В математике инъективная функция (также известная как инъекция или функция «один к одному» [1] ) — это функция f , которая отображает отдельные элементы своей области определения в отдельные элементы; то есть x 1 ≠ x 2 подразумевает f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) . (Эквивалентно, f ( x 1 ) = f ( x 2 ) подразумевает x 1 = x 2 в эквивалентном контрапозитивном утверждении.) Другими словами, каждый элемент кодомена функции является образом не более чем одного элемента ее области определения . [2] Термин « функция один-к-одному» не следует путать с соответствием «один к одному» , которое относится к биективным функциям , которые представляют собой функции, в которых каждый элемент в кодомене является образом ровно одного элемента в области.
Гомоморфизм между алгебраическими структурами — это функция, совместимая с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. [3] Таким образом, это теорема о том, что они эквивалентны для алгебраических структур; более подробную информацию см. в разделе Гомоморфизм § Мономорфизм .
Функцию , которая не является инъективной, иногда называют «многие к одному». [2]
Определение
Позвольте быть функцией, областью определения которой является множество. Функция называется инъективной при условии, что для всех и в if then ; то есть подразумевает Эквивалентно, если тогда в противоположном утверждении.
Символически,
,4]
Примеры
За наглядными примерами читатели перенаправляются в раздел галереи.
Для любого множества и любого подмножества карта включения ( которая отправляет любой элемент самому себе) инъективна. В частности, тождественная функция всегда инъективна (и фактически биективна).
Если областью определения функции является пустое множество , то функция является пустой функцией , которая является инъективной.
Если область определения функции имеет один элемент (то есть это одноэлементное множество ), то функция всегда инъективна.
Функция , определенная как, является инъективной.
Функция , определенная не является инъективной, потому что (например) Однако, если она переопределена так, что ее областью определения являются неотрицательные действительные числа [0, +∞), то она инъективна.
Показательная функция , определенная как, является инъективной (но не сюръективной, поскольку никакое действительное значение не отображается в отрицательное число).
Функция , определенная не является инъективной, поскольку, например,
В более общем смысле, когда и являются действительными линиями , тогда инъективной функцией называется такая функция, график которой никогда не пересекается какой-либо горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии . [2]
Инъекции можно отменить
Функции с левыми обратными всегда являются инъекциями. То есть, если существует такая функция, что для каждого , то является инъективной. В этом случае называется ретракцией . И наоборот, называется отрезком .
И наоборот, каждая инъекция с непустой областью определения имеет левую обратную . Его можно определить, выбрав элемент в области и установив уникальный элемент прообраза (если он непустой) или (в противном случае). [5]
Левая обратная не обязательно является инверсией , потому что композиция в другом порядке может отличаться от тождества. Другими словами, инъективная функция может быть «обратна» левой обратной, но не обязательно обратима , что требует, чтобы функция биективна.
Инъекции могут быть обратимыми.
Фактически, чтобы превратить инъективную функцию в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее кодомен на ее фактический диапазон . То есть пусть такое, что для всех ; тогда является биективным. Действительно, можно учесть, откуда находится функция включения в
Если инъективно, то инъективно (но не обязательно).
является инъективным тогда и только тогда, когда для любых функций всякий раз, когда то. Другими словами, инъективные функции - это в точности мономорфизмы в категории Множество множеств.
Если инъективно и является подмножеством , то Таким образом, можно восстановить по его образу
Если инъективно и и оба являются подмножествами, то
Любая функция может быть разложена как на подходящую инъекцию, так и на сюръекцию . Это разложение уникально с точностью до изоморфизма и может рассматриваться как функция включения области значений как подмножества кодомена
Если — инъективная функция, то имеет по крайней мере столько же элементов, сколько и в смысле кардинальных чисел . В частности, если, кроме того , имеется инъекция от и имеют одинаковый кардинальный номер. (Это известно как теорема Кантора–Бернштейна–Шредера .)
Если оба и конечны с одинаковым числом элементов, то он инъективен тогда и только тогда, когда сюръективен (в этом случае биективен).
Инъективная функция, которая является гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами, является вложением .
В отличие от сюръективности, которая представляет собой связь между графиком функции и ее кодоменом, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция инъективной, можно решить, только рассматривая график (а не кодовую область)
Доказательство инъективности функций
Доказательство инъективности функции зависит от того, как она представлена и какими свойствами она обладает. Для функций, которые задаются некоторой формулой, существует основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если тогда [6]
Вот пример:
Доказательство: Пусть Предположим Итак , следует , что подразумевает . Следовательно, из определения следует, что оно является инъективным.
Существует множество других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если это дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, то достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если — линейное преобразование, достаточно показать, что ядро содержит только нулевой вектор. Если функция с конечной областью определения, то достаточно просмотреть список изображений каждого элемента области определения и убедиться, что ни одно изображение не встречается в списке дважды.
Графическим подходом к действительной функции действительной переменной является тест горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная прямая пересекает кривую не более чем в одной точке, то она инъективна или взаимно однозначна.
Галерея
Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция )
Инъективная сюръективная функция (биекция)
Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)
Не инъективная функция. Здесь и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух регионов, где функция не является инъективной, поскольку более одного элемента домена могут сопоставляться с одним элементом диапазона. То есть, несколько входов могут сопоставляться с одним и тем же входом .
Делаем функции инъективными. Предыдущую функцию можно свести к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) и показать сплошными кривыми (части исходной кривой с длинным штрихом больше не отображаются). Обратите внимание, что правило не изменилось — только домен и диапазон. и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух областей, где исходную функцию можно сделать инъективной, чтобы один элемент домена мог сопоставляться с одним элементом диапазона. То есть только один в картах к одному в
Инъективные функции. Диаграмматическая интерпретация в декартовой плоскости , определяемая отображением , где область определения функции , диапазон функции и обозначает образ Каждый в отображает ровно один уникальный в. Обведенные части осей представляют наборы областей и диапазонов - в соответствии со стандартом диаграммы выше
Одновалентная функция – математическое понятиеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
Примечания
^ Иногда функция «один-один» в индийском математическом образовании.«Глава 1: Отношения и функции» (PDF) .
^ abc «Инъективное, сюръективное и биективное». www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 г.
^ «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предпучков — проект Stacks». stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 г.
^ Фарлоу, С. Дж. «Инъекции, сюръекции и биекции» (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ В отличие от соответствующего утверждения о том, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может оказаться ошибочным в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение набора из двух элементов в действительные числа не может иметь левую инверсию, поскольку это нарушило бы неразложимость , приводя к ретракции действительной линии к множеству {0,1}.
^ Уильямс, Питер. «Взаимодоказательство функций». Архивировано из оригинала 4 июня 2017 года.
Викискладе есть медиафайлы, связанные с инъективностью .
Поищите инъективное слово в Викисловаре, бесплатном словаре.
Самое раннее использование некоторых слов математики: статья об инъекциях, сюръекциях и биекциях содержит историю инъекций и связанных с ними терминов.
Академия Хана - Сюръективные (онто) и инъективные (однозначные) функции: введение в сюръективные и инъективные функции.