Введение в анализин бесконечный

Книга Леонарда Эйлера

Число Эйлера e соответствует заштрихованной площади, равной 1, введенной в главе VII.

Introductio in analysin infinitorum ( лат . ^[1] Введение в анализ бесконечности ) — двухтомный труд Леонарда Эйлера , в котором заложены основы математического анализа . Написанный на латыни и опубликованный в 1748 году, Introductio содержит 18 глав в первой части и 22 главы во второй. Он имеет номера Энестрёма E101 и E102. ^{[2] [3]}

Содержание

Глава 1 посвящена концепциям переменных и функций . Главы 2 и 3 посвящены преобразованию функций. Глава 4 знакомит с бесконечными рядами через рациональные функции .

По словам Хенка Боса ,

Введение задумано как обзор концепций и методов анализа и аналитической геометрии, предваряющий изучение дифференциального и интегрального исчисления. [Эйлер] сделал из этого обзора мастерское упражнение по введению как можно большего количества анализа без использования дифференциации или интегрирования. В частности, он ввел элементарные трансцендентные функции, логарифм, показательную функцию, тригонометрические функции и их обратные, не прибегая к интегральному исчислению — что было немалым подвигом, поскольку логарифм традиционно был связан с квадратурой гиперболы, а тригонометрические функции — с длиной дуги окружности. ^[4]

Эйлер совершил этот подвиг, введя возведение в степень a ^x для произвольной константы a в положительных действительных числах . Он отметил, что отображение x таким образом является не алгебраической функцией , а скорее трансцендентной функцией . Для a > 1 эти функции монотонно возрастают и образуют биекции действительной прямой с положительными действительными числами. Тогда каждому основанию a соответствует обратная функция, называемая логарифмом по основанию a , в главе 6. В главе 7 Эйлер вводит e как число, гиперболический логарифм которого равен 1. Здесь ссылка на Грегуара де Сен-Венсана , который выполнил квадратуру гиперболы y = 1/ x посредством описания гиперболического логарифма. Раздел 122 называет логарифм по основанию e «натуральным или гиперболическим логарифмом... поскольку квадратура гиперболы может быть выражена через эти логарифмы». Здесь он также приводит показательный ряд:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

Затем в главе 8 Эйлер готов рассмотреть классические тригонометрические функции как «трансцендентные величины, возникающие из окружности». Он использует единичную окружность и представляет формулу Эйлера . Глава 9 рассматривает трехчленные множители в многочленах . Глава 16 посвящена разбиениям , теме в теории чисел . Цепные дроби являются темой главы 18.

Влияние

В своих лекциях на Международном конгрессе математиков 1950 года Карл Бенджамин Бойер сравнил влияние « Введения» Эйлера с влиянием « Начал » Евклида , назвав « Начала» главным учебником древности, а « Введение» — «главным учебником современности». ^[5] Бойер также писал:

Анализ Эйлера приближается к современной ортодоксальной дисциплине — изучению функций посредством бесконечных процессов, в частности посредством бесконечных рядов.

Сомнительно, что какая-либо другая по сути дидактическая работа включает в себя такую ​​большую часть оригинального материала, которая сохранилась в курсах колледжей сегодня... Может быть сравнительно легко прочитана современным студентом... Прототип современных учебников.

Переводы на английский

Первый перевод на английский язык был сделан Джоном Д. Блэнтоном и опубликован в 1988 году. ^[6] Второй перевод, сделанный Яном Брюсом, доступен онлайн. ^[7] Список изданий Introductio был составлен В. Фредериком Рики . ^[8]

Ранние упоминания

Страница из «Introductio in analysin infinitorum» , 1748 г.

• JC Scriba (2007) обзор переиздания 1983 года немецкого издания 1885 года MR 715928

Обзоры перевода Блэнтона 1988 г.

• Дору Стефанеску MR 1025504
• Марко Панса (2007) MR 2384380
• Рикардо Кинтеро Засуэта (1999) MR 1823258
• Эрнст Хайрер и Герхард Ваннер (1996) Анализ по его истории , глава 1, стр. 1-79, Бакалаврские тексты по математике #70, ISBN 978-0-387-77036-9 MR 1410751 

Ссылки

1. В латыни анализ был неолатинским заимствованием из греческого языка, а словоформа analysin использует греческий винительный падеж. Calinger, Ronald (2016). Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press. стр. 287–288. ISBN 978-0-691-11927-4.
2. "E101 -- Введение в анализ infinitorum, том 1" . Архив Эйлера . Проверено 15 октября 2020 г.
3. "E102 -- Introductio in analysin infinitorum, том 2". Архив Эйлера . Получено 15.10.2020 .
4. HJM Bos (1980) «Ньютон, Лейбниц и лейбницевская традиция», глава 2, страницы 49–93, цитата со страницы 76, в книге «От исчисления к теории множеств, 1630 – 1910: Вводная история» , под редакцией Айвора Граттана-Гиннесса , Duckworth ISBN 0-7156-1295-6 
5. Карл Бойер (апрель 1951 г.). «The Foremost Textbook of Modern Times». American Mathematical Monthly . 58 (4). Математическая ассоциация Америки: 223–226. doi :10.2307/2306956. JSTOR  2306956.
6. Леонард Эйлер; Дж. Д. Блэнтон (перевод) (1988). Введение в анализ бесконечности, Книга 1. Springer. ISBN 978-0-387-96824-7.
7. Введение в анализ infinitorum.
8. V. Frederick Rickey. Руководство для читателей к «Введению» Эйлера.