Артин взаимность

Закон взаимности Артина , установленный Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), является общей теоремой в теории чисел , которая образует центральную часть глобальной теории полей классов . ^[1] Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных утверждений теории чисел, которые он обобщает, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина предоставил частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Заявление

Пусть будет расширением Галуа глобальных полей и обозначает группу классов иделей . Одно из утверждений закона взаимности Артина заключается в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным символьным отображением ^{[2] [3]} ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle C_{L}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}$

где обозначает абелианизацию группы, а — группа Галуа над . Отображение определяется путем сборки отображений, называемых локальным символом Артина , локальным отображением взаимности или символом вычета нормы ^{[4] [5]} ${\displaystyle {\text{ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},}$

для различных мест . Точнее, задается локальными отображениями на -компоненте класса иделей. Отображения являются изоморфизмами. Это содержание локального закона взаимности , основной теоремы локальной теории полей классов . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta _{v}}$

Доказательство

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности можно получить, сначала установив, что

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

представляет собой классовую формацию в смысле Артина и Тейта. ^[6] Затем доказывается, что

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

где обозначают группы когомологий Тейта . Вычисление групп когомологий устанавливает, что является изоморфизмом. ${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$ ${\displaystyle \theta }$

Значение

Закон взаимности Артина подразумевает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , которое основано на локально-глобальном принципе Хассе и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такаги он используется для описания абелевых расширений K в терминах арифметики K и для понимания поведения неархимедовых мест в них. Поэтому закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства того, что L -функции Артина являются мероморфными , а также для доказательства теоремы плотности Чеботарева . ^[7]

Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и использовал закон взаимности для перевода проблемы принципализации для идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер переносов конечных неабелевых групп. ^[8]

Конечные расширения глобальных полей

(См. https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP для объяснения некоторых терминов, используемых здесь)

Определение отображения Артина для конечного абелева расширения L / K глобальных полей (такого как конечное абелево расширение ) имеет конкретное описание в терминах простых идеалов и элементов Фробениуса . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если является простым числом K , то группы разложения простых чисел выше равны в Gal( L / K ), поскольку последняя группа является абелевой . Если является неразветвленной в L , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, в Gal( L / K ) существует канонически определенный элемент Фробениуса, обозначаемый или . Если Δ обозначает относительный дискриминант L / K , символ Артина ( или отображение Артина , или (глобальное) отображение взаимности ) L / K определяется на группе дробных идеалов простого-в-Δ , , по линейности: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$ ${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

Закон взаимности Артина ( или глобальный закон взаимности ) утверждает, что существует модуль c поля K, такой что отображение Артина индуцирует изоморфизм

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

где K _{c ,1} — это луч по модулю c , N _{L / K} — это нормированное отображение, связанное с L / K и — дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль c называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается ${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

Примеры

Квадратичные поля

Если — целое число , свободное от квадратов , и , то можно отождествить с {±1}. Дискриминант Δ L над равен d или 4 d в зависимости от того, d ≡ 1 (mod 4) или нет. Тогда отображение Артина определяется на простых числах p , которые не делят Δ на ${\displaystyle d\neq 1}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

где — символ Кронекера . ^[9] Более конкретно, проводником является главный идеал (Δ) или (Δ)∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, ^[10] а отображение Артина на идеале, относящемся к простому числу Δ ( n ), задается символом Кронекера. Это показывает, что простое число p является расщепляемым или инертным в L в зависимости от того, является ли оно 1 или −1. ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

Циклотомические поля

Пусть m > 1 — либо нечетное целое число, либо кратное 4, пусть — примитивный корень степени m из единицы , и пусть — циклотомическое поле степени m . можно отождествить с помощью отправки σ в σ _, заданное правилом ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

Проводник есть ( m )∞, ^[11] а отображение Артина на идеале, простом к m ( n ), есть просто n (mod m ) в ^[12] ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Отношение к квадратичной взаимности

Пусть p и — различные нечетные простые числа. Для удобства пусть (что всегда равно 1 (mod 4)). Тогда квадратичный закон взаимности утверждает, что ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

Связь между квадратичным законом взаимности и законом Артина определяется путем изучения квадратичного поля и циклотомического поля следующим образом. ^[9] Во-первых, F является подполем L , поэтому если H = Gal( L / F ) и тогда Поскольку последний имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в Основное свойство символа Артина гласит, что для любого идеала, простого от ℓ до ℓ ( n ), ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

Когда n = p , это показывает, что тогда и только тогда, когда p по модулю ℓ принадлежит H , т.е. тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю ℓ. ${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$

Заявление в отношенииЛ-функции

Альтернативная версия закона взаимности, приводящая к программе Ленглендса , связывает L-функции Артина , связанные с абелевыми расширениями числового поля , с L-функциями Гекке, связанными с характерами группы классов иделя. ^[13]

Характер Гекке (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы классов иделей поля K. Роберт Ленглендс интерпретировал характеры Гекке как автоморфные формы на редуктивной алгебраической группе GL (1) над кольцом аделей поля K. [ ¹⁴ ]

Пусть — абелево расширение Галуа с группой Галуа G. Тогда для любого характера (т.е. одномерного комплексного представления группы G ) существует характер Гекке группы K такой, что ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

где левая часть — это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть — это L-функция Гекке, связанная с χ, раздел 7.D ^{[14] .}

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие по-прежнему отсутствует.

Примечания

1. Хельмут Хассе , История теории полей классов , в Алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрёлиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279
2. Нойкирх (1999) стр.391
3. Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.
4. Серр (1967) стр.140
5. Серр (1979) стр.197
6. Серр (1979) стр.164
7. Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, Глава VII.
8. Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159.
9. Lemmermeyer 2000, §3.2
10. Милн 2008, пример 3.11
11. Милн 2008, пример 3.10
12. Милн 2008, пример 3.2
13. Джеймс Милн, Теория полей классов
14. Gelbart, Stephen S. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, т. 83, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, MR  0379375.

Ссылки

• Эмиль Артин (1924) «Über eine neue Art von L-Reihen», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Сборник статей , Аддисон Уэсли (1965), 105–124.
• Эмиль Артин (1927) «Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Сборник статей , 131–141.
• Эмиль Артин (1930) «Идеальный класс в Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Сборник статей , 159–164.
• Фрай, Гюнтер (2004), «Об истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях алгебраических числовых полей: как Артин пришел к своему закону взаимности», в Олаве Арнфинне Лаудале; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Статьи с конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3–8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, MR  2077576, Zbl  1065.11001
• Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, т. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
• Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Graduate Texts in Mathematics , т. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, г-н  1282723
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (ред. v4.0) , получено 22.02.2010
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, ЗБЛ  0956.11021
• Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Graduate Texts in Mathematics, т. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Збл  0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Локальная теория полей классов", в Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl  0153.07403
• Tate, John (1967), "VII. Глобальная теория полей классов", в Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl  0153.07403