Эффект Казимира

Сила, возникающая в результате квантования поля

Силы Казимира на параллельных пластинах

В квантовой теории поля эффект Казимира (или сила Казимира ) ^[1] — это физическая сила , действующая на макроскопические границы ограниченного пространства, возникающая в результате квантовых флуктуаций поля . Он назван в честь голландского физика Хендрика Казимира , который предсказал этот эффект для электромагнитных систем в 1948 году.

Видео серебряных микрозеркал в растворе под оптическим темнопольным микроскопом, демонстрирующее броуновское движение, эффект Казимира и цветное рассеяние поверхностных плазмонов

В том же году Казимир вместе с Дирком Полдером описал аналогичный эффект, испытываемый нейтральным атомом вблизи макроскопической границы раздела, который получил название силы Казимира–Польдера. ^[2] Их результат является обобщением силы Лондона – Ван дер Ваальса и включает в себя замедление из-за конечной скорости света . На той же основе можно сформулировать фундаментальные принципы, ведущие к силе Лондона-Ван-дер-Ваальса, силе Казимира и силе Казимира-Польдера. ^{[3] [4]}

Лишь в 1997 году в ходе прямого эксперимента Стивена К. Ламоро количественно была измерена сила Казимира с точностью до 5% от значения, предсказанного теорией. ^[5]

Эффект Казимира можно понять, исходя из идеи, что наличие макроскопических границ раздела материалов, таких как электрические проводники и диэлектрики , изменяет вакуумное математическое ожидание энергии вторично квантованного электромагнитного поля . ^{[6] [7]} Поскольку значение этой энергии зависит от формы и положения материалов, эффект Казимира проявляется как сила между такими объектами.

Любая среда , поддерживающая колебания, имеет аналог эффекта Казимира. Например, бусинки на нити ^{[8] [9]} , а также пластинки, погруженные в турбулентную воду ^[10] или газ ^[11], иллюстрируют силу Казимира.

В современной теоретической физике эффект Казимира играет важную роль в модели кирального мешка нуклона ; в прикладной физике это важно в некоторых аспектах новых микро- и нанотехнологий . ^[12]

Физические свойства

Типичный пример — две незаряженные проводящие пластины в вакууме , расположенные на расстоянии нескольких нанометров друг от друга. В классическом описании отсутствие внешнего поля означает, что между пластинами нет поля и между ними не будет измеряться никакая сила. ^[13] Когда это поле вместо этого изучается с использованием квантового электродинамического вакуума , видно, что пластины действительно влияют на виртуальные фотоны , составляющие поле, и генерируют результирующую силу ^[14] – либо притяжение, либо отталкивание в зависимости от конкретного расположение двух пластин. Хотя эффект Казимира можно выразить через виртуальные частицы, взаимодействующие с объектами, его лучше всего описать и легче вычислить в терминах нулевой энергии квантованного поля в промежуточном пространстве между объектами. Эта сила была измерена и является ярким примером эффекта, формально фиксируемого вторым квантованием . ^{[15] [16]}

Обработка граничных условий в этих расчетах привела к некоторым разногласиям. Фактически, «первоначальной целью Казимира было вычислить силу Ван-дер-Ваальса между поляризующимися молекулами » проводящих пластин. Таким образом, его можно интерпретировать без какой-либо ссылки на нулевую энергию (энергию вакуума) квантовых полей. ^[17]

Поскольку сила силы быстро падает с расстоянием, ее можно измерить только тогда, когда расстояние между объектами чрезвычайно мало. В субмикронных масштабах эта сила становится настолько сильной, что становится доминирующей силой между незаряженными проводниками. Фактически, при расстоянии 10 нм – примерно в 100 раз больше типичного размера атома – эффект Казимира создает  давление, эквивалентное примерно 1 атмосфере (точное значение зависит от геометрии поверхности и других факторов). ^[15]

История

Голландские физики Хендрик Казимир и Дирк Полдер из исследовательской лаборатории Philips в 1947 году предположили существование силы между двумя поляризующимися атомами, а также между таким атомом и проводящей пластиной; ^[2] эта специальная форма называется силой Казимира – Полдера . После разговора с Нильсом Бором , который предположил, что это как-то связано с энергией нулевой точки, Казимир один сформулировал теорию, предсказывающую силу между нейтральными проводящими пластинами в 1948 году. ^[18] Это последнее явление называется эффектом Казимира в узком смысле. .

Позднее предсказания силы были распространены на металлы и диэлектрики с конечной проводимостью, а в недавних расчетах рассматривались более общие геометрии. В экспериментах до 1997 года сила наблюдалась качественно, а косвенное подтверждение предсказанной энергии Казимира было сделано путем измерения толщины пленок жидкого гелия . Однако только в 1997 году прямой эксперимент С. Ламоро количественно измерил силу с точностью до 5% от значения, предсказанного теорией. ^[5] Последующие эксперименты приближаются к точности в несколько процентов.

Возможные причины

Энергия вакуума

Причины эффекта Казимира описываются квантовой теорией поля, которая утверждает, что все различные фундаментальные поля , такие как электромагнитное поле , должны быть квантованы в каждой точке пространства. В упрощенном виде «поле» в физике можно представить так, как если бы пространство было заполнено взаимосвязанными вибрирующими шариками и пружинами, а силу поля можно представить как смещение шара из его исходного положения. Колебания в этом поле распространяются и подчиняются соответствующему волновому уравнению для конкретного рассматриваемого поля. Второе квантование квантовой теории поля требует, чтобы каждая такая комбинация шарика и пружины была квантована, то есть чтобы сила поля была квантована в каждой точке пространства. На самом базовом уровне поле в каждой точке пространства представляет собой простой гармонический осциллятор , и его квантование помещает в каждую точку квантовый гармонический осциллятор . Возбуждения поля соответствуют элементарным частицам физики элементарных частиц . Однако даже вакуум имеет чрезвычайно сложную структуру, поэтому все расчеты квантовой теории поля должны проводиться в отношении этой модели вакуума.

Вакуум неявно обладает всеми свойствами, которыми может обладать частица: спином [ ^19] или поляризацией в случае света , энергией и так далее. В среднем большинство этих свойств компенсируются: вакуум, в конце концов, «пуст» в этом смысле. Одним важным исключением является энергия вакуума или вакуумное математическое ожидание энергии. Квантование простого гармонического генератора утверждает, что наименьшая возможная энергия или энергия нулевой точки, которую может иметь такой генератор, равна

$${\displaystyle {E}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega \,.}$$

Суммирование всех возможных осцилляторов во всех точках пространства дает бесконечную величину. Поскольку физически измеримы только различия в энергии (за заметным исключением гравитации, которая остается за пределами квантовой теории поля ), эту бесконечность можно считать особенностью математики, а не физики. Этот аргумент лежит в основе теории перенормировки . Подобная работа с бесконечными величинами была причиной широко распространенного беспокойства среди теоретиков квантового поля до разработки в 1970-х годах ренормгруппы — математического формализма для масштабных преобразований, который обеспечивает естественную основу для этого процесса.

