маленькие" (PDF) . Мастера математики: Проблемы, которые они решили, почему они важны и что вы должны знать о них. Brill Publishers (опубликовано в 2019 году). стр. 220. ISBN 978-94-6300-892-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
3. Бьянкони, Ева; Пиовесан, Эллисон; Факчин, Федерика; Берауди, Алина; Касадеи, Рафаэлла; Фрабетти, Флавия; Витале, Лоренца; Пеллери, Мария Кьяра; Тассани, Симона (ноябрь – декабрь 2013 г.). «Оценка количества клеток в организме человека». Анналы биологии человека . 40 (6): 463–471. дои : 10.3109/03014460.2013.807878 . hdl : 11585/152451. ISSN  1464-5033. PMID  23829164. S2CID  16247166.
4. Landenmark HK, Forgan DH, Cockell CS (июнь 2015 г.). «Оценка общей ДНК в биосфере». PLOS Biology . 13 (6): e1002168. doi : 10.1371/journal.pbio.1002168 . PMC 4466264. PMID  26066900 . 
5. Nuwer R (18 июля 2015 г.). «Подсчет всех ДНК на Земле». The New York Times . Нью-Йорк. ISSN  0362-4331 . Получено 18 июля 2015 г.
6. Шеннон, Клод (март 1950 г.). "XXII. Программирование компьютера для игры в шахматы" (PDF) . Philosophical Magazine . Серия 7. 41 (314). Архивировано из оригинала (PDF) 2010-07-06 . Получено 2019-01-25 .
7. Атомы во Вселенной. Вселенная сегодня. 30-07-2009. Получено 02-03-13.
8. Потеря информации в черных дырах и/или сознательных существах?, Дон Н. Пейдж, Методы теплового ядра и квантовая гравитация (1995), SA Fulling (редактор), стр. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, № 4, Техасский университет A&M, математический факультет. arXiv :hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8 . 
9. Как получить гуголплекс
10. Карл Саган берет больше вопросов из своего основного доклада «Удивление и скептицизм» на CSICOP 1994, Skeptical Inquirer. Архивировано 21 декабря 2016 г. на Wayback Machine.
11. "Открытие простого числа Мерсенна - 2^136279841 - простое число!". Отличный интернет-поиск простого числа Мерсенна .
12. Относительно сравнения с предыдущим значением: , поэтому начало 64 шагов с 1 вместо 4 более чем компенсирует замену цифр 3 на 10 ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3}$
13. "Большие числа в MROB". www.mrob.com . Получено 2021-05-13 .
14. "Большие числа (страница 2) в MROB". www.mrob.com . Получено 2021-05-13 .
15. "[2 июля 2024 г.] Мы доказали, что "BB(5) = 47 176 870"". The Busy Beaver Challenge . 2024-07-02 . Получено 2024-07-04 .