Вектор Витта

В математике вектор Витта — это бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца . Эрнст Витт показал, как разместить кольцевую структуру на множестве векторов Витта таким образом, чтобы кольцо векторов Витта над конечным полем порядка было изоморфно кольцу -адических целых чисел . На первый взгляд они имеют весьма неинтуитивную структуру ^[1], поскольку их аддитивная и мультипликативная структура зависит от бесконечного набора рекурсивных формул, которые не ведут себя как формулы сложения и умножения для стандартных p-адических целых чисел. ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

Основная идея ^[1] векторов Витта заключается в том, чтобы вместо использования стандартного -адического разложения ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

чтобы представить элемент в , мы можем вместо этого рассмотреть расширение с использованием символа Тейхмюллера ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$

который отправляет каждый элемент в наборе решений in к элементу в наборе решений in . То есть мы расширяем элементы в терминах корней из единицы, а не как бесконечные элементы в . Затем мы можем выразить -адическое целое число как бесконечную сумму. ${\displaystyle x^{p-1}-1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle x^{p-1}-1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \prod \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \omega (a)=\omega (a_{0})+\omega (a_{1})p+\omega (a_{2})p^{2}+\cdots }$

что дает вектор Витта

${\displaystyle (\omega (a_{0}),\omega (a_{1}),\omega (a_{2}),\ldots )}$

Затем нетривиальная аддитивная и мультипликативная структура в векторах Витта возникает в результате использования этого отображения для создания аддитивной и мультипликативной структуры, такой, которая индуцирует коммутативный кольцевой морфизм. ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \omega }$

История

В 19 веке Эрнст Эдуард Куммер изучал циклические расширения полей в рамках своей работы над Великой теоремой Ферма . Это привело к появлению темы, ныне известной как теория Куммера . Пусть – поле, содержащее примитивный корень -й степени из единицы. Теория Куммера классифицирует расширения циклических полей степени . Такие поля находятся в биекции с циклическими группами порядка , где соответствует . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle K=k({\sqrt[{n}]{\Delta }})}$

Но предположим, что это имеет характеристику . Проблема изучения расширений степеней или, в более общем плане, расширений степеней может показаться внешне похожей на теорию Куммера. Однако в этой ситуации не может содержаться примитивный корень -й степени из единицы. Действительно, если - корень из единицы в , то он удовлетворяет . Но рассмотрим выражение . Разлагая с использованием биномиальных коэффициентов, мы видим, что операция возведения в --ю степень, известная здесь как гомоморфизм Фробениуса , вводит множитель в каждый коэффициент, кроме первого и последнего, и поэтому по модулю эти уравнения одинаковы. Поэтому . Следовательно, теория Куммера никогда не применима к расширениям, степень которых делится на характеристику. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x^{p}=1}$ ${\displaystyle (x-1)^{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x=1}$

Случай, когда характеристика делит степень, сегодня называется теорией Артина – Шрайера, поскольку первый прогресс был достигнут Артином и Шрайером. Их первоначальной мотивацией была теорема Артина-Шрайера , которая характеризует реальные замкнутые поля как те, чья абсолютная группа Галуа имеет второй порядок. ^[2] Это вдохновило их задаться вопросом, какие еще поля имеют конечные абсолютные группы Галуа. В процессе доказательства того, что других таких полей не существует, они доказали, что расширения степеней поля характеристик аналогичны полям расщепления полиномов Артина – Шрайера . Это по определению формы. Повторяя свою конструкцию, они описали расширения степеней. Авраам Адриан Альберт использовал эту идею для описания продления ученой степени. Каждое повторение влекло за собой сложные алгебраические условия, гарантирующие нормальность расширения поля. ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{p}-x-a.}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p^{n}}$

Шмид ^[4] обобщил далее на некоммутативные циклические алгебры степени . При этом появились некоторые полиномы, связанные со сложением -адических целых чисел . Витт ухватился за эти многочлены. Систематически используя их, он смог дать простые и унифицированные конструкции расширений полей степеней и циклических алгебр. В частности, он ввел кольцо , которое теперь называется кольцом -усеченных -типичных векторов Витта . Это кольцо имеет частное и содержит оператор, который называется оператором Фробениуса, поскольку он сводится к оператору Фробениуса на . Витт отмечает, что аналог степени полиномов Артина – Шрайера равен ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle W_{n}(k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle F(x)-x-a,}$