Когда сфера физики расширяется и включает в себя гравитацию, интерпретация этой формально бесконечной величины остается проблематичной. В настоящее время нет убедительного объяснения , почему это не должно приводить к космологической постоянной , которая на много порядков превышает наблюдаемую. ^[20] Однако, поскольку у нас еще нет полностью последовательной квантовой теории гравитации , также нет убедительных причин, почему она должна вместо этого фактически привести к значению космологической постоянной, которую мы наблюдаем. ^[21]

Эффект Казимира для фермионов можно понимать как спектральную асимметрию фермионного оператора (−1) ^F , где он известен как индекс Виттена .

Релятивистская сила Ван дер Ваальса.

Альтернативно, в статье Роберта Яффе из Массачусетского технологического института в 2005 году говорится, что «эффекты Казимира могут быть сформулированы, а силы Казимира могут быть вычислены без ссылки на нулевые энергии. Это релятивистские квантовые силы между зарядами и токами. Сила Казимира (на единицу площади) ) между параллельными пластинами исчезает, когда альфа, постоянная тонкой структуры, обращается в ноль, а стандартный результат, который, по-видимому, не зависит от альфа, соответствует альфе, приближающейся к пределу бесконечности», и что «сила Казимира - это просто (релятивистская ( замедленная ) сила Ван-дер-Ваальса между металлическими пластинами». ^[17] В оригинальной статье Казимира и Полдера этот метод использовался для получения силы Казимира-Польдера. В 1978 году Швингер, ДеРадд и Милтон опубликовали аналогичный вывод для эффекта Казимира между двумя параллельными пластинами. ^[22] Совсем недавно Николич доказал на основе первых принципов квантовой электродинамики , что сила Казимира не возникает из вакуумной энергии электромагнитного поля, ^[23] и объяснил простыми словами, почему фундаментальное микроскопическое происхождение силы Казимира лежит в Ван-дер-дере. Ваальсовы силы. ^[24]

Последствия

Наблюдение Казимира заключалось в том, что вторично квантованное электромагнитное поле в присутствии объемных тел, таких как металлы или диэлектрики , должно подчиняться тем же граничным условиям , которым должно подчиняться классическое электромагнитное поле. В частности, это влияет на расчет энергии вакуума при наличии проводника или диэлектрика.

Рассмотрим, например, расчет вакуумного среднего электромагнитного поля внутри металлической полости, такой как, например, полость радара или микроволнового волновода . В этом случае правильным способом найти нулевую энергию поля является суммирование энергий стоячих волн резонатора. Каждой возможной стоячей волне соответствует энергия; скажем, энергия n- й стоячей волны _равна En . Тогда вакуумное математическое ожидание энергии электромагнитного поля в полости будет равно

$${\displaystyle \langle E\rangle ={\tfrac {1}{2}}\sum _{n}E_{n}}$$

с суммой, пробегающей все возможные значения n , перечисляющие стоячие волны. Фактор1/2присутствует, потому что нулевая энергия n- й моды равна1/2En _, где En _– приращение энергии для n- й моды. (Это то же самое1/2как видно из уравнения E =1/2ħω .) В такой записи эта сумма явно расходится; однако его можно использовать для создания конечных выражений.

В частности, можно задаться вопросом, как нулевая энергия зависит от формы s полости. Каждый уровень энергии En зависит от формы, поэтому следует писать En ₍ s ) для уровня энергии и ⟨ E ( s )⟩ для среднего значения вакуума _. Здесь следует сделать важное наблюдение: сила в точке p на стенке полости равна изменению энергии вакуума, если форма s стенки немного исказилась, скажем, на δs , в точке p . То есть у человека есть

$${\displaystyle F(p)=-\left.{\frac {\delta \langle E(s)\rangle }{\delta s}}\right\vert _{p}\,.}$$

Это значение конечно во многих практических расчетах. ^[25]

Притяжение между пластинами можно легко понять, сосредоточив внимание на одномерной ситуации. Предположим, что подвижная проводящая пластина расположена на небольшом расстоянии a от одной из двух широко разнесенных пластин (расстояние l ). При a ≪ l состояния внутри щели шириной a сильно ограничены, так что энергия E любой одной моды сильно отделена от энергии следующей. В большом регионе l , где имеется большое количество государств (околол/а) с энергией, равномерно распределенной между E и следующей модой в узкой щели, или, другими словами, все немного больше, чем E . Теперь при сокращении a на величину da (которая отрицательна) мода в узкой щели уменьшает длину волны и, следовательно, увеличивает энергию пропорционально —да/а, тогда как всел/асостояния, лежащие в большой области, удлиняют и соответственно уменьшают свою энергию на величину, пропорциональную —да/л(обратите внимание на другой знаменатель). Оба эффекта почти компенсируются, но итоговое изменение слегка отрицательное, поскольку энергия всехл/амоды в большой области немного больше, чем одиночная мода в слоте. Таким образом, сила притяжения: она стремится немного уменьшиться, пластины притягиваются друг к другу ближе через тонкую щель.

Вывод эффекта Казимира в предположении дзета-регуляризации

В первоначальном расчете Казимира он рассматривал пространство между парой проводящих металлических пластин на расстоянии a друг от друга. В этом случае стоячие волны особенно легко рассчитать, поскольку поперечная составляющая электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля должны обращаться в нуль на поверхности проводника. Если предположить, что пластины лежат параллельно плоскости xy , то стоячие волны

$${\displaystyle \psi _{n}(x,y,z;t)=e^{-i\omega _{n}t}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}\sin(k_{n}z)\,,}$$

где ψ — электрическая составляющая электромагнитного поля, и для краткости здесь не учитываются поляризация и магнитная составляющие. Здесь k _x и k _y — волновые числа в направлениях, параллельных пластинам, а

$${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{a}}}$$

– волновое число, перпендикулярное пластинам. Здесь n — целое число, обусловленное требованием, чтобы ψ обращалась в нуль на металлических пластинах. Частота этой волны

$${\displaystyle \omega _{n}=c{\sqrt {{k_{x}}^{2}+{k_{y}}^{2}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}}\,,}$$

где с — скорость света . Тогда энергия вакуума представляет собой сумму всех возможных мод возбуждения. Поскольку площадь пластин велика, мы можем суммировать, интегрируя по двум измерениям в k -пространстве. Предположение о периодических граничных условиях дает:

$${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\cdot 2\int {\frac {A\,dk_{x}\,dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}\,,}$$

