Расширительный вентилятор Прандтля – Мейера

Явление в гидродинамике

Когда сверхзвуковой поток сталкивается с выпуклым углом, он образует веер расширения, состоящий из бесконечного числа волн расширения с центром в углу. На рисунке показан один из таких идеальных расширительных вентиляторов.

Веер сверхзвукового расширения, технически известный как веер расширения Прандтля-Мейера , двумерная простая волна , представляет собой центрированный процесс расширения, который происходит, когда сверхзвуковой поток поворачивается вокруг выпуклого угла. Веер состоит из бесконечного числа волн Маха , расходящихся от острого угла. Когда поток поворачивает вокруг гладкого и круглого угла, эти волны могут распространяться назад и встречаться в одной точке.

Каждая волна в расширительном вентиляторе постепенно (маленькими шагами) поворачивает поток. Физически невозможно, чтобы поток прошел через одну «ударную» волну, поскольку это нарушило бы второй закон термодинамики . ^[1]

Поперек расширительного вентилятора поток ускоряется (скорость увеличивается) и число Маха увеличивается, а статическое давление , температура и плотность уменьшаются. Поскольку процесс является изэнтропическим , свойства застоя (например, общее давление и общая температура) остаются постоянными по всему вентилятору.

Теория была описана Теодором Мейером в его диссертации в 1908 году вместе со своим научным руководителем Людвигом Прандтлем , который уже обсуждал проблему годом ранее. ^{[2] [3]}

Свойства потока

Веер расширения состоит из бесконечного числа волн расширения или линий Маха . ^[4] Первая линия Маха расположена под углом к ​​направлению потока, а последняя линия Маха — под углом к ​​конечному направлению потока. Поскольку поток поворачивается под небольшими углами и изменения в каждой волне расширения невелики, весь процесс является изэнтропическим. ^[1] Это существенно упрощает расчеты свойств потока. Поскольку поток изэнтропический, свойства торможения , такие как давление торможения ( ), температура торможения ( ) и плотность торможения ( ), остаются постоянными. Окончательные статические свойства являются функцией конечного числа Маха потока ( ) и могут быть связаны с начальными условиями потока следующим образом, где – коэффициент теплоемкости газа (1,4 для воздуха): ${\displaystyle \mu _{1}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{1}}}\right)}$ ${\displaystyle \mu _{2}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{2}}}\right)}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)\\[3pt]{\frac {p_{2}}{p_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\\[3pt]{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}.\end{aligned}}}$

Число Маха после разворота ( ) связано с начальным числом Маха ( ) и углом поворота ( ) соотношением: ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =\nu (M_{2})-\nu (M_{1})\,}$

где – функция Прандтля –Мейера . Эта функция определяет угол, на который звуковой поток ( M = 1) должен повернуться, чтобы достичь определенного числа Маха (M). Математически, ${\displaystyle \nu (M)\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\left(M^{2}-1\right)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}.\\\end{aligned}}}$

Условно, ${\displaystyle \nu (1)=0.\,}$

Таким образом, зная исходное число Маха ( ), можно вычислить и с помощью угла поворота найти . Из значения одного можно получить окончательное число Маха ( ) и другие свойства потока. Поле скорости в веере расширения, выраженное в полярных координатах, имеет вид ^[5] ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \nu (M_{1})\,}$ ${\displaystyle \nu (M_{2})\,}$ ${\displaystyle \nu (M_{2})\,}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle v_{r}={\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}},\quad v_{\phi }=c,\quad {\text{where}}\quad \phi =-\int {\frac {d(\rho c)}{\rho {\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}}}},}$

${\displaystyle h}$– удельная энтальпия, – удельная энтальпия застоя. ${\displaystyle h_{0}}$

Максимальный угол поворота

Существует ограничение на максимальный угол ( ), на который может повернуться сверхзвуковой поток. ${\displaystyle \theta _{\text{max}}}$

Поскольку число Маха изменяется от 1 до , принимает значения от 0 до , где ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \nu \,}$ ${\displaystyle \nu _{\text{max}}\,}$

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}\left({\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1\right).}$

Это накладывает ограничение на то, насколько может пройти сверхзвуковой поток, при этом максимальный угол поворота определяется выражением

${\displaystyle \theta _{\text{max}}=\nu _{\text{max}}-\nu (M_{1}).\,}$

На это можно также посмотреть следующим образом. Поток должен повернуть так, чтобы удовлетворить граничным условиям. В идеальном потоке существует два типа граничных условий, которым поток должен удовлетворять:

1. Граничное условие скорости, которое требует, чтобы составляющая скорости потока, нормальная к стенке, была равна нулю. Это также известно как граничное условие непроникновения.
2. Граничное условие давления, которое гласит, что не может быть разрыва статического давления внутри потока (поскольку скачков в потоке нет).

Если поток поворачивается настолько, что становится параллельным стенке, нам не нужно беспокоиться о граничном условии давления. Однако по мере поворота потока его статическое давление снижается (как описано ранее). Если изначального давления недостаточно, поток не сможет завершить поворот и не будет параллелен стене. Это проявляется как максимальный угол, на который может повернуться поток. Чем меньше начальное число Маха (т.е. мало ), тем больше максимальный угол, на который может повернуться поток. ${\displaystyle M_{1}}$

Линия тока , которая разделяет конечное направление потока и стенку, называется встречным потоком (на рисунке показана пунктирной линией). Поперек этой линии наблюдается скачок температуры, плотности и тангенциальной составляющей скорости (нормальная составляющая равна нулю). За пределами слипстрима поток застойный (что автоматически удовлетворяет граничному условию скорости на стенке). В случае реального течения вместо скольжения наблюдается слой сдвига из-за дополнительного граничного условия прилипания .

