Многомерное исчисление

Исчисление функций нескольких переменных

Многомерное исчисление (также известное как многомерное исчисление ) — это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференцирование и интегрирование функций, включающих несколько переменных ( многомерное ), а не только одну. ^[1]

Многомерное исчисление можно рассматривать как элементарную часть продвинутого исчисления. Для более продвинутого исчисления см. исчисление в евклидовом пространстве . Особый случай исчисления в трехмерном пространстве часто называют векторным исчислением .

Введение

В исчислении с одной переменной такие операции, как дифференцирование и интегрирование, выполняются над функциями одной переменной. В многомерном исчислении необходимо обобщить их на несколько переменных, поэтому область определения является многомерной. Поэтому при таких обобщениях требуется осторожность из-за двух ключевых различий между одномерными и многомерными пространствами:

1. Существует бесконечное количество способов приблизиться к одной точке в более высоких измерениях, в отличие от двух (с положительного и отрицательного направления) в 1D;
2. С измерением связано несколько расширенных объектов; например, для 1D-функции она должна быть представлена ​​в виде кривой на 2D- декартовой плоскости , но функция с двумя переменными представляет собой поверхность в 3D, тогда как кривые также могут жить в 3D-пространстве.

Следствием первого различия является различие в определении предела и дифференцирования. Пределы по направлению и производные определяют предел и дифференциал вдоль одномерной параметризованной кривой, сводя задачу к одномерному случаю; из этих операторов можно построить дальнейшие объекты более высокой размерности.

Следствием второго различия является существование нескольких типов интегрирования, включая линейные интегралы , поверхностные интегралы и объемные интегралы . Из-за неединственности этих интегралов первообразная или неопределенный интеграл не может быть правильно определен.

Пределы

Исследование пределов и непрерывности в исчислении с несколькими переменными дает множество противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями с одной переменной.

Предел пути можно определить, рассматривая параметризованный путь в n-мерном евклидовом пространстве. Любую функцию можно затем спроецировать на путь как одномерную функцию . Следовательно , предел точки вдоль пути можно определить как ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(s(t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s(t)}$

Обратите внимание, что значение этого предела может зависеть от формы , т.е. выбранного пути, а не только от точки, к которой приближается предел. ^{[1] : 19–22} Например, рассмотрим функцию . Если подвод к точке осуществляется через линию или в параметрической форме: ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=kx}$

График функции f ( x , y ) = ( x ²y)/( x ⁴ + y ² )

Тогда предел по пути будет:

С другой стороны, если выбран путь (или параметрически ), то предел становится: ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ ${\displaystyle x(t)=t,y(t)=\pm t^{2}}$

Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные значения, общий предел в этой точке не может быть определен для функции. ${\displaystyle (0,0)}$

Общий предел может быть определен, если пределы точки на всех возможных путях сходятся к одному и тому же значению, т.е. мы говорим, что для функции предел до некоторой точки равен L, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

для всех непрерывных функций таких, что . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Непрерывность

Из понятия предела вдоль пути мы можем затем вывести определение многомерной непрерывности таким же образом, то есть: мы говорим, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

для всех непрерывных функций таких, что . ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$

Как и в случае с пределами, непрерывность вдоль одного пути не подразумевает многомерную непрерывность. ${\displaystyle s(t)}$

Непрерывность каждого аргумента недостаточна для многомерной непрерывности, что также можно увидеть из следующего примера. ^{[1] : 17–19} Например, для вещественнозначной функции с двумя вещественнозначными параметрами непрерывность in при фиксированном и непрерывность in при фиксированном не означает непрерывность . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Учитывать

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

Легко проверить, что эта функция по определению равна нулю на границе и вне четырехугольника . Кроме того, функции, определенные для констант и и ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$и ${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

являются непрерывными. Конкретно,

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$для всех x и y . Поэтому, и причём, по осям координат и . Следовательно, функция непрерывна по обоим отдельным аргументам. ${\displaystyle f(0,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$ ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$

Однако рассмотрим параметрический путь . Параметрическая функция становится ${\displaystyle x(t)=t,y(t)=t}$

Поэтому,

Отсюда ясно, что функция не является многомерной непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна по обеим координатам.