где А — площадь металлических пластин, а для двух возможных поляризаций волны введен коэффициент 2. Это выражение явно бесконечно, и для продолжения расчета удобно ввести регулятор ( подробнее речь идет ниже). Регулятор будет служить для того, чтобы сделать выражение конечным, и в конце концов будет удален. Дзета -регулируемая версия энергии на единицу площади пластины равна

$${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=\hbar \int {\frac {dk_{x}\,dk_{y}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}\left|\omega _{n}\right|^{-s}\,.}$$

В конечном итоге необходимо взять предел s → 0 . Здесь s — просто комплексное число , не путать с фигурой, обсуждавшейся ранее. Эта целая сумма конечна при s вещественном и больше 3. Сумма имеет полюс при s = 3 , но может быть аналитически продолжена до s = 0 , где выражение конечно. Вышеприведенное выражение упрощается до:

$${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}={\frac {\hbar c^{1-s}}{4\pi ^{2}}}\sum _{n}\int _{0}^{\infty }2\pi q\,dq\left|q^{2}+{\frac {\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}\right|^{\frac {1-s}{2}}\,,}$$

где полярные координаты q ² = k _x ² + k _y ² были введены для превращения двойного интеграла в одинарный. q впереди — это якобиан, а 2 π получается в результате углового интегрирования. Интеграл сходится, если Re( s ) > 3 , что приводит к

$${\displaystyle {\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}}}{\frac {1}{3-s}}\sum _{n}\left|n\right|^{3-s}=-{\frac {\hbar c^{1-s}\pi ^{2-s}}{2a^{3-s}(3-s)}}\sum _{n}{\frac {1}{\left|n\right|^{s-3}}}\,.}$$

Сумма расходится при s в окрестности нуля, но если предположить, что затухание высокочастотных возбуждений, соответствующее аналитическому продолжению дзета- функции Римана до s = 0 , каким-то образом имеет физический смысл, то имеем

$${\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{A}}=\lim _{s\to 0}{\frac {\langle E(s)\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{6a^{3}}}\zeta (-3)\,.}$$

Но ζ (−3) =1/120и таким образом получается

$${\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{720a^{3}}}\,.}$$

Аналитическое продолжение, очевидно, потеряло аддитивную положительную бесконечность, каким-то образом точно учитывающую нулевую энергию (не включенную выше) вне щели между пластинами, но которая меняется при движении пластин внутри замкнутой системы. Сила Казимира на единицу площадиФ _с/Адля идеализированных идеально проводящих пластин вакуум между ними

$${\displaystyle {\frac {F_{\mathrm {c} }}{A}}=-{\frac {d}{da}}{\frac {\langle E\rangle }{A}}=-{\frac {\hbar c\pi ^{2}}{240a^{4}}}}$$

где

• ħ — приведенная постоянная Планка ,
• с — скорость света ,
• а - расстояние между двумя пластинами

Сила отрицательна, что указывает на то, что сила притяжения: при сближении двух пластин энергия снижается. Наличие ħ показывает, что сила Казимира на единицу площадиФ _с/Аочень мала, и, кроме того, эта сила по своей сути имеет квантово-механическое происхождение.

Интегрируя приведенное выше уравнение, можно рассчитать энергию, необходимую для разделения до бесконечности двух пластин, как:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{E}(a)&=\int F(a)\,da=\int -\hbar c\pi ^{2}{\frac {A}{240a^{4}}}\,da\\[4pt]&=\hbar c\pi ^{2}{\frac {A}{720a^{3}}}\end{aligned}}}$$

где

• ħ — приведенная постоянная Планка ,
• с — скорость света ,
• А — площадь одной из пластин,
• а - расстояние между двумя пластинами

В первоначальном выводе Казимира ^[18] подвижная проводящая пластина расположена на небольшом расстоянии a от одной из двух широко разделенных пластин (расстояние L друг от друга). Учитывается нулевая энергия по обе стороны пластины. Вместо вышеупомянутого специального предположения аналитического продолжения несходящиеся суммы и интегралы вычисляются с использованием суммирования Эйлера–Маклорена с регуляризирующей функцией (например, экспоненциальной регуляризацией), не столь аномальной, как | ω _п | ^{− s} в приведенном выше. ^[26]

Более поздняя теория

Анализ Казимира идеализированных металлических пластин был обобщен Евгением Лифшицем и его учениками на произвольные диэлектрические и реалистичные металлические пластины. ^{[3] [27]} Используя этот подход, сложности ограничивающих поверхностей, такие как изменения силы Казимира из-за конечной проводимости, могут быть рассчитаны численно с использованием табличных комплексных диэлектрических функций ограничивающих материалов. Теория Лифшица для двух металлических пластин сводится к идеализированной теории Казимира.1/4 ^_Закон силы для больших зазоров, намного превышающих толщину скин-слоя металла, и, наоборот, сводится к1/3 ^_силовой закон дисперсионной силы Лондона (с коэффициентом, называемым константой Гамакера ) при малых а , с более сложной зависимостью от а для промежуточных расстояний, определяемых дисперсностью материалов . ^[28]

Результат Лифшица впоследствии был обобщен на произвольные многослойные плоские геометрии, а также на анизотропные и магнитные материалы, но в течение нескольких десятилетий расчет сил Казимира для неплоских геометрий оставался ограниченным несколькими идеализированными случаями, допускающими аналитические решения. ^[29] Например, сила в экспериментальной геометрии сфера-пластина была вычислена с приближением (согласно Дерягину), что радиус сферы R намного больше, чем расстояние a , и в этом случае близлежащие поверхности почти параллельны, а параллельные поверхности Результат пластины можно адаптировать для получения приблизительногор/3 ^_сила (пренебрегая эффектами глубины скин-слоя и кривизны более высокого порядка ). ^{[29] [30]} Однако в 2010-х годах ряд авторов разработали и продемонстрировали различные численные методы, во многих случаях адаптированные из классической вычислительной электромагнетики , которые способны точно рассчитывать силы Казимира для произвольной геометрии и материалов из простых конечных -размерные эффекты от конечных пластин до более сложных явлений, возникающих на узорчатых поверхностях или объектах различной формы. ^{[29] [31]}

Измерение

Одно из первых экспериментальных испытаний было проведено Маркусом Спарнаем в компании Philips в Эйндховене (Нидерланды) в 1958 году в тонком и сложном эксперименте с параллельными пластинами, получив результаты, не противоречащие теории Казимира ^{[32] [33]} , а большие экспериментальные ошибки.

Эффект Казимира был более точно измерен в 1997 году Стивом К. Ламоро из Национальной лаборатории Лос-Аламоса [ ^5] и Умаром Мохидином и Анушри Роем из Калифорнийского университета в Риверсайде . ^[34] На практике вместо использования двух параллельных пластин, которые требовали бы феноменально точного выравнивания, чтобы гарантировать их параллельность, в экспериментах используется одна плоская пластина, а другая пластина является частью сферы с очень большим радиусом .

