Масса в общей теории относительности

Грань общей теории относительности

Понятие массы в общей теории относительности (ОТО) более тонко для определения, чем понятие массы в специальной теории относительности . Фактически, общая теория относительности не предлагает единого определения термина масса, а предлагает несколько различных определений, которые применимы в разных обстоятельствах. При некоторых обстоятельствах масса системы в общей теории относительности может даже не быть определена.

Причина этой тонкости в том, что энергия и импульс в гравитационном поле не могут быть однозначно локализованы. (См. главу 20 ^[1] .) Таким образом, строгие определения массы в общей теории относительности не являются локальными, как в классической механике или специальной теории относительности, а ссылаются на асимптотическую природу пространства-времени. Четко определенное понятие массы существует для асимптотически плоских пространств-времен и для асимптотически антиде-ситтеровского пространства . Однако эти определения следует использовать с осторожностью в других ситуациях.

Определение массы в общей теории относительности: концепции и препятствия

В специальной теории относительности масса покоя частицы может быть однозначно определена в терминах ее энергии и импульса, как описано в статье о массе в специальной теории относительности . Однако обобщение понятия энергии и импульса в общей теории относительности является тонким. Главная причина этого заключается в том, что само гравитационное поле вносит вклад в энергию и импульс. Однако «энергия гравитационного поля» не является частью тензора энергии-импульса; вместо этого то, что можно было бы определить как вклад гравитационного поля в полную энергию, является частью тензора Эйнштейна на другой стороне уравнения Эйнштейна (и, как таковое, следствием нелинейности этих уравнений). Хотя в определенных ситуациях можно переписать уравнения так, чтобы часть «гравитационной энергии» теперь стояла рядом с другими исходными членами в форме псевдотензора напряжения-энергии-импульса , это разделение верно не для всех наблюдателей, и нет общего определения для его получения. ^[2]

Как же тогда определить концепцию полной массы системы, которая легко определяется в классической механике? Как оказывается, по крайней мере для пространств-времен, которые являются асимптотически плоскими (грубо говоря, которые представляют некоторую изолированную гравитирующую систему в ином пустом и безгравитационном бесконечном пространстве), разделение ADM 3+1 приводит к решению: как и в обычном гамильтоновом формализме , направление времени, используемое в этом разделении, имеет связанную энергию, которая может быть интегрирована для получения глобальной величины, известной как масса ADM (или, что эквивалентно, энергия ADM). ^[3] В качестве альтернативы, существует возможность определить массу для пространства-времени, которое является стационарным , другими словами, такого, которое имеет времяподобное векторное поле Киллинга (которое, как порождающее поле для времени, канонически сопряжено с энергией); результатом является так называемая масса Комара ^{[4] [5]} Хотя она определена совершенно другим способом, можно показать, что она эквивалентна массе ADM для стационарных пространств-времен. ^[6] Определение интеграла Комара также может быть обобщено на нестационарные поля, для которых существует по крайней мере асимптотическая симметрия переноса времени ; налагая определенное калибровочное условие, можно определить энергию Бонди на нулевой бесконечности. В некотором смысле энергия АДМ измеряет всю энергию, содержащуюся в пространстве-времени, в то время как энергия Бонди исключает те части, которые уносятся гравитационными волнами в бесконечность. ^[5] Большие усилия были затрачены на доказательство теорем положительности для только что определенных масс, не в последнюю очередь потому, что положительность или, по крайней мере, существование нижнего предела имеет отношение к более фундаментальному вопросу ограниченности снизу: если бы не было нижнего предела энергии, то ни одна изолированная система не была бы абсолютно устойчивой; всегда была бы возможность распада в состояние с еще более низкой полной энергией. Существует несколько видов доказательств того, что как масса АДМ, так и масса Бонди действительно положительны; в частности, это означает, что пространство Минковского (для которого обе равны нулю) действительно устойчиво. ^[7] Хотя здесь основное внимание уделялось энергии, существуют и аналогичные определения глобального импульса; если задано поле угловых векторов Киллинга и используется метод Комара, можно также определить глобальный угловой момент. ^[8]

Квазилокальные величины

Недостатком всех упомянутых до сих пор определений является то, что они определены только на (нулевой или пространственной) бесконечности; с 1970-х годов физики и математики работали над более амбициозной попыткой определения подходящих квазилокальных величин, таких как масса изолированной системы, определенной с использованием только величин, определенных в конечной области пространства, содержащей эту систему. Однако, хотя существует множество предложенных определений, таких как энергия Хокинга , энергия Героха или квазилокальная энергия-импульс Пенроуза , основанная на твисторных методах, поле все еще находится в движении. В конечном итоге, надежда состоит в том, чтобы использовать подходящую определенную квазилокальную массу, чтобы дать более точную формулировку гипотезы обруча , доказать так называемое неравенство Пенроуза для черных дыр (связывающее массу черной дыры с площадью горизонта) и найти квазилокальную версию законов механики черных дыр. ^[9]