Теоремы о многомерных пределах и непрерывности

• Все свойства линейности и суперпозиции из исчисления с одной переменной переносятся в многомерное исчисление.
• Композиция : Если и являются многомерными непрерывными функциями в точках и соответственно, то также является многомерной непрерывной функцией в точке . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Умножение : Если и являются непрерывными функциями в точке , то непрерывна в , а также непрерывна в при условии, что . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {f}{g}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$
• Если функция непрерывна в точке , то непрерывна и в той же точке. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$
• Если липшиц непрерывен (с соответствующими нормированными пространствами, если необходимо) в окрестности точки , то многомерно непрерывен в точке . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Дифференциация

Производная по направлению

Производная функции одной переменной определяется как

Используя расширение пределов, обсуждавшееся выше, можно затем расширить определение производной до скалярной функции по некоторому пути : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

В отличие от пределов, для которых значение зависит от точной формы пути , можно показать, что производная вдоль пути зависит только от касательного вектора пути в , т. е . при условии, что липшицев непрерывен в , и что предел выходит хотя бы по одному такому пути. ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$ ${\displaystyle s'(t_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t_{0})}$

Следовательно, можно дать определение производной по направлению следующим образом: Производная по направлению скалярной функции вдоль единичного вектора в некоторой точке равна ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

или, если выразить это через обычное дифференцирование,

которое является четко определенным выражением, поскольку представляет собой скалярную функцию с одной переменной в . ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$ ${\displaystyle t}$

Невозможно определить уникальную скалярную производную без направления; ясно, например, что . Также возможно, что производные по направлениям существуют для некоторых направлений, но не существуют для других. ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$

Частная производная

Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная функции многих переменных — это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными. ^{[1] : 26 и далее}

Частную производную можно рассматривать как производную функции по направлению вдоль оси координат.

Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении оператор del ( ) используется для определения понятий градиента , дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якобиана , может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование , которое напрямую меняется от точки к точке в области определения функции. ${\displaystyle \nabla }$

Дифференциальные уравнения , содержащие частные производные, называются уравнениями в частных производных или УЧП. Эти уравнения обычно сложнее решить, чем обыкновенные дифференциальные уравнения , которые содержат производные только по одной переменной. ^{[1] : 654 и далее}

Множественная интеграция

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы можно использовать для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл или повторный интеграл , если подынтегральная функция непрерывна во всей области интегрирования. ^{[1] : 367 и далее}

Поверхностный интеграл и линейный интеграл используются для интегрирования по искривленным многообразиям , таким как поверхности и кривые .

Основная теорема многомерного исчисления

В исчислении с одной переменной основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в исчислении многих переменных воплощают интегральные теоремы векторного исчисления: ^{[1] : 543ff.}

• Градиентная теорема
• Теорема Стокса
• Теорема о дивергенции
• Теорема Грина .

При более глубоком изучении исчисления многих переменных видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса , которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям . ^[2]

Приложения и использование

Методы многомерного исчисления используются для изучения многих объектов материального мира, представляющих интерес. В частности,

Многомерное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем , имеющих несколько степеней свободы . Для моделирования этих систем часто используются функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, а исчисление многих переменных предоставляет инструменты для характеристики динамики системы .

Многомерное исчисление используется при оптимальном управлении динамическими системами с непрерывным временем . Он используется в регрессионном анализе для вывода формул для оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных .

Многомерное исчисление используется во многих областях естественных , социальных наук и техники для моделирования и изучения многомерных систем, демонстрирующих детерминированное поведение. В экономике , например, выбор потребителя в отношении множества товаров и выбор производителя в отношении различных ресурсов для использования и результатов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления.

Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например стохастического исчисления .

Смотрите также

• Список тем по многомерному исчислению
• Многомерная статистика

Рекомендации

1. Ричард Курант; Фриц Джон (14 декабря 1999 г.). Введение в исчисление и анализ, том II/2 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
2. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях. Нью-Йорк: ISBN WA Benjamin, Inc. 9780805390216.

Внешние ссылки

• Видеолекции Калифорнийского университета в Беркли по многомерному исчислению, осень 2009 г., профессор Эдвард Френкель
• Видеолекции MIT по многомерному исчислению, осень 2007 г.
• Многомерное исчисление: бесплатный онлайн-учебник Джорджа Кейна и Джеймса Ирода.
• Многомерное исчисление онлайн: бесплатный онлайн-учебник Джеффа Книсли
• Многомерное исчисление – очень краткий обзор, профессор Блэр Перо, Массачусетский университет, Амхерст
• Многомерное исчисление, онлайн-текст доктора Джерри Шурмана