В 2001 году группе (Джакомо Бресси, Джанни Каруньо, Роберто Онофрио и Джузеппе Руозо) из Падуанского университета (Италия) наконец удалось измерить силу Казимира между параллельными пластинами с помощью микрорезонаторов . ^[35] Многочисленные варианты этих экспериментов обобщены в обзоре Климчицкой за 2009 год. ^[36]

В 2013 году конгломерат ученых из Гонконгского университета науки и технологий , Университета Флориды , Гарвардского университета , Массачусетского технологического института и Национальной лаборатории Ок-Риджа продемонстрировал компактный интегрированный кремниевый чип, способный измерять силу Казимира. ^[37] Интегрированный чип, созданный с помощью электронно-лучевой литографии, не требует дополнительного выравнивания, что делает его идеальной платформой для измерения силы Казимира между сложными геометрическими объектами. В 2017 и 2021 годах одна и та же группа из Гонконгского университета науки и технологий продемонстрировала немонотонную силу Казимира ^[38] и независимую от расстояния силу Казимира ^[39] соответственно, используя эту встроенную платформу.

Регуляризация

Чтобы иметь возможность производить расчеты в общем случае, при суммировании удобно ввести регулятор . Это искусственное устройство, используемое для того, чтобы сделать суммы конечными, чтобы ими было легче манипулировать, с последующим установлением предела для устранения регулятора.

Тепловое ядро ​​или экспоненциально регулируемая сумма равна

$${\displaystyle \langle E(t)\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hbar |\omega _{n}|\exp {\bigl (}-t|\omega _{n}|{\bigr )}\,,}$$

где в итоге берется предел t → 0 ^{+ .} Расхождение суммы обычно проявляется как

$${\displaystyle \langle E(t)\rangle ={\frac {C}{t^{3}}}+{\textrm {finite}}\,}$$

для трехмерных полостей. Бесконечная часть суммы связана с объемной константой C , не зависящей от формы полости. Интересная часть суммы — это конечная часть, которая зависит от формы. Гауссов регулятор _

$${\displaystyle \langle E(t)\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hbar |\omega _{n}|\exp \left(-t^{2}|\omega _{n}|^{2}\right)}$$

лучше подходит для численных расчетов из-за своих превосходных свойств сходимости, но его сложнее использовать в теоретических расчетах. Можно также использовать другие, достаточно гладкие регуляторы. Регулятор дзета- функции

$${\displaystyle \langle E(s)\rangle ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hbar |\omega _{n}||\omega _{n}|^{-s}}$$

совершенно непригоден для численных расчетов, но весьма полезен в теоретических расчетах. В частности, дивергенции проявляются в виде полюсов на комплексной плоскости s , а объемная дивергенция — при s = 4 . Эту сумму можно аналитически продолжить за этот полюс, чтобы получить конечную часть при s = 0 .

Не каждая конфигурация полости обязательно приводит к конечной части (отсутствию полюса при s = 0 ) или бесконечным частям, не зависящим от формы. В этом случае следует понимать, что необходимо учитывать дополнительную физику. В частности, на чрезвычайно больших частотах (выше плазменной частоты ) металлы становятся прозрачными для фотонов (например, рентгеновских лучей ), а диэлектрики также демонстрируют частотно-зависимую отсечку. Эта частотная зависимость действует как естественный регулятор. В физике твердого тела существует множество объемных эффектов , математически очень похожих на эффект Казимира, где частота среза явно играет роль, чтобы сохранить конечность выражений. (Более подробно они обсуждаются в книге Ландау и Лифшица «Теория непрерывных сред». ^{[ нужна ссылка ]} ).

Общие сведения

Эффект Казимира также можно вычислить, используя математические механизмы функциональных интегралов квантовой теории поля, хотя такие вычисления значительно более абстрактны и, следовательно, трудны для понимания. Кроме того, они могут быть выполнены только для простейшей геометрии. Однако формализм квантовой теории поля проясняет, что суммирование вакуумного среднего значения в определенном смысле является суммированием по так называемым «виртуальным частицам».

Более интересным является понимание того , что суммы по энергиям стоячих волн формально следует понимать как суммы по собственным значениям гамильтониана . Это позволяет понимать атомные и молекулярные эффекты, такие как сила Ван-дер-Ваальса , как вариацию на тему эффекта Казимира. Таким образом, гамильтониан системы рассматривается как функция расположения объектов, таких как атомы, в конфигурационном пространстве . Можно понимать, что изменение нулевой энергии в зависимости от изменений конфигурации приводит к возникновению сил, действующих между объектами.

В модели нуклона с киральным мешком энергия Казимира играет важную роль, показывая, что масса нуклона не зависит от радиуса мешка. Кроме того, спектральная асимметрия интерпретируется как ненулевое вакуумное математическое ожидание барионного числа , компенсирующее топологическое число витков пионного поля, окружающего нуклон.

Эффект «псевдо-Казимира» можно обнаружить в жидкокристаллических системах, где граничные условия, налагаемые за счет закрепления твердыми стенками, вызывают возникновение дальнодействующей силы, аналогичной силе, возникающей между проводящими пластинами. ^[40]

Динамический эффект Казимира

Динамический эффект Казимира — это производство частиц и энергии из ускоренно движущегося зеркала . Эта реакция была предсказана некоторыми численными решениями уравнений квантовой механики , сделанными в 1970-х годах. ^{[41] В мае 2011 года исследователи из} Технологического университета Чалмерса в Гетеборге, Швеция, сделали заявление об обнаружении динамического эффекта Казимира. В их эксперименте микроволновые фотоны генерировались из вакуума в сверхпроводящем микроволновом резонаторе. Эти исследователи использовали модифицированный СКВИД , чтобы изменять эффективную длину резонатора во времени, имитируя движение зеркала с необходимой релятивистской скоростью. Если это подтвердится, это станет первой экспериментальной проверкой динамического эффекта Казимира. ^{[42] [43] В марте 2013 года в научном журнале} PNAS появилась статья, описывающая эксперимент, демонстрирующий динамический эффект Казимира в метаматериале Джозефсона. ^[44] В июле 2019 года была опубликована статья с описанием эксперимента, подтверждающего оптический динамический эффект Казимира в дисперсионно-колебательном волокне. ^[45] В 2020 году Фрэнк Вильчек и др. разрешили парадокс потери информации , связанный с моделью движущегося зеркала динамического эффекта Казимира. ^[46]

Аналогии

Подобный анализ можно использовать для объяснения излучения Хокинга , которое вызывает медленное « испарение » черных дыр (хотя обычно это представляют как выход одной частицы из виртуальной пары частица- античастица , при этом другая частица захватывается черной дырой). ). ^[47]

Динамический эффект Казимира , созданный в рамках квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени , использовался для лучшего понимания ускоряющего излучения, такого как эффект Дэвиса-Фуллинга-Унру . ^{[ нужна цитата ]}

