Величина (математика)

Сравнение и упорядочивание свойств, определяющих

В математике величина или размер математического объекта — это свойство, которое определяет , больше или меньше ли объект других объектов того же рода. Более формально, величина объекта — это отображаемый результат упорядочения ( или ранжирования) класса объектов , к которому он принадлежит. Величина как концепция восходит к Древней Греции и применялась как мера расстояния от одного объекта до другого. Для чисел абсолютное значение числа обычно применяется как мера единиц между числом и нулем.

В векторных пространствах евклидова норма — это мера величины, используемая для определения расстояния между двумя точками в пространстве. В физике величина может быть определена как количество или расстояние. Порядок величины обычно определяется как единица расстояния между одним числом и числовыми позициями другого числа на десятичной шкале.

История

Древние греки различали несколько типов величин, ^[1] в том числе:

• Положительные дроби
• Отрезки линии (упорядочены по длине )
• Плоские фигуры (отсортированы по площади )
• Твердые вещества (упорядочены по объему )
• Углы (отсортированы по угловой величине)

Они доказали, что первые две системы величин не могут быть одинаковыми или даже изоморфными . ^[2] Они не считали отрицательные величины осмысленными, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньшим всех возможных размеров.

Числа

Величина любого числа обычно называется его абсолютным значением или модулем и обозначается . ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$

Реальные цифры

Абсолютное значение действительного числа r определяется по формуле: ^[4]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.}$

Абсолютное значение можно также рассматривать как расстояние числа от нуля на числовой прямой . Например, абсолютное значение как 70, так и −70 равно 70.

Комплексные числа

Комплексное число z можно рассматривать как положение точки P в двумерном пространстве , называемом комплексной плоскостью . Абсолютное значение (или модуль ) z можно рассматривать как расстояние P от начала координат этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi похожа на формулу для евклидовой нормы вектора в двумерном евклидовом пространстве : ^[5]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

где действительные числа a и b являются действительной и мнимой частью z соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен . В качестве альтернативы величина комплексного числа z может быть определена как квадратный корень из произведения самого себя и его комплексно сопряженного числа , , где для любого комплексного числа его комплексно сопряженное число равно . ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z=a+bi}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(где ). ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Векторные пространства

Евклидово векторное пространство

Евклидов вектор представляет положение точки P в евклидовом пространстве . Геометрически его можно описать как стрелку от начала пространства (хвост вектора) к этой точке (кончик вектора). Математически вектор x в n -мерном евклидовом пространстве можно определить как упорядоченный список из n действительных чисел ( декартовы координаты P ): x = [ x ₁ , x ₂ , ..., x _n ]. Его величина или длина , обозначаемая , ^[6] чаще всего определяется как его евклидова норма ( или евклидова длина): ^[7] ${\displaystyle \|x\|}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, поскольку это эквивалентно квадратному корню скалярного произведения вектора на самого себя: ${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

Евклидова норма вектора — это всего лишь частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и кончиком. Для евклидовой нормы вектора x используются два похожих обозначения :

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

Недостатком второй записи является то, что ее можно использовать также для обозначения абсолютного значения скаляров и определителей матриц , что вносит элемент неоднозначности .

Нормированные векторные пространства

По определению, все евклидовы векторы имеют величину (см. выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не имеет величины.

Вектор , наделенный нормой , такой как евклидово пространство, называется нормированным векторным пространством . ^[8] Норму вектора v в нормированном векторном пространстве можно считать величиной v .

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидовом пространстве величина вектора — это значение квадратичной формы для этого вектора.

Логарифмические величины

При сравнении величин часто используется логарифмическая шкала . Примерами служат громкость звука (измеряемая в децибелах ), яркость звезды и шкала Рихтера интенсивности землетрясений. Логарифмические величины могут быть отрицательными. В естественных науках логарифмическую величину обычно называют уровнем .

Порядок величины

Порядки величин обозначают разницу числовых величин, обычно измерений, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

Другие математические меры

Неформально, мера обладает свойством монотонности в том смысле, что если является подмножеством меры , то оно меньше или равно мере Более того, мера пустого множества должна быть равна 0. Простым примером является объем (насколько большой объект занимает пространство) в качестве меры. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

В математике понятие меры является обобщением и формализацией геометрических мер ( длина , площадь , объем ) и других общих понятий, таких как величина, масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, различные понятия имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей , теории интегрирования и могут быть обобщены для принятия отрицательных значений , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения (такие как спектральные меры и проекционно-значные меры ) меры широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . ^{[9] [10]} Но только в конце 19-го и начале 20-го веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше , среди прочих.

Смотрите также

• Чувство числа
• Векторная нотация
• Установить размер

Ссылки

1. Хит, Томас Смд. (1956). Тринадцать книг «Начал Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] ред.). Нью-Йорк: Dover Publications.
2. Блох, Итан Д. (2011), Действительные числа и действительный анализ, Springer, стр. 52, ISBN 9780387721774– через Google Книги , Идея несоизмеримых пар длин отрезков прямых была открыта в Древней Греции.
3. "Определение величины (Иллюстрированный математический словарь)". mathsisfun.com . Получено 23.08.2020 .
4. Мендельсон, Эллиотт (2008). Очерк начального исчисления Шаума . McGraw-Hill Professional. стр. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.
5. Альфорс, Ларс В. (1953). Комплексный анализ . Токио: McGraw Hill Kogakusha.
6. Найкамп, Дуэйн. «Определение величины вектора». Math Insight . Получено 23 августа 2020 г.
7. Howard Anton; Chris Rorres (12 апреля 2010 г.). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1– через Google Книги .
8. Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
9. Архимед измеряет окружность
10. Хит, Т. Л. (1897). «Измерение окружности». Труды Архимеда. Университет Османии, Цифровая библиотека Индии. Издательство Кембриджского университета. С. 91–98.