Вариограмма

Функция пространственной статистики

В пространственной статистике обозначаемая теоретическая вариограмма представляет собой функцию, описывающую степень пространственной зависимости пространственного случайного поля или стохастического процесса . Семивариограмма — это половина вариограммы. ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

Схематизация вариограммы. Точки представляют точки измеренных данных (наблюдаемые), а кривая представляет собой используемую модельную функцию (эмпирическую). Диапазон означает искомый диапазон, порог — значение плато, достигнутое при максимальном расстоянии, самородок — эффект самородка.

В случае конкретного примера из области добычи золота вариограмма даст меру того, насколько будут различаться процентное содержание золота в двух пробах, взятых из района добычи, в зависимости от расстояния между этими образцами. Образцы, взятые далеко друг от друга, будут различаться больше, чем образцы, взятые близко друг к другу.

Определение

Семивариограмма была впервые определена Матероном (1963) как половина средней квадратичной разницы между значениями в точках ( и ) , разделенных расстоянием . ^{[1] [2]} Формально ${\displaystyle \gamma (h)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2V}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dV,}$

где – точка геометрического поля , и – значение в этой точке. Тройной интеграл имеет более 3 измерений. представляет собой интересующее расстояние разделения (например, в метрах или км). Например, значение может представлять содержание железа в почве в каком-то месте (с географическими координатами широты, долготы и высоты) в некотором регионе с элементом объема . Чтобы получить вариограмму для заданного значения , необходимо выполнить выборку всех пар точек на этом точном расстоянии. На практике невозможно отобрать образцы повсюду, поэтому вместо этого используется эмпирическая вариограмма. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle \gamma (h)}$

Вариограмма в два раза больше вариограммы и может быть определена, что эквивалентно, как дисперсия разницы между значениями поля в двух местах ( и , обратите внимание на изменение обозначений с to и to ) между реализациями поля (Cressie 1993): ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-\mu (\mathbf {s} _{1}))-(Z(\mathbf {s} _{2})-\mu (\mathbf {s} _{2})))^{2}\right].}$

Если пространственное случайное поле имеет постоянное среднее значение , это эквивалентно ожиданию квадратичного приращения значений между местоположениями и (Wackernagel 2003) (где и — точки в пространстве и, возможно, во времени): ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

В случае стационарного процесса вариограмма и семивариограмма могут быть представлены только как функция разницы между местоположениями с помощью следующего соотношения (Cressie 1993): ${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$ ${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).}$

Если процесс, кроме того, изотропен , то вариограмма и семивариограмма могут быть представлены только функцией расстояния (Cressie 1993): ${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$ ${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

Индексы или обычно не записываются. Термины используются для всех трех форм функции. Более того, термин «вариограмма» иногда используется для обозначения семивариограммы, а символ иногда используется для обозначения вариограммы, что вносит некоторую путаницу. ^[3] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma }$

Характеристики

Согласно (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) теоретическая вариограмма обладает следующими свойствами:

• Семивариограмма неотрицательна , поскольку представляет собой математическое ожидание квадрата. ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$
• Вариограмма на расстоянии 0 всегда равна 0, поскольку . ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$
• Функция является вариограммой тогда и только тогда, когда она является условно отрицательно определенной функцией, т.е. для всех весов, подверженных и местоположениям, она выполняется: ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j})w_{j}\leq 0}$

что соответствует тому факту, что дисперсия определяется отрицательным значением этой двойной суммы и должна быть неотрицательной. ^{[ оспаривается ]} ${\displaystyle var(X)}$ ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

• Если ковариационная функция стационарного процесса существует, она связана с вариограммой соотношением

  ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Если стационарное случайное поле не имеет пространственной зависимости (т.е. если ) , вариограмма является постоянной всюду, кроме начала координат, где она равна нулю. ${\displaystyle C(h)=0}$ ${\displaystyle h\not =0}$ ${\displaystyle var(Z(\mathbf {s} ))}$
• ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$является симметричной функцией.
• Следовательно, – четная функция . ${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$
• Если случайное поле стационарно и эргодично , соответствует дисперсии поля. Предел вариограммы также называют ее порогом . ${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(\mathbf {s} ))}$
• Как следствие, вариограмма может быть прерывистой только в начале координат. Высоту скачка в начале координат иногда называют эффектом самородка или самородка.

