Вывод решения Шварцшильда

Упражнение по общей теории относительности

Решение Шварцшильда описывает пространство -время под воздействием массивного, невращающегося, сферически-симметричного объекта. Некоторые считают его одним из самых простых и полезных решений уравнений поля Эйнштейна . ^{[ нужна цитата ]}

Предположения и обозначения

Работая на координатной диаграмме с координатами , обозначенными цифрами от 1 до 4 соответственно, мы начинаем с метрики в ее наиболее общей форме (10 независимых компонентов, каждая из которых представляет собой гладкую функцию четырех переменных). Решение предполагается сферически симметричным, статическим и вакуумным. Для целей данной статьи эти предположения можно сформулировать следующим образом (точные определения см. в соответствующих ссылках): ${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$

1. Сферически -симметричное пространство-время инвариантно относительно вращений и зеркального отображения.
2. Статическое пространство-время — это пространство, в котором все компоненты метрики не зависят от временной координаты (так что ), а геометрия пространства-времени не изменяется при обращении времени . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle t\rightarrow -t}$
3. Вакуумное решение — это решение, которое удовлетворяет уравнению . Из уравнений поля Эйнштейна (с нулевой космологической постоянной ) это означает, что, поскольку сжатие дает . ${\displaystyle T_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$ ${\displaystyle R=0}$
4. Здесь используется метрическая подпись (+,+,+,−).

Диагонализация метрики

Первое упрощение, которое необходимо сделать, — это диагонализация метрики. При преобразовании координат , , все компоненты метрики должны остаться прежними. Компоненты метрики ( ) при этом преобразовании изменяются следующим образом: ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$ ${\displaystyle g_{\mu 4}}$ ${\displaystyle \mu \neq 4}$

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 4}$

Но, как мы и ожидаем (компоненты метрики остаются прежними), это означает, что: ${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$

${\displaystyle g_{\mu 4}=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 4}$

Аналогично преобразования координат и соответственно дают: ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$

${\displaystyle g_{\mu 3}=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 3}$

${\displaystyle g_{\mu 2}=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 2}$

Объединение всего этого дает:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq \nu }$

и, следовательно, метрика должна иметь вид:

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

где четыре компонента метрики не зависят от временной координаты (по статическому предположению). ${\displaystyle t}$

Упрощение компонентов

На каждой гиперповерхности константа , константа и константа (т.е. на каждой радиальной линии) должны зависеть только от (в силу сферической симметрии). Следовательно, это функция одной переменной: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{11}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g_{11}}$

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

Аналогичный аргумент, примененный к показывает, что: ${\displaystyle g_{44}}$

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

На гиперповерхностях констант и констант требуется, чтобы метрика была метрикой 2-сферы: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Выбирая одну из этих гиперповерхностей (скажем, с радиусом ), метрические компоненты, ограниченные этой гиперповерхностью (которую мы обозначаем и ), должны оставаться неизменными при поворотах на и (опять же в силу сферической симметрии). Сравнение форм метрики на этой гиперповерхности дает: ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

что сразу дает:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$и ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

Но это необходимо для того, чтобы удерживаться на каждой гиперповерхности; следовательно,

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$и ${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

Альтернативный интуитивный способ увидеть это, который должен быть таким же, как и для плоского пространства-времени, заключается в том, что растяжение или сжатие упругого материала сферически-симметричным образом (радиально) не изменит угловое расстояние между двумя точками. ${\displaystyle g_{22}}$ ${\displaystyle g_{33}}$

Таким образом, метрику можно представить в виде:

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

с пока еще неопределенными функциями . Обратите внимание: если или равно нулю в какой-то точке, метрика в этой точке будет сингулярной . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Вычисление символов Кристоффеля

Используя приведенную выше метрику, находим символы Кристоффеля , где индексы равны . Знак обозначает полную производную функции. ${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$ ${\displaystyle '}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Используя уравнения поля, чтобы найтиА(р) иБ(р)

Для определения и используются уравнения вакуумного поля : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

Следовательно:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\,,}$

где запятая используется для выделения индекса, используемого для производной. Кривизна Риччи диагональна в данных координатах:

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)^{'}\,,}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)\,,}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right)\,,}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

где штрих означает r производную функции.

Только три из уравнений поля нетривиальны (четвертое уравнение в точности умножено на третье уравнение) и при упрощении принимают вид соответственно: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0}$,

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0}$,

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

Вычитание первого и второго уравнений дает:

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

где – ненулевая действительная константа. Подстановка в третье уравнение и приведение в порядок дает: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(r)B(r)\,=K}$

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

который имеет общее решение:

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

для некоторой ненулевой действительной константы . Следовательно, метрика для статического сферически-симметричного вакуумного решения теперь имеет вид: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

Обратите внимание, что пространство-время, представленное вышеуказанной метрикой, является асимптотически плоским , т.е. когда метрика приближается к метрике Минковского , а пространственно-временное многообразие напоминает многообразие пространства Минковского . ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

Используя приближение слабого поля, чтобы найтиКиС

На этой диаграмме показан путь поиска решения Шварцшильда с использованием приближения слабого поля. Равенство во второй строке дает g ₄₄ = − c ² + 2 GM / r , предполагая, что искомое решение вырождается в метрику Минковского, когда движение происходит далеко от черной дыры ( r приближается к положительной бесконечности).