где . Чтобы завершить аналогию с теорией Куммера, определим оператор Тогда расширения степени находятся в биективном соответствии с циклическими подгруппами порядка , где соответствует полю . ${\displaystyle a\in W_{n}(k)}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle x\mapsto F(x)-x.}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$

Мотивация

Любое -адическое целое число ( не путать с элементом ) можно записать в виде степенного ряда , где обычно берутся из целочисленного интервала . Используя это представление, трудно предоставить алгебраическое выражение для сложения и умножения, поскольку приходится сталкиваться с проблемой переноса между цифрами. Однако использование репрезентативных коэффициентов — лишь один из многих вариантов, и сам Хензель (создатель -адических чисел) предложил корни единства в этой области в качестве представителей. Таким образом, эти представители представляют собой число вместе с корнями единства ; то есть решения в , так что . Этот выбор естественным образом распространяется на кольцевые расширения, в которых поле вычетов увеличивается до некоторой степени . Действительно, именно эти поля (поля частных колец) мотивировали выбор Гензеля. Теперь представители решений в этой области . Вызовите поле с соответствующим примитивным корнем из единицы (над ). Представители тогда и за . Поскольку эти представители образуют мультипликативное множество, их можно рассматривать как символы. Примерно через тридцать лет после работ Гензеля Тейхмюллер изучал эти характеры, носящие теперь его имя, и это привело его к характеристике структуры всего поля в терминах поля вычетов. Эти представители Тейхмюллера можно отождествить с элементами конечного поля порядка , взяв вычеты по модулю в , а элементы преобразуются в их представители по характеру Тейхмюллера . Эта операция идентифицирует набор целых чисел с бесконечными последовательностями элементов . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$ ${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (p-1)^{\text{th}}}$ ${\displaystyle x^{p}-x=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q=p^{f}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x^{q}-x=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (q-1)^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \eta ^{i}}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq q-2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{\times }}$ ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$ ${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{q}^{\times })\cup \{0\}}$

Взяв эти представители, выражения для сложения и умножения можно записать в замкнутом виде. Теперь у нас есть следующая проблема (поставленная для простейшего случая: ): учитывая две бесконечные последовательности элементов, их сумма и произведение явно описываются как -адические целые числа. Эту задачу Витт решил с помощью векторов Витта. ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\},}$ ${\displaystyle p}$

Подробный мотивационный эскиз

Мы выводим кольцо целых -адических чисел из конечного поля, используя конструкцию, которая естественным образом обобщается на векторную конструкцию Витта. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Кольцо -адических целых чисел можно понимать как обратный предел колец, взятых по очевидным проекциям. В частности, он состоит из последовательностей с такими, что для То есть каждый последующий элемент последовательности равен предыдущим элементам по модулю меньшей степени p ; это обратный предел проекций ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n_{0},n_{1},\ldots )}$ ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle n_{j}\equiv n_{i}{\bmod {p}}^{i+1}}$ ${\displaystyle j\geq i.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} .}$

Элементы можно разложить как (формальный) степенной ряд в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots ,}$

где коэффициенты взяты из целочисленного интервала. Конечно, этот степенной ряд обычно не сходится при использовании стандартной метрики действительных чисел, но он сходится с -адической метрикой . Наметим метод определения кольцевых операций для таких степенных рядов. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,\ldots ,p-1\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle p}$

Обозначая , можно было бы рассмотреть следующее определение сложения: ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}+c_{1}p&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}+c_{1}p+c_{2}p^{2}&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p+(a_{2}+b_{2})p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

и аналогичное определение можно дать для умножения. Однако это не закрытая формула, поскольку новые коэффициенты не входят в разрешенный набор. ${\displaystyle [0,p-1].}$

Представление элементов из F _p как элементов кольца векторов Витта W(F _p )