Типы массы в общей теории относительности

Масса Комара в стационарном пространстве-времени

Нетехническое определение стационарного пространства-времени — это пространство-время, где ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени. Метрика Шварцшильда черной дыры и метрика Керра вращающейся черной дыры являются распространенными примерами стационарного пространства-времени. ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

По определению, стационарное пространство-время проявляет симметрию трансляции времени . Это технически называется времениподобным вектором Киллинга . Поскольку система имеет симметрию трансляции времени, теорема Нётер гарантирует, что она имеет сохраняющуюся энергию. Поскольку стационарная система также имеет четко определенную систему покоя, в которой ее импульс можно считать равным нулю, определение энергии системы также определяет ее массу. В общей теории относительности эта масса называется массой Комара системы. Масса Комара может быть определена только для стационарных систем.

Масса Комара также может быть определена интегралом потока. Это похоже на то, как закон Гаусса определяет заряд, заключенный в поверхности, как нормальную электрическую силу, умноженную на площадь. Интеграл потока, используемый для определения массы Комара, немного отличается от того, который используется для определения электрического поля, однако — нормальная сила — это не фактическая сила, а «сила на бесконечности». Подробнее см. в основной статье .

Из двух определений описание массы Комара в терминах симметрии временного преобразования обеспечивает наиболее глубокое понимание.

Массы АДМ и Бонди в асимптотически плоском пространстве-времени

Если система, содержащая гравитационные источники, окружена бесконечной областью вакуума, геометрия пространства-времени будет стремиться к плоской геометрии Минковского специальной теории относительности на бесконечности. Такие пространства-времена известны как «асимптотически плоские» пространства-времена.

Для систем, в которых пространство-время асимптотически плоское , можно определить энергию, импульс и массу ADM и Бонди. В терминах теоремы Нётер энергия, импульс и масса ADM определяются асимптотическими симметриями на пространственной бесконечности , а энергия, импульс и масса Бонди определяются асимптотическими симметриями на нулевой бесконечности . Обратите внимание, что масса вычисляется как длина четырехвектора энергии-импульса , который можно рассматривать как энергию и импульс системы «на бесконечности».

Энергия ADM определяется через следующий интеграл потока на бесконечности. ^[1] Если пространство-время асимптотически плоское, это означает, что вблизи «бесконечности» метрика стремится к метрике плоского пространства. Асимптотические отклонения метрики от плоского пространства можно параметризовать с помощью

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$

где — метрика плоского пространства. Энергия ADM тогда задается интегралом по поверхности на бесконечности ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P^{0}={1 \over 16\pi G}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},}$

где — нормаль, направленная наружу к . Для повторяющихся индексов предполагается соглашение Эйнштейна о суммировании , но сумма по k и j выполняется только по пространственным направлениям. Использование обычных производных вместо ковариантных в приведенной выше формуле оправдано из-за предположения, что асимптотическая геометрия является плоской. ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle S}$

Некоторое интуитивное представление о вышеприведенной формуле можно получить следующим образом. Представьте, что мы берем поверхность S в качестве сферической поверхности, так что нормаль направлена ​​радиально наружу. На больших расстояниях от источника энергии r тензор, как ожидается, будет уменьшаться как и производная по r преобразует это в Площадь сферы при большом радиусе также растет точно как и, следовательно, получается конечное значение для энергии. ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle r^{-2}}$ ${\displaystyle r^{2}}$

Также возможно получить выражения для импульса в асимптотически плоском пространстве-времени. Чтобы получить такое выражение, определяют

${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu }}$

где

${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{1 \over 2}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }}$

Тогда импульс получается с помощью интеграла потока в асимптотически плоской области

${\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}$

Обратите внимание, что выражение для , полученное из формулы выше, совпадает с выражением для энергии АДМ, приведенным выше, что легко проверить с помощью явного выражения для H. ${\displaystyle P^{0}}$

Ньютоновский предел для почти плоского пространства-времени

В ньютоновском пределе для квазистатических систем в почти плоском пространстве-времени можно приблизительно определить полную энергию системы, сложив негравитационные компоненты энергии системы, а затем вычтя ньютоновскую гравитационную энергию связи.

