Компланарность

В геометрии множество точек пространства являются компланарными , если существует геометрическая плоскость , содержащая их все. Например, три точки всегда компланарны, и если точки различны и неколлинеарны , то плоскость, которую они определяют, уникальна. Однако набор из четырех или более различных точек, как правило, не лежит в одной плоскости.

Две линии в трехмерном пространстве компланарны, если существует плоскость, включающая их обе. Это происходит, если линии параллельны или пересекают друг друга. Две линии, не лежащие в одной плоскости, называются косыми линиями .

Геометрия расстояний обеспечивает метод решения проблемы определения того, является ли набор точек компланарным, зная только расстояния между ними.

Свойства в трех измерениях

В трехмерном пространстве два линейно независимых вектора с одной и той же начальной точкой определяют плоскость, проходящую через эту точку. Их векторное произведение является вектором, нормальным к этой плоскости, и любой вектор, ортогональный этому векторному произведению через начальную точку, будет лежать в этой плоскости. ^[1] Это приводит к следующему тесту на компланарность с использованием скалярного тройного произведения :

Четыре различные точки $x 1, x 2, x 3, x 4$ являются компланарными тогда и только тогда, когда

[(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.

что также эквивалентно

(x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.

Если три вектора $a, b, c$ компланарны, то если $a \cdot b = 0$ (т. е. $a$ и $b$ ортогональны), то

(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}})\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}})\ mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c},

где ‍ ‍ обозначает $\mathbf {\hat {a}}$ единичный вектор в направлении $a$ . То есть векторные проекции c на $a$ и $c$ на $b складываются$ $,$ давая исходный $c$ .

Компланарность точек в n измерениях, координаты которых заданы

Поскольку три или меньше точек всегда компланарны, проблема определения того, является ли набор точек компланарным, обычно представляет интерес только тогда, когда задействовано как минимум четыре точки. В случае, когда точек ровно четыре, можно использовать несколько специальных методов, но общий метод, который работает для любого количества точек, использует векторные методы и то свойство, что плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами .

В $n$ -мерном пространстве, где $n \geq 3$ , набор из $k$ точек является компланарным тогда и только тогда, когда матрица их относительных разностей, то есть матрица, столбцы (или строки) которой являются векторами, имеет ранг 2 или меньше. ${\ displaystyle \ {p_ {0}, \ p_ {1}, \ \ dots, \ p_ {k-1} \}}$ ${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ \dots ,\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1} }}$

Например, учитывая четыре точки

{\begin{aligned}X&=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\dots ,y_ {n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n }),\end{aligned}}

если матрица

{\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1} &y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_ {n}\\\end{bmatrix}}

имеет ранг 2 или меньше, четыре точки лежат в одной плоскости.

В частном случае плоскости, содержащей начало координат, это свойство можно упростить следующим образом: набор из $k$ точек и начало координат компланарны тогда и только тогда, когда матрица координат $k$ точек имеет ранг 2 или меньше.

Геометрические фигуры

Косой многоугольник — это многоугольник , вершины которого не лежат в одной плоскости. Такой многоугольник должен иметь не менее четырех вершин; косых треугольников нет.

Многогранник положительного объема имеет вершины , которые не все лежат в одной плоскости.

Смотрите также

Внешние ссылки