Существует лучшее подмножество коэффициентов, которое действительно дает замкнутые формулы, представители Тейхмюллера : ноль вместе с корнями из единицы. Их можно явно вычислить (в терминах исходных представителей коэффициентов ) как корни через подъем Гензеля , -адическую версию метода Ньютона . Например, in для вычисления представителя начинается с нахождения уникального решения in с ; получаем Повторение этого с условиями и , дает и так далее; результирующий представитель Тейхмюллера , обозначенный , представляет собой последовательность ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle (p-1)^{\text{th}}}$ ${\displaystyle [0,p-1]}$ ${\displaystyle x^{p-1}-1=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5},}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /25\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\equiv 2{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle 7.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /125\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ ${\displaystyle x\equiv 7{\bmod {2}}5}$ ${\displaystyle 57,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \omega (2)}$

${\displaystyle \omega (2)=(2,7,57,\ldots )\in W(\mathbb {F} _{5}).}$

Существование лифта на каждом шаге гарантируется наибольшим общим делителем на каждом шаге. ${\displaystyle (x^{p-1}-1,(p-1)x^{p-2})=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

Этот алгоритм показывает, что для каждого существует ровно один представитель Тейхмюллера с , который мы обозначаем. Действительно, это определяет характер Тейхмюллера как (мультипликативный) групповой гомоморфизм, который, кроме того, удовлетворяет, если мы позволяем обозначить каноническую проекцию. Однако обратите внимание, что это не аддитивно , поскольку сумма не обязательно должна быть репрезентативной. Несмотря на это, если в то в ${\displaystyle j\in [0,p-1]}$ ${\displaystyle a_{0}=j}$ ${\displaystyle \omega (j).}$ ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$ ${\displaystyle m\circ \omega =\mathrm {id} _{\mathbb {F} _{p}}}$ ${\displaystyle m:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (k)\equiv \omega (i)+\omega (j){\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle i+j=k}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

Представление элементов из Z _p как элементов кольца векторов Витта W(F _p )

Из-за этого взаимно однозначного соответствия, определяемого , можно разложить каждое -адическое целое число как степенной ряд с коэффициентами, взятыми из представителей Тейхмюллера. Явный алгоритм можно представить следующим образом. Запишите представителя Тейхмюллера как Тогда, если у вас есть произвольное -адическое целое число формы, вы берете разницу , оставляя значение, делящееся на . Следовательно, . Затем процесс повторяется с вычитанием и продолжается аналогичным образом. Это дает последовательность сравнений ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega (t_{0})=t_{0}+t_{1}p^{1}+t_{2}p^{2}+\cdots .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}p^{1}+x_{2}p^{2}+\cdots ,}$ ${\displaystyle x-\omega (x_{0})=x'_{1}p^{1}+x'_{2}p^{2}+\cdots ,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x-\omega (x_{0})=0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \omega (x'_{1})p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv \omega (x_{0})&&{\bmod {p}}\\x&\equiv \omega (x_{0})+\omega (x'_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$

Так что

${\displaystyle x\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

и подразумевает: ${\displaystyle i'>i}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i'}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

для

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}:=m\left({\frac {x-\sum _{j=0}^{i-1}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}{p^{i}}}\right).}$

Следовательно, у нас есть степенной ряд для каждого остатка x по модулю степени p , но с коэффициентами в представителях Тейхмюллера, а не в . Ясно, что ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}=x,}$

с

${\displaystyle p^{i+1}\mid x-\sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}$

при этом разность стремится к 0 по отношению к -адической метрике. Полученные коэффициенты обычно будут отличаться от модуля по модулю , за исключением первого. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\to \infty ,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle p^{i}}$

Дополнительные свойства элементов кольца векторов Витта, мотивирующие общее определение

Коэффициенты Тейхмюллера обладают ключевым дополнительным свойством, которого нет у чисел в . Это можно использовать для описания сложения следующим образом. Рассмотрим уравнение и пусть теперь коэффициенты такие же, как в разложении Тейхмюллера. Поскольку характер Тейхмюллера не аддитивен, это неверно в . Но оно сохраняется, как следует из первого сравнения. В частности, ${\displaystyle \omega ({\bar {x}}_{i})^{p}=\omega ({\bar {x}}_{i}),}$ ${\displaystyle [0,p-1]}$ ${\textstyle c=a+b}$ ${\textstyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\textstyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle c_{0}=a_{0}+b_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