Отталкивающие силы

Есть несколько случаев, когда эффект Казимира может привести к возникновению сил отталкивания между незаряженными объектами. Евгений Лифшиц показал (теоретически), что при определенных обстоятельствах (чаще всего с жидкостями) могут возникать силы отталкивания. ^[48] ​​Это вызвало интерес к применению эффекта Казимира для разработки левитирующих устройств. Экспериментальная демонстрация отталкивания, основанного на Казимире, предсказанного Лифшицем, была проведена Мандеем и др. ^[49] , которые описали это как « квантовую левитацию ». Другие ученые также предложили использовать усиливающие среды для достижения аналогичного эффекта левитации, ^{[50] [51],} хотя это спорно, поскольку эти материалы, похоже, нарушают фундаментальные ограничения причинности и требования термодинамического равновесия ( соотношения Крамерса-Кронига ). Отталкивание Казимира и Казимира-Польдера действительно может происходить для достаточно анизотропных электрических тел; обзор проблем, связанных с отталкиванием, см. Milton et al. ^[52] Примечательная недавняя разработка в области отталкивающих сил Казимира основана на использовании киральных материалов. К.-Д. Цзян из Стокгольмского университета и нобелевский лауреат Фрэнк Вильчек из Массачусетского технологического института показывают, что хиральная «смазка» может генерировать отталкивающие, усиленные и настраиваемые взаимодействия Казимира. ^[53]

Тимоти Бойер в своей работе, опубликованной в 1968 году ^[54], показал , что проводник со сферической симметрией также будет проявлять эту силу отталкивания, и результат не зависит от радиуса. Дальнейшие работы показывают, что силу отталкивания можно создать с помощью материалов из тщательно подобранных диэлектриков. ^[55]

Спекулятивные приложения

Было высказано предположение, что силы Казимира могут найти применение в нанотехнологиях, ^[56] в частности, в микро- и наноэлектромеханических системах на основе технологии кремниевых интегральных схем и в так называемых генераторах Казимира. ^[57]

Эффект Казимира показывает, что квантовая теория поля позволяет плотности энергии в определенных областях пространства быть отрицательной по сравнению с обычной энергией вакуума, и теоретически было показано, что квантовая теория поля допускает состояния, в которых энергия может быть сколь угодно отрицательной в данной точке. . ^[58] Многие выдающиеся физики, такие как Стивен Хокинг , ^[59] Кип Торн , ^[60] и другие, ^{[61] [62] [63]} поэтому утверждают, что такие эффекты могут сделать возможным стабилизировать проходимую червоточину .

Смотрите также

• Физический портал

• Отрицательная энергия
• Эффект Шарнхорста
• Сила Ван дер Ваальса
• Сжатый вакуум