Примечания

1. 

   Процесс расширения за счет одного «удара» невозможен, поскольку нарушит второй закон термодинамики.

   Невозможность расширения потока за счет одной «ударной» волны: рассмотрим сценарий, показанный на рисунке рядом. При повороте сверхзвукового потока нормальная составляющая скорости увеличивается ( ), а тангенциальная составляющая остается постоянной ( ). Соответствующее изменение энтропии ( ) можно выразить следующим образом: ${\displaystyle w_{2}>w_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}}$ ${\displaystyle \Delta s=s_{2}-s_{1}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta s}{R}}&=\ln \left[\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}\right]\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left({\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}\right)^{3}\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left[{\frac {\rho _{1}w_{1}^{2}}{p_{1}}}\left(1-{\frac {w_{2}}{w_{1}}}\right)\right]^{3}\end{aligned}}}$

   где – универсальная газовая постоянная, – отношение удельных теплоемкостей, – статическая плотность, – статическое давление, – энтропия, – составляющая скорости потока, нормальная к «удару». Суффиксы «1» и «2» относятся к начальному и конечному условиям соответственно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle w}$

   Поскольку это будет означать следующее . Раз это невозможно, значит, невозможно повернуть поток посредством одной ударной волны. Этот аргумент можно расширить и показать, что такой процесс расширения может произойти только в том случае, если мы рассматриваем в пределе поворот через бесконечное число волн расширения . Соответственно, процесс расширения является изоэнтропическим процессом . ${\displaystyle w_{2}>w_{1}}$ ${\displaystyle \Delta s<0}$ ${\displaystyle \Delta s\rightarrow 0}$

2. Мейер, Т. (1908). Über zweidimensione Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Георга-Августа, Геттинген. ОСЛК  77709738.
3. Прандтль, Л. (1907). «Neue Untersuchungen über die Strömende Bewegung der Gase und Dämpfe». Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 8 : 23–30.Перепечатано в Riegels, FW, изд. (1961). Людвиг Прандтль Gesammelte Abhandlungen . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-11836-8_78.

4. 

   Для объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью ( ) при движении из точки A в B (расстояние u·t), возмущения, исходящие из точки A, проходят расстояние c·t. Соответствующий угол известен как угол Маха, а линии, охватывающие возмущенную область, известны как линии Маха (в 2-D случае) или конус Маха (в 3-D). ${\displaystyle u>c}$

   Линии Маха (конус) и угол Маха:

   Линии Маха — это концепция, обычно встречающаяся в двумерных сверхзвуковых потоках (т. е. ). Они представляют собой пару ограничивающих линий, отделяющих область возмущенного течения от невозмущенной части течения. Эти линии встречаются парами и ориентированы под углом. ${\displaystyle M\geq 1}$

   ${\displaystyle \mu =\arcsin \left({\frac {c}{u}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)}$

   относительно направления движения (также известного как угол Маха ). В случае трехмерного поля потока эти линии образуют поверхность, известную как конус Маха , с углом Маха как половина угла конуса.

   Чтобы лучше понять эту концепцию, рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Мы знаем, что когда объект движется в потоке, он вызывает возмущения давления (которые распространяются со скоростью звука, также известные как волны Маха ). На рисунке изображен объект, движущийся из точки А в Б по линии АВ со сверхзвуковой скоростью ( ). К тому времени, когда объект достигает точки B, возмущения давления из точки A прошли расстояние c·t и теперь находятся на окружности круга (с центром в точке A). Существует бесконечное количество таких кругов с центром на линии AB, каждый из которых представляет местоположение возмущений, вызванных движением объекта. Линии, идущие наружу от точки B и касающиеся всех этих окружностей, известны как линии Маха. ${\displaystyle u>c}$

   Примечание. Эти понятия имеют физический смысл только для сверхзвуковых течений ( ). В случае дозвуковых течений возмущения будут распространяться быстрее источника и аргумент функции будет больше единицы. ${\displaystyle u\geq c}$ ${\displaystyle \arcsin()}$

5. Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир.

Смотрите также

• Газодинамика
• Волна Маха
• Косой удар
• Ударная волна
• Техника теней
• Шлирен-фотография
• ударная волна

Рекомендации

• Липманн, Ганс В.; Рошко, А. (2001) [1957]. Элементы газодинамики . Дуврские публикации . ISBN 0-486-41963-0.
• Фон Мизес, Ричард (2004) [1958]. Математическая теория течения сжимаемой жидкости . Дуврские публикации . ISBN 0-486-43941-0.
• Курант, Ричард; Фридрихс, КО (1999) [1948]. Сверхзвуковое течение и ударные волны . Springer Science+Business Media . ISBN 0387902325.
• Андерсон, Джон Д. младший (январь 2001 г.) [1984]. Основы аэродинамики (3-е изд.). McGraw-Hill Наука/инженерное дело/математика . ISBN 0-07-237335-0.
• Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости, Том 1 . Рональд Пресс. ISBN 978-0-471-06691-0.

Внешние ссылки

• Расширительный вентилятор ( НАСА )
• Калькулятор расширительного вентилятора Прандтля-Мейера ( Java-апплет ).