${\displaystyle c_{0}^{p}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}{\bmod {p}}^{2},}$

и поэтому

${\displaystyle c_{0}-a_{0}-b_{0}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}-a_{0}-b_{0}\equiv {\binom {p}{1}}a_{0}^{p-1}b_{0}+\cdots +{\binom {p}{p-1}}a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}^{2}.}$

Поскольку биномиальный коэффициент делится на , это дает ${\displaystyle {\binom {p}{i}}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{1}\equiv a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}.}$

Это полностью зависит от подъемника. Более того, сравнение по модулю указывает на то, что расчет действительно может быть выполнен для достижения основной цели определения простой аддитивной структуры. ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

Ибо этот шаг уже очень обременителен. Писать ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle c_{1}=c_{1}^{p}\equiv \left(a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}\right)^{p}{\bmod {p}}^{2}.}$

Как для одной- й силы недостаточно: надо взять ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{0}=c_{0}^{p^{2}}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p^{2}}{\bmod {p}}^{3}.}$

Однако, как правило, не делится на , но делится, когда в этом случае в сочетании с аналогичными мономами in будет кратно . ${\displaystyle {\binom {p^{2}}{i}}}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle i=pd,}$ ${\displaystyle a^{i}b^{p^{2}-i}=a^{d}b^{p-d}}$ ${\displaystyle c_{1}^{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$

На этом этапе становится ясно, что на самом деле мы работаем над добавлением формы

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}^{p}+c_{1}p&\equiv a_{0}^{p}+a_{1}p+b_{0}^{p}+b_{1}p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}^{p^{2}}+c_{1}^{p}p+c_{2}p^{2}&\equiv a_{0}^{p^{2}}+a_{1}^{p}p+a_{2}p^{2}+b_{0}^{p^{2}}+b_{1}^{p}p+b_{2}p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

Это мотивирует определение векторов Витта.

Построение колец Витта

Зафиксируйте простое число p . Вектор Витта ^[5] над коммутативным кольцом (относительно простого числа ) — это последовательность элементов из . Определим полиномы Витта с помощью ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle W_{i}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$
2. ${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$
3. ${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

и вообще

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.}$

Их называют призрачными компонентами вектора Витта и обычно обозначают ; вместе взятые, определяют карту-призрак для . Если оно не имеет p-кручения, то карта-призрак инъективна, и компоненты-призраки можно рассматривать как альтернативную систему координат для -модуля последовательностей (хотя обратите внимание, что карта-призрак не является сюръективной, если она не является p-делимой). ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle X^{(n)}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }R}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle R}$

Кольцо (p-типичных) векторов Витта определяется покомпонентным сложением и умножением фантомных компонентов. То есть существует единственный способ превратить набор векторов Витта над любым коммутативным кольцом в кольцо такое, что: ${\displaystyle W(R)}$ ${\displaystyle R}$

1. сумма и произведение задаются многочленами с целыми коэффициентами, не зависящими от , и ${\displaystyle R}$
2. проекция на каждый призрачный компонент является кольцевым гомоморфизмом векторов Витта над , в . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Другими словами,

• ${\displaystyle (X+Y)_{i}}$и задаются полиномами с целыми коэффициентами, не зависящими от R , и ${\displaystyle (XY)_{i}}$

• ${\displaystyle X^{(i)}+Y^{(i)}=(X+Y)^{(i)}}$и ${\displaystyle X^{(i)}Y^{(i)}=(XY)^{(i)}.}$

Первые несколько полиномов, дающих сумму и произведение векторов Витта, можно записать явно. Например,

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}-((X_{0}+Y_{0})^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p})/p,\ldots )}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )\times (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )}$