Рекомендации

1. Ламоро, Стивен К. (2005). «Сила Казимира: предпосылки, эксперименты и приложения». Отчеты о прогрессе в физике . 68 (1): 201–236. Бибкод :2005РПФ...68..201Л. дои : 10.1088/0034-4885/68/1/r04. S2CID  21131414.
2. Казимир, HBG ; Польдер, Д. (15 февраля 1948 г.). «Влияние замедления на силы Лондона – Ван дер Ваальса». Физический обзор . 73 (4): 360–372. Бибкод : 1948PhRv...73..360C. doi : 10.1103/PhysRev.73.360. ISSN  0031-899X.
3. Дзялошинский, ИП; Лифшиц, Э.М.; Питаевский, Лев П (1961). «Общая теория сил Ван дер Ваальса». Успехи советской физики . 4 (2): 153. Бибкод : 1961СвФУ...4..153Д. doi : 10.1070/PU1961v004n02ABEH003330.
4. Интравая, Франческо; Бехунин, Райан (28 декабря 2012 г.). «Эффект Казимира как сумма по модам в диссипативных системах». Физический обзор А. 86 (6): 062517. arXiv : 1209.6072 . Бибкод : 2012PhRvA..86f2517I. doi : 10.1103/PhysRevA.86.062517. ISSN  1050-2947. S2CID  119211980.
5. Lamoreaux, SK (1997). «Демонстрация силы Казимира в диапазоне от 0,6 до 6 мкм». Письма о физических отзывах . 78 (1): 5–8. Бибкод : 1997PhRvL..78....5L. doi :10.1103/PhysRevLett.78.5. S2CID  25323874.
6. Э. Л. Лосада "Функциональный подход к фермионному эффекту Казимира. Архивировано 31 мая 2011 г. в Wayback Machine "
7. Майкл Бордаг; Галина Леонидовна Климчицкая; Умар Мохидин (2009). «Глава I; § 3: Квантование поля и энергия вакуума при наличии границ». Достижения в области эффекта Казимира . Издательство Оксфордского университета. стр. 33 и далее . ISBN 978-0-19-923874-3.Обзор Ламоро, Стив К. (2010). «Прогресс в области эффекта Казимира. Прогресс в области эффекта Казимира», М. Бордаг, Г. Л. Климчицкая, У. Мохидин и В. М. Мостепаненко Oxford U. Press, Нью-Йорк, 2009. $ 150,00 (749 стр.). ISBN 978-0-19- 923874-3". Физика сегодня . 63 (8): 50–51. Бибкод : 2010ФТ....63ч..50Б. дои : 10.1063/1.3480079.
8. Гриффитс, диджей; Хо, Э. (2001). «Классический эффект Казимира для бус на нитке». Американский журнал физики . 69 (11): 1173. Бибкод : 2001AmJPh..69.1173G. дои : 10.1119/1.1396620.
9. Кук, Дж. Х. (1998). «Сила Казимира на нагруженной струне». Американский журнал физики . 66 (7): 569–572. Бибкод : 1998AmJPh..66..569C. дои : 10.1119/1.18907.
10. Денардо, Британская Колумбия; Пуда, Джей-Джей; Ларраза, А.С. (2009). «Аналог эффекта Казимира на водной волне». Американский журнал физики . 77 (12): 1095. Бибкод : 2009AmJPh..77.1095D. дои : 10.1119/1.3211416.
11. Ларраса, А.С.; Денардо, Б. (1998). «Акустический эффект Казимира». Буквы по физике А. 248 (2–4): 151. Бибкод : 1998PhLA..248..151L. дои : 10.1016/S0375-9601(98)00652-5.
12. Астрид Ламбрехт, Серж Рейно и Сириак Жене (2007) «Казимир в наномире». Архивировано 22 ноября 2009 года в Wayback Machine.
13. Жене, К.; Интравая, Ф.; Ламбрехт, А.; Рейно, С. (2004). «Электромагнитные флуктуации вакуума, силы Казимира и Ван дер Ваальса» (PDF) . Анналы Фонда Луи де Бройля . 29 (1–2): 311–328. arXiv : Quant-ph/0302072 . Бибкод : 2003quant.ph..2072G. Архивировано (PDF) из оригинала 3 октября 2016 г.
14. Сила пустого пространства, Physical Review Focus , 3 декабря 1998 г.
15. Ламбрехт, А. (1 сентября 2002 г.). «Эффект Казимира: сила из ничего». Мир физики . Проверено 17 июля 2009 г.
16. "Новостная заметка Американского института физики, 1996 г." . Архивировано из оригинала 29 января 2008 года . Проверено 28 февраля 2008 г.
17. Яффе, Р. (2005). «Эффект Казимира и квантовый вакуум». Физический обзор D . 72 (2): 021301. arXiv : hep-th/0503158 . Бибкод : 2005PhRvD..72b1301J. doi : 10.1103/PhysRevD.72.021301. S2CID  13171179.
18. Казимир, HBG (1948). «О притяжении двух идеально проводящих пластин» (PDF) . Учеб. Кон. Нед. Акад. Влажный . 51 : 793. Архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2013 г.
19. Ду, ЗЗ; Лю, HM; Се, ЮЛ; Ван, QH; Лю, Ж.-М. (7 декабря 2015 г.). «Спиновый эффект Казимира в неколлинеарных квантовых антиферромагнетиках: подход спиновых волн, обеспечивающий равновесие крутящего момента». Физический обзор B . 92 (21): 214409. arXiv : 1506.05211 . Бибкод : 2015arXiv150605211D. doi : 10.1103/PhysRevB.92.214409. ISSN  1098-0121. S2CID  118348464.
20. С.Э. Руг, Х. Цинкернагель; Зинкернагель (2002). «Квантовый вакуум и проблема космологической постоянной». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (4): 663–705. arXiv : hep-th/0012253 . Бибкод : 2002ШПМП..33..663Р. дои : 10.1016/S1355-2198(02)00033-3. S2CID  9007190.
21. Бьянки, Эудженио; Ровелли, Карло (2010). «К чему все эти предубеждения против константы?». arXiv : 1002.3966 [astro-ph.CO].
22. Швингер, Джулиан; ДеРаад, Лестер Л.; Милтон, Кимбалл А. (1978). «Эффект Казимира в диэлектриках». Анналы физики . 115 (1): 1–23. Бибкод : 1978AnPhy.115....1S. дои : 10.1016/0003-4916(78)90172-0.
23. Николич, Хрвое (2016). «Доказательство того, что сила Казимира не возникает из энергии вакуума». Буквы по физике Б. 761 : 197–202. arXiv : 1605.04143 . Бибкод : 2016PhLB..761..197N. doi :10.1016/j.physletb.2016.08.036. S2CID  119265677.
24. Николич, Хрвое (2017). «Является ли энергия нулевой точки физической? Игрушечная модель эффекта Казимира». Анналы физики . 383 : 181–195. arXiv : 1702.03291 . Бибкод : 2017AnPhy.383..181N. дои : 10.1016/j.aop.2017.05.013. S2CID  118883930.
25. Краткое содержание см. во введении к Passante, R.; Спаньоло, С. (2007). «Межатомный потенциал Казимира – Полдера между двумя атомами при конечной температуре и при наличии граничных условий». Физический обзор А. 76 (4): 042112. arXiv : 0708.2240 . Бибкод : 2007PhRvA..76d2112P. doi : 10.1103/PhysRevA.76.042112. S2CID  119651683.
26. Руджеро, Цимерман; Виллани (1977). «Применение аналитической регуляризации к силам Казимира» (PDF) . Revista Brasileira de Física . 7 (3). Архивировано (PDF) из оригинала 3 апреля 2015 г.
27. Дзялошинский, ИП; Кац, Э.И. (2004). «Силы Казимира в модулированных системах». Физический журнал: конденсированное вещество . 16 (32): 5659. arXiv : cond-mat/0408348 . Бибкод : 2004JPCM...16.5659D. дои : 10.1088/0953-8984/16/32/003. S2CID  250897415.
28. В. А. Парсегян, Силы Ван дер Ваальса: Справочник для биологов, химиков, инженеров и физиков (Cambridge Univ. Press, 2006).
29. Родригес, AW; Капассо, Ф.; Джонсон, Стивен Г. (2011). «Эффект Казимира в микроструктурированной геометрии». Природная фотоника . 5 (4): 211–221. Бибкод : 2011NaPho...5..211R. дои : 10.1038/nphoton.2011.39.Обзорная статья.
30. Б. В. Дерягин, И. И. Абрикосова и Е. М. Лифшиц, Ежеквартальные обзоры, Химическое общество , вып. 10, 295–329 (1956).
31. Рид, MTH; Уайт, Дж.; Джонсон, С.Г. (2011). «Расчет взаимодействий Казимира между произвольными трехмерными объектами с произвольными свойствами материала». Физический обзор А. 84 (1): 010503(Р). arXiv : 1010.5539 . Бибкод : 2011PhRvA..84a0503R. doi : 10.1103/PhysRevA.84.010503. S2CID  197461628.
32. Спарнаай, MJ (1957). «Силы притяжения между плоскими пластинами». Природа . 180 (4581): 334–335. Бибкод : 1957Natur.180..334S. дои : 10.1038/180334b0. S2CID  4263111.
33. Спарнаай, М (1958). «Измерения сил притяжения между плоскими пластинами». Физика . 24 (6–10): 751–764. Бибкод : 1958Phy....24..751S. дои : 10.1016/S0031-8914(58)80090-7.
34. Мохидин, Ю.; Рой, Анушри (1998). «Прецизионное измерение силы Казимира от 0,1 до 0,9 мкм». Письма о физических отзывах . 81 (21): 4549–4552. arXiv : физика/9805038 . Бибкод : 1998PhRvL..81.4549M. doi :10.1103/PhysRevLett.81.4549. S2CID  56132451.
