Интерактивная картинка

Взгляд на квантовую механику

В квантовой механике картина взаимодействия (также известная как представление взаимодействия или картина Дирака в честь Поля Дирака , который ее ввел) ^{[1] [2]} является промежуточным представлением между картиной Шредингера и картиной Гейзенберга . В то время как в двух других картинах либо вектор состояния , либо операторы несут временную зависимость наблюдаемых, в картине взаимодействия оба несут часть временной зависимости наблюдаемых . ^[3] Картина взаимодействия полезна при работе с изменениями волновых функций и наблюдаемых из-за взаимодействий. Большинство расчетов теории поля ^[4] используют представление взаимодействия, поскольку они строят решение уравнения Шредингера для многих тел как решение задачи свободных частиц плюс некоторые неизвестные части взаимодействия.

Уравнения, включающие операторы, действующие в разное время, которые выполняются в картине взаимодействия, не обязательно выполняются в картине Шредингера или Гейзенберга. Это происходит потому, что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одной картине с аналогичными операторами в других.

Картина взаимодействия представляет собой частный случай унитарного преобразования, примененного к гамильтониану и векторам состояния.

Определение

Операторы и векторы состояния в картине взаимодействия связаны заменой базиса ( унитарным преобразованием ) с теми же операторами и векторами состояния в картине Шредингера.

Чтобы перейти к картине взаимодействия, разделим гамильтониан картины Шредингера на две части:

${\displaystyle H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.}$

Любой возможный выбор частей даст действительную картину взаимодействия; но для того, чтобы картина взаимодействия была полезной для упрощения анализа проблемы, части обычно выбираются таким образом, чтобы H _0,S была хорошо понята и точно решаема, в то время как H _1,S содержит некоторое более сложное для анализа возмущение этой системы.

Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое изменяется во времени), обычно бывает выгодно включить явно зависящие от времени члены в H _1,S , оставив H _0,S независимыми от времени:

${\displaystyle H_{\text{S}}(t)=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}(t).}$

Мы продолжаем, предполагая, что это так. Если есть контекст , в котором имеет смысл, чтобы H _0,S зависел от времени, то можно продолжить, заменив его соответствующим оператором эволюции во времени в определениях ниже. ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

Векторы состояния

Пусть будет вектором состояния, зависящим от времени в картине Шредингера. Вектор состояния в картине взаимодействия, , определяется с помощью дополнительного унитарного преобразования, зависящего от времени. ^[5] ${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .}$

Операторы

Оператор в картине взаимодействия определяется как

${\displaystyle A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.}$

Обратите внимание, что A _S ( t ) обычно не зависит от t и может быть переписана просто как A _S . Она зависит от t только в том случае, если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего переменного во времени электрического поля. Другой пример явной зависимости от времени может возникнуть, когда A _S ( t ) является матрицей плотности (см. ниже).

Гамильтонов оператор

Для самого оператора картина взаимодействия и картина Шредингера совпадают: ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

Это легко увидеть через тот факт, что операторы коммутируют с дифференцируемыми функциями самих себя. Этот конкретный оператор тогда может быть вызван без двусмысленности. ${\displaystyle H_{0}}$

Однако для гамильтониана возмущения ${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится зависящим от времени гамильтонианом, если только [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

Можно также получить картину взаимодействия для зависящего от времени гамильтониана H _0,S ( t ), но экспоненты необходимо заменить унитарным пропагатором для эволюции, генерируемой H _0,S ( t ), или, более явно, упорядоченным по времени экспоненциальным интегралом.

Матрица плотности

Можно показать, что матрица плотности преобразуется в картину взаимодействия так же, как и любой другой оператор. В частности, пусть ρ _I и ρ _S будут матрицами плотности в картине взаимодействия и картине Шредингера соответственно. Если существует вероятность p _n находиться в физическом состоянии | ψ _n ⟩, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}$

Эволюция во времени

Эволюция состояний во времени

Преобразование уравнения Шредингера в картину взаимодействия дает

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

который утверждает, что в картине взаимодействия квантовое состояние развивается посредством части взаимодействия гамильтониана, как выражено в картине взаимодействия. ^[6] Доказательство дано в Феттере и Валецкой. ^[7]

Эволюция операторов во времени

Если оператор A _S не зависит от времени (т.е. не имеет «явной зависимости от времени»; см. выше), то соответствующая временная эволюция для A _I ( t ) задается выражением

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}$

В картине взаимодействия операторы эволюционируют во времени подобно операторам в картине Гейзенберга с гамильтонианом H ' = H ₀ .

Эволюция матрицы плотности во времени

Эволюция матрицы плотности в картине взаимодействия имеет вид

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}$

в соответствии с уравнением Шредингера в картине взаимодействия.