Параметры

Таким образом, для описания вариограмм часто используются следующие параметры:

• самородок : высота скачка вариограммы на разрыве в начале координат. ${\displaystyle n}$
• порог : предел вариограммы, стремящейся к бесконечности расстояний задержки. ${\displaystyle s}$
• диапазон : Расстояние, на котором отличие вариограммы от порога становится незначительным. В моделях с фиксированным подоконником – это расстояние, на котором он впервые достигается; для моделей с асимптотическим порогом за него принято считать расстояние, на котором полудисперсия впервые достигает 95% порога. ${\displaystyle r}$

Эмпирическая вариограмма

Как правило, для измеренных данных необходима эмпирическая вариограмма , поскольку информация об образцах доступна не для каждого местоположения. Информацией об образце, например, может быть концентрация железа в образцах почвы или интенсивность пикселей на камере. Каждая часть выборочной информации имеет координаты для двумерного выборочного пространства, где и — географические координаты. В случае железа в почве пространство образца может быть трехмерным. Если также существует временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то это может быть четырехмерный вектор . В случае, когда размеры имеют разные единицы измерения (например, расстояние и время), к каждому из них можно применить коэффициент масштабирования, чтобы получить модифицированное евклидово расстояние. ^[4] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle B}$

Выборочные наблюдения обозначены . Пробы могут быть взяты в разных местах. Это обеспечит набор образцов в различных местах . Обычно на графиках показаны значения вариограммы как функция разделения точек отбора проб . В случае эмпирической вариограммы используются элементы разделения расстояний, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (т. е. это только функция и не зависит от других переменных, таких как положение центра). Затем для каждого интервала можно рассчитать эмпирическую семивариограмму: ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{k}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\pm \delta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta ):={\frac {1}{2|N(h\pm \delta )|}}\sum _{(i,j)\in N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

Другими словами, находится каждая пара точек, разделенных (плюс или минус некоторый диапазон допуска ширины ячейки ). Они образуют набор точек . Число этих точек в этом интервале равно . Затем для каждой пары точек находится квадрат разницы в наблюдениях (например, содержания образца почвы или интенсивности пикселей) ( ). Эти квадраты разностей складываются и нормализуются по натуральному числу . По определению результат делится на 2 для вариограммы на этом расстоянии. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle N(h\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):|\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}}$ ${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$ ${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$

Для скорости вычислений необходимы только уникальные пары точек. Например, для двух наблюдений необходимо учитывать только пары [ ] из мест с разносом [ ], поскольку пары [ ] не несут никакой дополнительной информации. ${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$ ${\displaystyle h\pm \delta }$ ${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$ ${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$

Модели вариограммы

Эмпирическую вариограмму невозможно вычислить на каждом расстоянии лага , и из-за различий в оценке не гарантируется, что это действительная вариограмма, как определено выше. Однако некоторые геостатистические методы, такие как кригинг, требуют достоверных вариограмм. Таким образом, в прикладной геостатистике эмпирические вариограммы часто аппроксимируются модельной функцией, обеспечивающей достоверность (Chiles&Delpfiner 1999). Вот некоторые важные модели (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993): ${\displaystyle h}$

• Модель экспоненциальной вариограммы

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• Модель сферической вариограммы

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• Модель гауссовой вариограммы

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

В разных справочниках параметр имеет разные значения из-за неоднозначности определения диапазона. Например , это значение, использованное в (Chiles&Delphiner 1999). Функция равна 1, если и 0 в противном случае. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=1/3}$ ${\displaystyle 1_{A}(h)}$ ${\displaystyle h\in A}$

Обсуждение

В геостатистике для описания пространственной или временной корреляции наблюдений используются три функции : это коррелограмма , ковариация и семивариограмма . Последнюю еще проще называют вариограммой .

Вариограмма является ключевой функцией в геостатистике , поскольку она будет использоваться для построения модели временной/ пространственной корреляции наблюдаемого явления. Таким образом, проводится различие между экспериментальной вариограммой , которая представляет собой визуализацию возможной пространственной/временной корреляции, и моделью вариограммы , которая в дальнейшем используется для определения весов функции кригинга . Обратите внимание, что экспериментальная вариограмма представляет собой эмпирическую оценку ковариации гауссова процесса . По существу, оно не может быть положительно определенным и, следовательно, не может быть напрямую использовано в кригинге без ограничений или дальнейшей обработки. Это объясняет, почему используется лишь ограниченное количество моделей вариограмм: чаще всего линейная, сферическая, гауссовая и экспоненциальная модели.

Приложения

Эмпирическая вариограмма используется в геостатистике в качестве первой оценки модели вариограммы, необходимой для пространственной интерполяции методом кригинга .