Их следует понимать как сокращения для реальных формул. Если, например, кольцо имеет характеристику , деление на в первой формуле выше, на то, которое появится в следующем компоненте и т. д., не имеет смысла. Однако если развернуть -степень суммы, члены сокращаются с предыдущими, а оставшиеся упрощаются на , деления на не остается и формула приобретает смысл. То же самое относится и к последующим компонентам. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Примеры сложения и умножения

Как и следовало ожидать, единицей в кольце векторов Витта является элемент ${\displaystyle W(A)}$

${\displaystyle {\underline {1}}=(1,0,0,\ldots )}$

Добавление этого элемента к самому себе дает нетривиальную последовательность, например в , ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{5})}$

${\displaystyle {\underline {1}}+{\underline {1}}=(2,4,\ldots )}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}2&=1+1\\4&=-{\frac {32-1-1}{5}}\mod 5\\&\cdots \end{aligned}}}$

что не является ожидаемым поведением, поскольку оно не равно . Но когда мы уменьшаем с помощью карты , мы получаем . Обратите внимание, что если у нас есть элемент и элемент , то ${\displaystyle {\underline {2}}}$ ${\displaystyle m:W(\mathbb {F} _{5})\to \mathbb {F} _{5}}$ ${\displaystyle m(\omega (1)+\omega (1))=m(\omega (2))}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle a\in W(A)}$

${\displaystyle {\underline {x}}a=(xa_{0},x^{p}a_{1},\ldots ,x^{p^{n}}a_{n},\ldots )}$

демонстрация умножения также ведет себя весьма нетривиально.

Примеры

• Кольцо Витта любого коммутативного кольца, в котором обратимо, просто изоморфно (произведению счетного числа копий ). В действительности полиномы Витта всегда дают гомоморфизм кольца векторов Витта в , и если он обратим, этот гомоморфизм является изоморфизмом. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle p}$

• Кольцо Витта конечного поля порядка — это кольцо целых -адических чисел, записанное через представителей Тейхмюллера, как показано выше. ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

• Кольцом Витта конечного поля порядка называется кольцо целых чисел единственного неразветвленного расширения степени кольца -адических чисел . Обратите внимание на корень -й степени из единицы, следовательно . ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle K\cong \mathbb {Q} _{p}(\mu _{q-1})}$ ${\displaystyle \mu _{q-1}}$ ${\displaystyle (q-1)}$ ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]}$

Универсальные векторы Витта

Полиномы Витта для разных простых чисел являются частными случаями универсальных полиномов Витта, которые можно использовать для формирования универсального кольца Витта (независимо от выбора простого числа ). Определим универсальные полиномы Витта для по ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle W_{1}=X_{1}}$
2. ${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$
3. ${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}$
4. ${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}$

и вообще

${\displaystyle W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.}$

Опять же, называется вектором призрачных компонентов вектора Витта и обычно обозначается . ${\displaystyle (W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle (X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)},\ldots )}$

Мы можем использовать эти полиномы для определения кольца универсальных векторов Витта или большого кольца Витта любого коммутативного кольца почти так же, как указано выше (поэтому все универсальные полиномы Витта являются гомоморфизмами кольца ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Генерирующие функции

Витт также предложил другой подход с использованием производящих функций. ^[6]

Определение

Пусть – вектор Витта и определим ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-X_{n}t^{n})=\sum _{n\geq 0}A_{n}t^{n}}$

Ибо пусть обозначает совокупность подмножеств, сумма элементов которых равна . Затем ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{X_{i}}.}$

Мы можем получить призрачные компоненты, взяв логарифмическую производную :

${\displaystyle {\begin{aligned}-t{\frac {d}{dt}}\log f_{X}(t)&=-t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\log(1-X_{n}t^{n})\\&=t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}{\frac {X_{n}^{d}t^{nd}}{d}}\\&=\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}nX_{n}^{d}t^{nd}\\&=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}t^{m}\\&=\sum _{m\geq 1}X^{(m)}t^{m}\end{aligned}}}$

Сумма

Теперь мы можем увидеть , если . Так что ${\displaystyle f_{Z}(t)=f_{X}(t)f_{Y}(t)}$ ${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle C_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i},}$

if – соответствующие коэффициенты степенного ряда . Затем ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ ${\displaystyle f_{X}(t),f_{Y}(t),f_{Z}(t)}$

${\displaystyle Z_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i}-\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n},I\neq \{n\}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{Z_{i}}.}$

Так как является многочленом в и аналогично для , мы можем показать по индукции, что является многочленом в ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

Продукт

Если мы установим тогда ${\displaystyle W=XY}$

${\displaystyle -t{\frac {d}{dt}}\log f_{W}(t)=-\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}.}$

Но

${\displaystyle \sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}\sum _{e|m}eY_{e}^{m/e}t^{m}}$.