Ожидаемые значения

Для общего оператора математическое ожидание в картине взаимодействия определяется как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

Используя выражение матрицы плотности для ожидаемого значения, получим

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

Уравнение Швингера–Томонаги

Термин представление взаимодействия был изобретен Швингером. ^{[8] [9]} В этом новом смешанном представлении вектор состояния больше не является постоянным в общем случае, но он является постоянным, если нет связи между полями. Изменение представления приводит непосредственно к уравнению Томонаги–Швингера: ^{[10] [9]}

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

Где гамильтониан в этом случае является гамильтонианом взаимодействия QED, но он также может быть общим взаимодействием и является пространственноподобной поверхностью, которая проходит через точку . Производная формально представляет собой вариацию по этой поверхности, заданной фиксированной. Трудно дать точную математическую формальную интерпретацию этого уравнения. ^[11] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Этот подход Швингер называет «дифференциальным» и «полевым» подходом, в отличие от «интегрального» и «частичного» подхода диаграмм Фейнмана. ^{[12] [13]}

Основная идея заключается в том, что если взаимодействие имеет малую константу связи (т.е. в случае электромагнетизма порядка постоянной тонкой структуры), то последующие пертурбативные члены будут степенями константы связи и, следовательно, меньшими. ^[14]

Использовать

Целью картины взаимодействия является перенос всей временной зависимости, обусловленной H _{0 ,} на операторы, что позволяет им свободно развиваться и оставляет только H _1,I для управления временной эволюцией векторов состояния.

Картина взаимодействия удобна при рассмотрении эффекта малого члена взаимодействия, H _1,S , добавляемого к гамильтониану решенной системы, H _0,S . Используя картину взаимодействия, можно использовать зависящую от времени теорию возмущений для нахождения эффекта H _1,I , ^{[15] : 355ff} например, при выводе золотого правила Ферми , ^{[15] : 359–363} или ряда Дайсона ^{[15] : 355–357} в квантовой теории поля : в 1947 году Синъитиро Томонага и Джулиан Швингер поняли, что ковариантная теория возмущений может быть элегантно сформулирована в картине взаимодействия, поскольку операторы поля могут эволюционировать во времени как свободные поля, даже при наличии взаимодействий, которые теперь рассматриваются пертурбативно в таком ряде Дайсона.

Сводное сравнение эволюции на всех рисунках

Для гамильтониана H _S , не зависящего от времени , где H _0,S — свободный гамильтониан,

Ссылки

1. Дак, Ян; Сударшан, ECG (1998). "Глава 6: Изобретение Дираком квантовой теории поля". Паули и теорема о спиновой статистике. World Scientific Publishing. стр. 149–167. ISBN 978-9810231149.
2. https://courses.physics.illinois.edu/phys580/fa2013/interaction.pdf ^{[ пустой URL PDF ]}
3. Альберт Мессия (1966). Квантовая механика , Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; JJ Sakurai (1994). Современная квантовая механика (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295 .  
4. JW Negele, H. Orland (1988), Квантовые многочастичные системы, ISBN 0738200522 . 
5. "The Interaction Picture, лекционные заметки из Нью-Йоркского университета". Архивировано из оригинала 2013-09-04.
6. Квантовая теория поля для одаренного любителя, Глава 18 - для тех, кто видел, что это называется уравнением Швингера-Томонаги, это не уравнение Швингера-Томонаги. Это обобщение уравнения Шредингера на произвольные пространственно-подобные расслоения пространства-времени.
7. Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (1971). Квантовая теория многочастичных систем. McGraw-Hill. стр. 55. ISBN 978-0-07-020653-3.
8. Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, стр. 151, ISBN 0-486-60444-6
9. Швингер, Дж. (1948), «Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка.», Physical Review , 74 (10): 1439–1461, Bibcode : 1948PhRv...74.1439S, doi : 10.1103/PhysRev.74.1439
10. Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, стр. 151,163,170,276, ISBN 0-486-60444-6
11. Вакита, Хитоси (1976), «Интеграция уравнения Томонаги-Швингера», Сообщения по математической физике , 50 (1): 61–68, Bibcode : 1976CMaPh..50...61W, doi : 10.1007/BF01608555, S2CID  122590381
12. Лекция Швингера о вручении Нобелевской премии (PDF) , стр. 140, Швингер неформально называет дифференциальный подход локальным, а интегральный — типом глобального подхода. Термин глобальный здесь используется по отношению к области интегрирования
13. Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, стр. предисловие xiii, ISBN 0-486-60444-6,«Швингер неформально называет локальный подход, относящийся к полям также в контексте локальных действий. Частицы являются эмерджентными свойствами из интегрального подхода, примененного к полю, или усредненного подхода. Он в то же время проводит аналогию с классическим различием между частицами и полями и показывает, как это реализуется для квантовых полей
14. Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, стр. 152, ISBN 0-486-60444-6
15. Сакурай, Дж. Дж.; Наполитано, Джим (2010), Современная квантовая механика (2-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914

Дальнейшее чтение

• Л. Д. Ландау ; Е. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
• Таунсенд, Джон С. (2000). Современный подход к квантовой механике (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

Смотрите также

• Обозначение скобок
• Уравнение Шредингера
• Теорема Хаага