• Эмпирические вариограммы пространственно-временной изменчивости усредненного по столбцу содержания углекислого газа использовались для определения критериев совпадения спутниковых и наземных измерений. ^[4]
• Эмпирические вариограммы рассчитывались для плотности гетерогенного материала (Гилсокарбон). ^[5]
• Эмпирические вариограммы рассчитываются на основе наблюдений сильных движений грунта в результате землетрясений . ^[6] Эти модели используются для оценки сейсмического риска и потерь пространственно-распределенной инфраструктуры. ^[7]

Связанные понятия

Квадратный член в вариограмме, например , можно заменить различными степенями: мадограмма определяется абсолютной разностью , , а родограмма определяется квадратным корнем из абсолютной разности . Оценщики , основанные на этих более низких степенях, считаются более устойчивыми к выбросам . Их можно обобщить как «вариограмму порядка α », ${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$ ${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$ ${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$,

у которых вариограмма имеет 2-й порядок, мадограмма — вариограмма 1-го порядка, родограмма — вариограмма 0,5-го порядка. ^[8]

Когда вариограмма используется для описания корреляции различных переменных, ее называют кросс-вариограммой . Кросс-вариограммы используются в ко-кригинге. Если переменная является бинарной или представляет классы значений, тогда речь идет об индикаторных вариограммах . Индикаторная вариограмма используется в индикаторном кригинге.

Рекомендации

1. Матерон, Жорж (1963). «Принципы геостатистики». Экономическая геология . 58 (8): 1246–1266. doi : 10.2113/gsecongeo.58.8.1246. ISSN  1554-0774.
2. Форд, Дэвид. «Эмпирическая вариограмма» (PDF) . факультет.washington.edu/edford . Проверено 31 октября 2017 г.
3. Бахмайер, Мартин; Бэкес, Маттиас (24 февраля 2008 г.). «Вариограмма или семивариограмма? Понимание дисперсий вариограммы». Точное земледелие . ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». 9 (3): 173–175. дои : 10.1007/s11119-008-9056-2. ISSN  1385-2256.
4. Нгуен, Х.; Остерман, Г.; Вунч, Д.; О'Делл, К.; Мандрагора, Л.; Веннберг, П.; Фишер, Б.; Кастано, Р. (2014). «Метод сопоставления спутниковых данных XCO2 с наземными данными и его применение в ACOS-GOSAT и TCCON». Методы измерения атмосферы . 7 (8): 2631–2644. Бибкод : 2014AMT.....7.2631N. дои : 10.5194/amt-7-2631-2014 . ISSN  1867-8548.
5. Арреги Мена, доктор юридических наук; и другие. (2018). «Характеристика пространственной изменчивости свойств материалов Gilsocarbon и NBG-18 с использованием случайных полей». Журнал ядерных материалов . 511 : 91–108. Бибкод : 2018JNuM..511...91A. дои : 10.1016/j.jnucmat.2018.09.008 .
6. Скьяппапьетра, Эрика; Дуглас, Джон (апрель 2020 г.). «Моделирование пространственной корреляции движения грунта при землетрясении: выводы из литературы, данные последовательности землетрясений в Центральной Италии в 2016–2017 годах и моделирование движения грунта». Обзоры наук о Земле . 203 : 103139. Бибкод : 2020ESRv..20303139S. doi : 10.1016/j.earscirev.2020.103139.
7. Соколов, Владимир; Венцель, Фридеманн (25 июля 2011 г.). «Влияние пространственной корреляции сильных движений грунта на неопределенность оценки ущерба от землетрясения». Сейсмическая инженерия и структурная динамика . 40 (9): 993–1009. дои : 10.1002/eqe.1074.
8. Олеа, Рикардо А. (1991). Геостатистический глоссарий и многоязычный словарь . Издательство Оксфордского университета. стр. 47, 67, 81. ISBN. 9780195066890.

дальнейшее чтение

• Кресси, Н., 1993, Статистика пространственных данных, Wiley Interscience.
• Чайлз, Дж. П., П. Дельфинер, 1999, Геостатистика, моделирование пространственной неопределенности, Wiley-Interscience.
• Вакернагель, Х., 2003, Многомерная геостатистика, Springer.
• Берроу, Пенсильвания и Макдоннелл, Р.А., 1998, Принципы географических информационных систем.
• Изобель Кларк, 1979, Практическая геостатистика, Издательство прикладной науки.
• Кларк И., 1979, Практическая геостатистика , Издательство Applied Science Publishers.
• Дэвид, М., 1978, Геостатистическая оценка запасов руды , издательство Elsevier.
• Хальд А., 1952, Статистическая теория с инженерными приложениями , John Wiley & Sons, Нью-Йорк.
• Журнель, А.Г. и Хейбрегтс, Ч. Дж., 1978 Горная геостатистика , Академическое издательство.
• Гласс, Х.Дж., 2003, Метод оценки качества вариограммы, Журнал Южноафриканского института горного дела и металлургии.

Внешние ссылки

• AI-GEOSTATS: образовательный ресурс по геостатистике и пространственной статистике.
• Геостатистика: лекция Рудольфа Даттера в Венском техническом университете