35. Бресси, Г.; Каруньо, Г.; Онофрио, Р.; Руозо, Г. (2002). «Измерение силы Казимира между параллельными металлическими поверхностями». Письма о физических отзывах . 88 (4): 041804. arXiv : quant-ph/0203002 . Бибкод : 2002PhRvL..88d1804B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.041804. PMID  11801108. S2CID  43354557.
36. Климчицкая, Г.Л.; Мохидин, У.; Мостепаненко, В.М. (21 декабря 2009 г.). «Сила Казимира между реальными материалами: эксперимент и теория». Обзоры современной физики . 81 (4): 1827–1885. arXiv : 0902.4022 . doi : 10.1103/RevModPhys.81.1827. ISSN  0034-6861.
37. Зао, Дж.; Марсет, З.; Родригес, AW; Рид, Массачусетс; МакКоли, AP; Кравченко И.И.; Лу, Т.; Бао, Ю.; Джонсон, СГ; Чан, Х.Б.; и другие. (14 мая 2013 г.). «Силы Казимира на кремниевом микромеханическом чипе». Природные коммуникации . 4 : 1845. arXiv : 1207.6163 . Бибкод : 2013NatCo...4.1845Z. doi : 10.1038/ncomms2842. PMID  23673630. S2CID  46359798.
38. Лу, Т.; Ван, Минкан; Нг, CY; Николич, М.; Чан, Коннектикут; Родригес, Алехандро; Чан, Х.Б.; и другие. (9 января 2017 г.). «Измерение немонотонных сил Казимира между кремниевыми наноструктурами». Природная фотоника . 11 (2): 97–101. arXiv : 1701.02351 . Бибкод : 2017NaPho..11...97T. дои : 10.1038/nphoton.2016.254. S2CID  119327017.
39. Ван, Минкан; Тан, Л.; Нг, CY; Мессина, Риккардо; Гуизаль, Брахим; Кросс, Дж.А.; Антеза, Мауро; Чан, Коннектикут; Чан, Х.Б.; и другие. (26 января 2021 г.). «Сильная геометрическая зависимость силы Казимира между взаимопроникающими прямоугольными решетками». Природные коммуникации . 12 (1): 600. arXiv : 2009.02187 . Бибкод : 2021NatCo..12..600Вт. дои : 10.1038/s41467-021-20891-4. ПМЦ 7838308 . ПМИД  33500401. 
40. Аждари, А.; Дюплантье, Б.; Хон, Д.; Пелити, Л.; Прост, Дж. (март 1992 г.). «Эффект «Псевдо-Казимира» в жидких кристаллах». Журнал физики II . 2 (3): 487–501. Бибкод : 1992JPhy2...2..487A. дои : 10.1051/jp2: 1992145. S2CID  55236741.
41. Фуллинг, SA; Дэвис, PCW (1976). «Излучение движущегося зеркала в двумерном пространстве-времени: конформная аномалия». Труды Королевского общества А. 348 (1654): 393. Бибкод : 1976RSPSA.348..393F. дои : 10.1098/rspa.1976.0045. S2CID  122176090.
42. «Первое наблюдение динамического эффекта Казимира». Обзор технологий .
43. Уилсон, CM; Йоханссон, Г.; Пуркабирян, А.; Симоен, М.; Йоханссон-младший; Долг, Т.; Нори, Ф.; Дельсинг, П. (2011). «Наблюдение динамического эффекта Казимира в сверхпроводящей цепи». Природа . 479 (7373): 376–379. arXiv : 1105.4714 . Бибкод : 2011Natur.479..376W. дои : 10.1038/nature10561. PMID  22094697. S2CID  219735.
44. «Динамический эффект Казимира в метаматериале Джозефсона». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки .
45. Веццоли, С.; Мюссо, А.; Вестерберг, Н.; Кудлинский А.; Салех, HD; Праин, А.; Бьянкалана, Ф.; Ланц, Э.; Фаччо, Д. (2019). «Оптический аналог динамического эффекта Казимира в дисперсионно-колебательном световоде». Физика связи . 2 (1): 84. arXiv : 1811.04262 . Бибкод : 2019CmPhy...2...84В. дои : 10.1038/s42005-019-0183-z. S2CID  53691352.
46. Вильчек, Ф.; Линдер, Э.В.; Хорошо, МРР (2020). «Модель движущегося зеркала для полей квазитеплового излучения». Физический обзор D . 101 (2): 025012. Бибкод : 2020PhRvD.101b5012G. doi : 10.1103/PhysRevD.101.025012. hdl : 1721.1/125524 . S2CID  213899274.
47. Сандермиер, Али (15 августа 2016 г.). «Только что впервые были обнаружены доказательства знаменитого предсказания Стивена Хокинга о черных дырах». Бизнес-инсайдер . Проверено 23 января 2017 г.
48. Дзялошинский, ИП; Лифшиц, Э.М.; Питаевский, Л.П. (1961). «Общая теория сил Ван дер Ваальса». Достижения физики . 10 (38): 165. Бибкод : 1961AdPhy..10..165D. дои : 10.1080/00018736100101281.
49. Мандей, JN; Капассо, Ф.; Парсегян, Вирджиния (2009). «Измерение дальнодействующих отталкивающих сил Казимира – Лифшица». Природа . 457 (7226): 170–3. Бибкод : 2009Natur.457..170M. дои : 10.1038/nature07610. ПМК 4169270 . ПМИД  19129843. 
50. Хайфилд, Роджер (6 августа 2007 г.). «Физики «разгадали» тайну левитации». «Дейли телеграф» . Лондон. Архивировано из оригинала 13 мая 2008 года . Проверено 28 апреля 2010 г.
51. Леонхардт, Ульф; Филбин, Томас Г. (август 2007 г.). «Квантовая левитация левыми метаматериалами». Новый журнал физики . Издательство IOP и Немецкое физическое общество . 9 (8): 254. arXiv : quant-ph/0608115 . Бибкод : 2007NJPh....9..254L. дои : 10.1088/1367-2630/9/8/254 .
52. Милтон, Калифорния; Абало, ЕК; Парашар, Прачи; Пуртолами, Нима; Бревик, Айвер; Эллингсен, Симен А. (2012). «Отталкивающие силы Казимира и Казимира-Польдера». Дж. Физ. А. _ 45 (37): 4006. arXiv : 1202.6415 . Бибкод : 2012JPhA...45K4006M. дои : 10.1088/1751-8113/45/37/374006. S2CID  118364958.
53. Цзян, Цин-Дун; Вильчек, Франк (4 марта 2019 г.). «Хиральные силы Казимира: отталкивающие, усиленные, настраиваемые». Физический обзор B . 99 (12): 125403. arXiv : 1805.07994 . Бибкод : 2019PhRvB..99l5403J. doi : 10.1103/PhysRevB.99.125403. S2CID  67802144.
54. Бойер, Тимоти Х. (25 октября 1968 г.). «Квантовая электромагнитная энергия нулевой точки проводящей сферической оболочки и модель Казимира для заряженной частицы». Физический обзор . 174 (5): 1764–1776. Бибкод : 1968PhRv..174.1764B. дои : 10.1103/PhysRev.174.1764.
55. Сандерсон, Кэтрин (7 января 2009 г.). «Квантовая сила становится отталкивающей». Природа : новости.2009.4. дои : 10.1038/news.2009.4. ISSN  0028-0836.
56. Капассо, Ф.; Мандей, JN; Яннуцци, Д.; Чан, Х.Б. (2007). «Силы Казимира и квантовые электродинамические моменты: физика и наномеханика». Журнал IEEE по избранным темам квантовой электроники . 13 (2): 400. Бибкод : 2007IJSTQ..13..400C. дои : 10.1109/JSTQE.2007.893082. S2CID  32996610.
57. Серри, FM; Уоллизер, Д.; Маклей, Дж.Дж. (1995). «Ангармонический генератор Казимира (ACO) - эффект Казимира в модельной микроэлектромеханической системе» (PDF) . Журнал микроэлектромеханических систем . 4 (4): 193. дои : 10.1109/84.475546. Архивировано (PDF) из оригинала 13 марта 2006 г.
58. Эверетт, Аллен; Роман, Томас (2012). Путешествие во времени и варп-двигатели . Издательство Чикагского университета. п. 167. ИСБН 978-0-226-22498-5.
59. «Искажения пространства и времени». Хокинг.org.uk. Архивировано из оригинала 10 февраля 2012 года . Проверено 11 ноября 2010 г.
60. Моррис, Майкл; Торн, Кип; Юрцевер, Ульви (1988). «Червоточины, машины времени и слабая энергия» (PDF) . Письма о физических отзывах . 61 (13): 1446–1449. Бибкод : 1988PhRvL..61.1446M. doi :10.1103/PhysRevLett.61.1446. PMID  10038800. Архивировано (PDF) из оригинала 9 июля 2011 года.
61. Сопова, В.; Форд, Л.Х. (2002). «Плотность энергии в эффекте Казимира». Физический обзор D . 66 (4): 045026. arXiv : quant-ph/0204125 . Бибкод : 2002PhRvD..66d5026S. doi : 10.1103/PhysRevD.66.045026. S2CID  10649139.
62. Форд, Л.Х.; Роман, Томас А. (1995). «Усредненные энергетические условия и квантовые неравенства». Физический обзор D . 51 (8): 4277–4286. arXiv : gr-qc/9410043 . Бибкод : 1995PhRvD..51.4277F. doi :10.1103/PhysRevD.51.4277. PMID  10018903. S2CID  7413835.
63. Олум, Кен Д. (1998). «Сверхсветовое путешествие требует отрицательных энергий». Письма о физических отзывах . 81 (17): 3567–3570. arXiv : gr-qc/9805003 . Бибкод : 1998PhRvL..81.3567O. doi : 10.1103/PhysRevLett.81.3567. S2CID  14513456.