Геодезические метрики (полученные при экстремизме) должны в некотором пределе (например, в направлении бесконечной скорости света) согласовываться с решениями ньютоновского движения (например, полученными с помощью уравнений Лагранжа ). (Метрика также должна ограничиваться пространством Минковского, когда представляемая ею масса исчезает.) ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

(где – кинетическая энергия, а – потенциальная энергия гравитации) Константы и полностью определяются некоторым вариантом этого подхода; из приближения слабого поля приходим к результату: ${\displaystyle KE}$ ${\displaystyle PE_{g}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

где – гравитационная постоянная , – масса источника гравитации, – скорость света. Обнаружено, что: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$и ${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Следовательно:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$и ${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

Итак, метрику Шварцшильда окончательно можно записать в виде:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

Обратите внимание, что:

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{s}}$

является определением радиуса Шварцшильда для объекта массы , поэтому метрику Шварцшильда можно переписать в альтернативной форме: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)dt^{2}}$

который показывает, что метрика становится сингулярной при приближении к горизонту событий (т. е. ). Метрическая особенность не является физической (хотя реальная физическая особенность существует в ), что можно показать с помощью подходящего преобразования координат (например, системы координат Крускала – Секереса ). ${\displaystyle r\rightarrow r_{s}}$ ${\displaystyle r=0}$

Альтернативный вывод с использованием известной физики в особых случаях

Метрику Шварцшильда также можно получить, используя известную физику для круговой орбиты и временно стационарной точечной массы. ^[1] Начните с метрики с коэффициентами, которые являются неизвестными коэффициентами : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

Теперь примените уравнение Эйлера-Лагранжа к интегралу длины дуги. Поскольку он постоянен, подынтегральную функцию можно заменить на, потому что уравнение E-L будет точно таким же, если подынтегральная функция умножается на любую константу. Применение уравнения E – L к модифицированному подынтегральному выражении дает: ${\displaystyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left({\text{d}}s/{\text{d}}\tau \right)^{2}}}\,{\text{d}}\tau .}}$ ${\displaystyle ds/d\tau }$ ${\displaystyle ({\text{d}}s/{\text{d}}\tau )^{2},}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

где точка означает дифференцирование по ${\displaystyle \tau .}$

На круговой орбите первое уравнение E – L, приведенное выше, эквивалентно ${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0,}$

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

Третий закон движения Кеплера гласит:

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

На круговой орбите период равен подразумевающему ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt),}$

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

поскольку точечная масса незначительна по сравнению с массой центрального тела So, и интегрирование этого результата дает где - неизвестная константа интегрирования. можно определить, установив, в каком случае пространство-время является плоским, а So и ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$ ${\displaystyle B(r)=2GM/r+C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M=0,}$ ${\displaystyle B(r)=-c^{2}.}$ ${\displaystyle C=-c^{2}}$

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{s}/r-1).}$

Когда точечная масса временно стационарна, и Исходное метрическое уравнение принимает вид , а первое уравнение E – L, приведенное выше, принимает вид. Когда точечная масса временно стационарна, ускорение силы тяжести , Итак ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0.}$ ${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$ ${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}}).}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ ${\displaystyle -MG/r^{2}.}$

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{s}/r}}.}$

Альтернативная форма в изотропных координатах

В исходной формулировке метрики используются анизотропные координаты, в которых скорость света не одинакова в радиальном и поперечном направлениях. Артур Эддингтон дал альтернативные формы в изотропных координатах . ^[2] Для изотропных сферических координат , , , координаты и не изменяются, и тогда (при условии ) ^[3] ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r\geq {\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$     ,       , и ${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Тогда для изотропных прямоугольных координат , , , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi )\quad ,}$   ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi )\quad ,}$   ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

Тогда метрика в изотропных прямоугольных координатах принимает вид:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Отказ от статического предположения - теорема Биркгофа.

При выводе метрики Шварцшильда предполагалось, что метрика вакуумная, сферически-симметричная и статичная . Статическое предположение не является необходимым, поскольку теорема Биркгофа утверждает, что любое сферически симметричное вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна является стационарным ; Таким образом, следует решение Шварцшильда. Теорема Биркгофа приводит к тому, что любая пульсирующая звезда, остающаяся сферически симметричной, не генерирует гравитационные волны , поскольку область вне звезды остается статичной.

Смотрите также

• Карл Шварцшильд
• Метрика Керра
• Метрика Рейсснера – Нордстрема

Рекомендации

1. Браун, Кевин. «Размышления об относительности».
2. А. С. Эддингтон, «Математическая теория относительности», Cambridge UP 1922 (2-е изд. 1924 г., переиздание 1960 г.), на стр. 85 и стр. 93. Использование символов в источнике Эддингтона для интервала s и времяподобной координаты t было преобразовано. для совместимости с использованием в приведенном выше выводе.
3. Бухдал, HA (1985). «Изотропные координаты и метрика Шварцшильда». Международный журнал теоретической физики . 24 (7): 731–739. Бибкод : 1985IJTP...24..731B. дои : 10.1007/BF00670880. S2CID  121246377.