Скаляр — это элемент поля , который используется для определения векторного пространства . В линейной алгебре действительные числа или , как правило, элементы поля называются скалярами и относятся к векторам в связанном векторном пространстве посредством операции скалярного умножения (определенной в векторном пространстве), при которой вектор можно умножить на скаляр в векторном пространстве. определенный способ создания другого вектора. [1] [2] [3] Вообще говоря, векторное пространство можно определить, используя любое поле вместо действительных чисел (например, комплексных чисел ). Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля (например, комплексными числами).
Операция скалярного произведения – не путать со скалярным умножением – может быть определена в векторном пространстве, что позволяет умножать два вектора определенным способом для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется пространством внутреннего произведения .
Величина, описываемая несколькими скалярами, например, имеющая как направление, так и величину, называется вектором . [4] Термин «скаляр» также иногда неофициально используется для обозначения вектора, матрицы , тензора или другого, обычно «составного» значения, которое фактически сводится к одному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1× n и матрицы n ×1, которая формально является матрицей 1×1, часто называют скаляром . Действительная компонента кватерниона также называется его скалярной частью .
Термин «скалярная матрица» используется для обозначения матрицы вида kI , где k — скаляр, а I — единичная матрица .
Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris , прилагательной формы scala (латинское слово «лестница»), от которого также происходит английское слово « шкала» . Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике встречается в « Аналитическом искусстве » Франсуа Вьета ( In artem Analytem Isagoge ) (1591): [5] [ нужна страница ] [6]
Согласно цитате из Оксфордского словаря английского языка, первое зарегистрированное использование термина «скаляр» в английском языке произошло у У. Р. Гамильтона в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:
Векторное пространство определяется как набор векторов (аддитивная абелева группа ), набор скаляров ( поле ) и операция скалярного умножения, которая принимает скаляр k и вектор v для формирования другого вектора k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение дает . В (линейном) функциональном пространстве kf — это функция x ↦ k ( f ( x )) .
Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные , алгебраические , действительные и комплексные числа, а также конечные поля .
Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис . Отсюда следует, что каждое векторное пространство над полем K изоморфно соответствующему координатному векторному пространству , где каждая координата состоит из элементов K (например, координаты ( a 1 , a 2 , ..., an ), где a i ∈ K и n — размерность рассматриваемого векторного пространства.). Например, каждое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n - мерному реальному пространству Rn .
В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащено нормирующей функцией, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | к |. Если || в || интерпретируется как длина v , эту операцию можно описать как масштабирование длины v на k . Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством ).
Норма обычно определяется как элемент скалярного поля V K , что ограничивает последнее полями, поддерживающими понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или более, K должен быть замкнут относительно квадратного корня, а также четыре арифметические операции; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но иррациональное поле приемлемо. По этой причине не каждое пространство скалярного произведения является нормированным векторным пространством.
Когда требование, чтобы набор скаляров образовывал поле, ослабляется так, что ему нужно только образовывать кольцо ( так что, например, не нужно определять деление скаляров или скаляры не должны быть коммутативными ), получается более общий результат. алгебраическая структура называется модулем .
В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, векторы пространства произведения R n можно превратить в модуль с матрицами размера n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример взят из теории многообразий , где пространство сечений касательного расслоения образует модуль над алгеброй действительных функций на многообразии.
Скалярное умножение векторных пространств и модулей — это частный случай масштабирования , своего рода линейное преобразование .
