В математике, особенно в теории порядка , верхняя граница или мажоранта [1] подмножества S некоторого предупорядоченного множества ( K , ≤) — это элемент K , который больше или равен каждому элементу S. [2] [3] Двойственно , нижняя граница или миноранта S определяется как элемент K , который меньше или равен каждому элементу S . Множество с верхней (соответственно нижней) границей называется ограниченным сверху или мажорируемым [1] (соответственно ограниченным снизу или миноризированным ) этой границей. Термины «ограниченный сверху » ( ограниченный снизу ) также используются в математической литературе для множеств, имеющих верхние (соответственно нижние) границы. [4]
Например, 5 — это нижняя граница набора S = {5, 8, 42, 34, 13934} (как подмножества целых или действительных чисел и т. д.), как и 4 . С другой стороны, 6 не является нижней границей для S , поскольку оно не меньше любого элемента в S. 13934 и другие числа x такие, что x ≥ 13934 будут верхней границей S .
Набор S = {42} имеет 42 как верхнюю, так и нижнюю границу; все остальные числа являются либо верхней, либо нижней границей для этого S .
Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от соглашения). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или ограничено сверху, но не то и другое. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено или не ограничено снизу, а также может быть ограничено или не ограничено сверху.
Каждое конечное подмножество непустого вполне упорядоченного множества имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.
Определения могут быть обобщены на функции и даже на множества функций.
Учитывая функцию f с областью определения D и предупорядоченный набор ( K , ≤) в качестве кодомена , элемент y из K является верхней границей f , если y ≥ f ( x ) для каждого x в D . Верхняя граница называется точной , если равенство выполняется хотя бы для одного значения x . Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, следовательно, не может быть уменьшено без аннулирования неравенства.
Аналогично, функция g , определенная в области D и имеющая ту же область значений ( K , ≤) , является верхней границей f , если g ( x ) ≥ f ( x ) для каждого x в D. Далее говорят, что функция g является верхней границей набора функций, если она является верхней границей каждой функции в этом наборе.
Понятие нижней оценки для (наборов) функций определяется аналогично, заменой ≥ на ≤.
Верхняя граница называется жесткой верхней границей , наименьшей верхней границей или супремумом , если ни одно меньшее значение не является верхней границей. Точно так же нижняя граница называется жесткой нижней границей , максимальной нижней границей или нижней границей , если никакое большее значение не является нижней границей.
Верхняя граница u подмножества S предупорядоченного множества ( K , ≤) называется точной верхней границей для S , если каждый элемент K , который строго мажорируется u , также мажорируется некоторым элементом S. Точные верхние оценки приведенных произведений линейных порядков играют важную роль в теории ПКФ . [5]