дальнейшее чтение

Вводные чтения

• Описание эффекта Казимира из Калифорнийского университета, версии часто задаваемых вопросов по физике Usenet от Риверсайда.
• А. Ламбрехт, Эффект Казимира: сила из ничего, Мир физики , сентябрь 2002 г.
• Астрономическая картина дня НАСА: эффект Казимира (17 декабря 2006 г.)
• Симпсон, WM R; Леонхардт, У. (2015). Силы квантового вакуума: введение в физику Казимира . Всемирная научная . ISBN 978-981-4632-90-4.

Статьи, книги и лекции

• Казимир, HBG ; Польдер, Д. (1948). «Влияние замедления на силы Лондона-ван-дер-Ваальса». Физический обзор . 73 (4): 360–372. Бибкод : 1948PhRv...73..360C. doi : 10.1103/PhysRev.73.360.
• Казимир, HBG (1948). «О притяжении двух идеально проводящих пластин» (PDF) . Труды Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen . Б51 : 793–795.
• Ламоро, СК (1997). «Демонстрация силы Казимира в диапазоне от 0,6 до 6 мкм». Письма о физических отзывах . 78 (1): 5–8. Бибкод : 1997PhRvL..78....5L. doi :10.1103/PhysRevLett.78.5. S2CID  25323874.
• Бордаг, М.; Мохидин, У.; Мостепаненко, В.М. (октябрь 2001 г.). «Новые разработки в области эффекта Казимира». Отчеты по физике . 353 (1–3): 1–205. arXiv : Quant-ph/0106045 . Бибкод : 2001PhR...353....1B. дои : 10.1016/S0370-1573(01)00015-1. S2CID  119352552.
• Милтон, Калифорния (2001). Эффект Казимира: физические проявления энергии нулевой точки (переиздание). Всемирная научная . ISBN 978-981-02-4397-5.
• Далвит, Диего; Милонни, Питер; Робертс, Дэвид; Да Роза, Фелипе (2011). Далвит, Диего; Милонни, Питер В .; Робертс, Дэвид; да Роза, Фелипе (ред.). Казимир Физика. Конспект лекций по физике. Том. 834. Бибкод : 2011ЛНП...834.....Д. дои : 10.1007/978-3-642-20288-9. ISBN 978-3-642-20287-2. ISSN  0075-8450. ОКЛК  844922239.
• Бресси, Г.; Каруньо, Г.; Онофрио, Р.; Руозо, Г. (2002). «Измерение силы Казимира между параллельными металлическими поверхностями». Письма о физических отзывах . 88 (4): 041804. arXiv : quant-ph/0203002 . Бибкод : 2002PhRvL..88d1804B. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.041804. PMID  11801108. S2CID  43354557.
• Кеннет, О.; Клич, И.; Манн, А.; Ревзен, М. (2002). «Отталкивающие силы Казимира». Письма о физических отзывах . 89 (3): 033001. arXiv : quant-ph/0202114 . Бибкод : 2002PhRvL..89c3001K. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.033001. PMID  12144387. S2CID  20903628.
• Барроу, Джей Ди (2005). "Много шума из ничего". Лекция в Грешам-колледже . Архивировано из оригинала 30 сентября 2007 года.(Включает обсуждение аналогии с французским военно-морским флотом.)
• Барроу, Джей Ди (2000). Книга Ничто: Вакуумы, пустоты и новейшие идеи о происхождении Вселенной . Книги Пантеона . ISBN 978-0-09-928845-9.(Также включает обсуждение аналогии с французским военно-морским флотом.)
• Даунлинг, JP (1989). «Математика эффекта Казимира». Журнал «Математика» . 62 (5): 324–331. дои : 10.1080/0025570X.1989.11977464.
• Патент № PCT/RU2011/000847 Автор Урматских.

Температурная зависимость

• Измерения меняют привычный взгляд на неуловимую силу от NIST
• Нестеренко В.В.; Ламбиасе, Г.; Скарпетта, Г. (2005). «Расчет энергии Казимира при нулевой и конечной температуре: некоторые недавние результаты». Ривиста дель Нуово Чименто . 27 (6): 1–74. arXiv : hep-th/0503100 . Бибкод : 2004NCimR..27f...1N. дои : 10.1393/ncr/i2005-10002-2. S2CID  14693485.

Внешние ссылки

• Поиск статей об эффекте Казимира на arxiv.org
• Г. Ланг, веб-сайт The Casimir Force, 2002 г.
• Дж. Бэбб, библиография на веб-сайте Эффекта Казимира, 2009 г.
• Х. Николич, Происхождение эффекта Казимира; Энергия вакуума или сила Ван-дер-Ваальса? слайды презентации, 2018 г.