Переводя вышеприведенное утверждение на язык общей теории относительности, мы говорим, что система в почти плоском пространстве-времени имеет полную негравитационную энергию E и импульс P, определяемые формулой:

${\displaystyle E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV}$

Когда компоненты вектора импульса системы равны нулю, т.е. P ⁱ = 0, приблизительная масса системы равна всего лишь (E+Eсв ₎ /c ² , где Eсв _— отрицательное число, представляющее ньютоновскую гравитационную энергию самосвязей.

Следовательно, когда мы предполагаем, что система квазистатична, мы предполагаем, что нет никакой значительной энергии в форме "гравитационных волн". Когда мы предполагаем, что система находится в "почти плоском" пространстве-времени, мы предполагаем, что метрические коэффициенты по существу являются минковскими в пределах приемлемой экспериментальной погрешности.

Формулы для полной энергии и импульса можно увидеть естественным образом в этом пределе следующим образом. ^[1] В линеаризованном пределе уравнения общей теории относительности можно записать в виде

${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }}$

В этом пределе полная энергия-импульс системы просто определяется путем интегрирования тензора напряжения на пространственноподобном срезе.

${\displaystyle P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x}$

Но используя уравнения движения, это можно записать и так:

${\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x}$

где сумма по j выполняется только по пространственным направлениям, а второе равенство использует тот факт, что является антисимметричным по и . Наконец, можно использовать закон Гаусса для преобразования интеграла дивергенции по пространственному срезу в интеграл по гауссовой сфере ${\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}$

что в точности совпадает с приведенной выше формулой для полного импульса.

История

В 1918 году Давид Гильберт писал о трудности присвоения энергии «полю» и «несостоятельности энергетической теоремы» в переписке с Клейном . В этом письме Гильберт предположил, что эта неудача является характерной чертой общей теории и что вместо «собственных энергетических теорем» существуют «несобственные энергетические теоремы».

Эта гипотеза вскоре была доказана одним из близких коллег Гильберта, Эмми Нётер . Теорема Нётер применима к любой системе, которая может быть описана принципом действия . Теорема Нётер связывает сохраняющиеся энергии с симметриями временного сдвига. Когда симметрия временного сдвига является конечнопараметрической непрерывной группой , такой как группа Пуанкаре , теорема Нётер определяет скалярную сохраняющуюся энергию для рассматриваемой системы. Однако, когда симметрия является бесконечнойпараметрическойнепрерывной группой, существование сохраняющейся энергии не гарантируется. Аналогичным образом теорема Нётер связывает сохраняющиеся импульсы с пространственными сдвигами, когда группа симметрии сдвигов конечномерна. Поскольку общая теория относительности является теорией, инвариантной относительно диффеоморфизмов , она имеет бесконечную непрерывную группу симметрий, а не конечнопараметрическую группу симметрий, и, следовательно, имеет неправильную структуру группы, чтобы гарантировать сохраняющуюся энергию. Теорема Нётер оказала влияние на формирование и объединение различных идей массы, энергии системы и импульса системы в общей теории относительности.

Примером применения теоремы Нётер является пример стационарного пространства-времени и связанной с ним массы Комара (Комар 1959). В то время как общее пространство-время не имеет конечнопараметрической симметрии временного сдвига, стационарное пространство-время имеет такую ​​симметрию, известную как вектор Киллинга . Теорема Нётер доказывает, что такое стационарное пространство-время должно иметь связанную с ним сохраняющуюся энергию. Эта сохраняющаяся энергия определяет сохраняющуюся массу, массу Комара.

Масса ADM была введена (Arnowitt et al., 1960) из начальной формулировки общей теории относительности. Позднее она была переформулирована в терминах группы асимптотических симметрий на пространственной бесконечности, группы SPI, различными авторами. (Held, 1980). Эта переформулировка во многом прояснила теорию, включая объяснение того, почему импульс ADM и энергия ADM преобразуются как 4-вектор (Held, 1980). Обратите внимание, что группа SPI на самом деле бесконечномерна. Существование сохраняющихся величин объясняется тем, что группа SPI «супертрансляций» имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» трансляций, которая, по теореме Нётер, генерирует сохраняющуюся 4-параметрическую энергию-импульс. Норма этой 4-параметрической энергии-импульса является массой ADM.

Масса Бонди была введена (Бонди, 1962) в статье, в которой изучалась потеря массы физических систем посредством гравитационного излучения. Масса Бонди также связана с группой асимптотических симметрий, группой BMS на нулевой бесконечности. Как и группа SPI на пространственной бесконечности, группа BMS на нулевой бесконечности является бесконечномерной, и она также имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» трансляций.