Теперь 3-кортежи с находятся в биекции с 3-кортежами с через ( наименьшее общее кратное ), наша серия становится ${\displaystyle {m,d,e}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+},d|m,e|m}$ ${\displaystyle {d,e,n}}$ ${\displaystyle d,e,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle n=m/[d,e]}$ ${\displaystyle [d,e]}$

${\displaystyle \sum _{d,e\geq 1}de\sum _{n\geq 1}\left(X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{n}=-t{\frac {d}{dt}}\log \prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}}$

Так что

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}=\sum _{n\geq 0}D_{n}t^{n},}$

где – полиномы So по аналогичной индукции, предположим ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-W_{n}t^{n}),}$

тогда можно решить как полиномы от ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

Схемы колец

Отображение, переводящее коммутативное кольцо в кольцо векторов Витта (для фиксированного простого числа ), является функтором от коммутативных колец к коммутативным кольцам, а также представимо, поэтому его можно рассматривать как кольцевую схему , называемую схемой Витта , над Схему Витта канонически можно отождествить со спектром кольца симметрических функций . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).}$

Аналогично кольца усеченных векторов Витта и кольца универсальных векторов Витта соответствуют кольцевым схемам, называемым усеченными схемами Витта и универсальной схемой Витта .

Более того, функтор, переводящий коммутативное кольцо в множество, представляется аффинным пространством , а кольцевая структура на превращается в кольцевую схему, обозначаемую . Из построения усеченных векторов Витта следует, что ассоциированная с ними кольцевая схема является схемой с единственной кольцевой структурой такой, что морфизм, заданный полиномами Витта, является морфизмом кольцевых схем. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}\to {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$

Коммутативные унипотентные алгебраические группы

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа изоморфна произведению копий аддитивной группы . Аналог этого для полей характеристик неверен: усеченные схемы Витта являются контрпримерами. (Мы превращаем их в алгебраические группы , забывая об умножении и просто используя аддитивную структуру.) Однако это, по сути, единственные контрпримеры: над алгебраически замкнутым полем характеристики любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа изогенна произведению усеченных Виттовских групп. групповые схемы. ${\displaystyle G_{a}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Универсальная собственность

Андре Жояль объяснил универсальное свойство (p-типичных) векторов Витта. ^[7] Основная интуиция заключается в том, что формирование векторов Витта является универсальным способом деформации характеристического кольца до характеристики 0 вместе с подъемом его эндоморфизма Фробениуса. ^[8] Чтобы уточнить это, определим -кольцо , состоящее из коммутативного кольца вместе с картой множеств , которая является -дифференцированием , так что это удовлетворяет соотношениям ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle (R,\delta )}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle \delta :R\to R}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \delta }$

• ${\displaystyle \delta (0)=\delta (1)=0}$;
• ${\displaystyle \delta (xy)=x^{p}\delta (y)+y^{p}\delta (x)+p\delta (x)\delta (y)}$;
• ${\displaystyle \delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+{\frac {x^{p}+y^{p}-(x+y)^{p}}{p}}}$.