Другой подход к проблеме энергии в общей теории относительности заключается в использовании псевдотензоров , таких как псевдотензор Ландау–Лифшица (Ландау и Лифшиц, 1962). Псевдотензоры не являются калибровочно-инвариантными — из-за этого они дают только согласованные калибровочно-независимые ответы для полной энергии, когда выполняются дополнительные ограничения (такие как асимптотическая плоскостность). Калибровочная зависимость псевдотензоров также препятствует любому калибровочно-независимому определению локальной плотности энергии, поскольку каждый другой выбор калибровки приводит к другой локальной плотности энергии.

Смотрите также

• Масса в специальной теории относительности
• Общая теория относительности
• Сохранение энергии
• масса Комара
• Энергия Хокинга
• Масса АДМ
• Теорема о положительной массе

Примечания

1. Мизнер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон А. (1973). Гравитация . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
2. См. Misner, Thorne & Wheeler 1973, §20.4.
3. Арновитт, Дезер и Мизнер 1962.
4. См. Комар 1959
5. Для педагогического введения см. Wald 1984, раздел 11.2.
6. Это показано в работе Аштекар и Магнон-Аштекар 1979.
7. См. различные ссылки, приведенные на стр. 295 книги Wald 1984.
8. Например, Таунсенд 1997, гл. 5.
9. См. обзорную статью Szabados 2004.

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Магнон-Аштекар, Энн (1979). «О сохраняющихся величинах в общей теории относительности». Журнал математической физики . 20 (5). AIP Publishing: 793–800. Bibcode : 1979JMP....20..793A. doi : 10.1063/1.524151. ISSN  0022-2488.
• Komar, Arthur (1959). «Ковариантные законы сохранения в общей теории относительности». Phys. Rev. 113 ( 3): 934–936. Bibcode : 1959PhRv..113..934K. doi : 10.1103/PhysRev.113.934.
• Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, CW (1960-03-15). "Канонические переменные для общей теории относительности" (PDF) . Physical Review . 117 (6). Американское физическое общество (APS): 1595–1602. Bibcode :1960PhRv..117.1595A. doi :10.1103/physrev.117.1595. ISSN  0031-899X. S2CID  120715041.
• Арновитт, Ричард; Дезер, Стэнли; Мизнер, Чарльз В. (1962). «Динамика общей теории относительности». В Witten, L. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования . Wiley. стр. 227–265.
• Bondi, H.; Van Der Burg, MGJ; Metzner, AWK (1962-08-21). «Гравитационные волны в общей теории относительности, VII. Волны из осесимметричной изолированной системы». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 269 (1336). Королевское общество: 21–52. Bibcode : 1962RSPSA.269...21B. doi : 10.1098/rspa.1962.0161. ISSN  2053-9169. S2CID  120125096.
• Held (1980). Общая теория относительности и гравитация, сто лет после рождения Эйнштейна, том 2. Plenum Press. ISBN 978-0-306-40266-1.
• Сабадос, Ласло Б. (2004). «Квазилокальная энергия-импульс и угловой момент в ОТО». Живой преподобный Относительный . 7 (1): 4. Бибкод : 2004LRR.....7....4S. дои : 10.12942/lrr-2004-4 . ПМЦ  5255888 . ПМИД  28179865.
• Таунсенд, П.К. (1997). «Черные дыры (Конспект лекций)». arXiv : gr-qc/9707012 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87033-2.
• Накумура, Тадас К. (2005). «Ковариантная термодинамика объекта с конечным объемом». Physics Letters A. 352 ( 3): 175–177. arXiv : physics/0505004 . Bibcode : 2006PhLA..352..175N. doi : 10.1016/j.physleta.2005.11.070. S2CID  14211373.
• Карлип, С. (1999). «Кинетическая энергия и принцип эквивалентности». American Journal of Physics . 66 (5): 409–413. arXiv : gr-qc/9909014 . Bibcode : 1998AmJPh..66..409C. CiteSeerX  10.1.1.340.3195 . doi : 10.1119/1.18885. S2CID  119052544.
• «Если вы едете слишком быстро, вы станете черной дырой?» Обновлено Доном Коксом в 2008 г. Оригинал Филиппа Гиббса в 1996 г. Оригинальный Usenet Physics FAQ
• Olson, DW; Guarino, RC (1985). «Измерение активной гравитационной массы движущегося объекта». American Journal of Physics . 53 (7): 661. Bibcode : 1985AmJPh..53..661O. doi : 10.1119/1.14280.

Внешние ссылки

• «Сохраняется ли энергия в общей теории относительности?