Определение таково, что для данного -кольца , если определить отображение по формуле , то это кольцевой гомоморфизм, поднимающий Фробениуса на . Обратно, если -без кручения, то эта формула однозначно определяет строение -кольца дальше , чем лифт Фробениуса. Таким образом, можно рассматривать понятие -кольца как подходящую замену лифта Фробениуса в случае, когда он не имеет кручения. ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle (R,\delta )}$ ${\textstyle \phi :R\to R}$ ${\textstyle \phi (x)=x^{p}+p\delta (x)}$ ${\textstyle \phi }$ ${\displaystyle R/p}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle p}$

Совокупность -колец и их кольцевых гомоморфизмов относительно -структуры собирается в категорию . Тогда имеется забывчивый функтор ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$

$${\displaystyle U:\mathrm {CRing} _{\delta }\to \mathrm {CRing} }$$

правый сопряженныйсвободного функторалокальную представимостьтеореме о присоединенном функторе ${\textstyle W}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$ ${\displaystyle \mathrm {CRing} }$ ${\textstyle W}$

Еще один вариант ограничивается вполне строгим функтором на полной подкатегории совершенных колец характеристики p. Тогда его существенный образ состоит из тех -колец, которые совершенны (в том смысле, что ассоциированное отображение является изоморфизмом) и основное кольцо которых является -адически полным. ^[9] ${\textstyle W}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle \phi }$ ${\displaystyle p}$

Смотрите также

• p-вывод
• Официальная группа
• Экспонента Артина – Хассе
• Кольцо-колье

Рекомендации

1. Фишер, Бенджи (1999). «Заметки о векторах Витта: мотивированный подход» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 12 января 2019 года.
2. Артин, Эмиль и Шрайер, Отто, Über eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper , Abh. Математика. Сем. Гамбург 3 (1924 г.).
3. А. А. Альберт, Циклические поля степени выше характеристики , Bull. амер. Математика. Соц. 40 (1934). ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$
4. Шмид, Х.Л., Zyklische алгебраише Funktionenkörper vom Grad p ⁿ über endlichen Konstantenkörper der Charakteristik p , Crelle 175 (1936).
5. Иллюзи, Люк (1979). «Комплекс Рама-Витта и кристаллические когомологии». Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 12 (4): 501–661. дои : 10.24033/asens.1374 .
6. Ланг, Серж (19 сентября 2005 г.). «Глава VI: Теория Галуа». Алгебра (3-е изд.). Спрингер. стр. 330. ISBN. 978-0-387-95385-4.
7. Джоял, Андре (1985). «δ-anneaux et vecteurs de Witt». CR Математика. член палаты представителей акад. наук. Канада . 7 (3): 177–182.
8. «Есть ли универсальное свойство векторов Витта?». MathOverflow . Проверено 06 сентября 2022 г.
9. Бхатт, Бхаргав (8 октября 2018 г.). «Лекция II: Дельта-кольца» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 сентября 2022 г.

Вводный

• Заметки о векторах Витта: мотивированный подход. Основные заметки, дающие основные идеи и интуицию. Лучше всего начать здесь!
• Теория векторов Витта - Элементарное введение в теорию.
• Complexe de de Rham-Witt et когомологии кристаллических. Обратите внимание, что он использует другое, но эквивалентное соглашение, как в этой статье. Кроме того, основные положения введения по-прежнему актуальны.

Приложения

• Мамфорд, Дэвид (21 августа 1966), Лекции по кривым на алгебраической поверхности , Анналы математических исследований, том. 59, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-07993-6
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, МР  0554237, раздел II.6
• Серр, Жан-Пьер (1988), Алгебраические группы и поля классов , Тексты для выпускников по математике, том. 117, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-1035-1, ISBN. 978-0-387-96648-9, МР  0918564
• Гринберг, Марвин Дж. (1969). Лекции о формах со многими переменными . Нью-Йорк и Амстердам: Бенджамин. АСИН  B0006BX17M. МР  0241358.

Рекомендации

• Долгачев, Игорь Васильевич (2001) [1994], «Вектор Витта», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Хазевинкель, Михель (2009), «Векторы Витта. I.», Справочник по алгебре. Том. 6 , Амстердам: Elsevier/North-Holland, стр. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016/S1570-7954(08)00207-6, ISBN 978-0-444-53257-2, МР  2553661
• Витт, Эрнст (1936), «Zyklische Körper und Algebren der Featuretik p vom Grad pn. Struktur Discret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1937 (176): 126 –140, doi :10.1515/crll.1937.176.126