В логике и теории вероятностей два события (или предложения) являются взаимоисключающими или непересекающимися, если они не могут произойти одновременно. Ярким примером является набор результатов одного подбрасывания монеты, в результате которого может выпасть либо орел, либо решка, но не то и другое.
В примере с подбрасыванием монеты оба результата теоретически являются исчерпывающими , что означает, что хотя бы один из результатов должен произойти, поэтому эти две возможности вместе исчерпывают все возможности. [1] Однако не все взаимоисключающие события в совокупности являются исчерпывающими. Например, исходы 1 и 4 одного броска шестигранной кости являются взаимоисключающими (оба не могут произойти одновременно), но не являются совокупно исчерпывающими (есть и другие возможные исходы: 2,3,5,6).
В логике два взаимоисключающих предложения — это предложения, которые логически не могут быть истинными в одном и том же смысле одновременно. Сказать, что более двух предложений являются взаимоисключающими, в зависимости от контекста, означает, что одно не может быть истинным, если истинно другое, или, по крайней мере, одно из них не может быть истинным. Термин «попарно взаимоисключающие» всегда означает, что два из них не могут быть истинными одновременно.
В теории вероятностей события E 1 , E 2 , ..., En называются взаимоисключающими, если возникновение любого из них влечет за собой непроисхождение остальных n − 1 событий. Следовательно, два взаимоисключающих события не могут произойти одновременно. Формально говоря, пересечение каждых двух из них пусто (нулевое событие): A ∩ B = ∅. Как следствие, взаимоисключающие события обладают свойством: P( A ∩ B ) = 0. [2]
Например, в стандартной двухцветной колоде из 52 карт невозможно вытянуть карту одновременно красного цвета и трефы, поскольку трефы всегда черные. Если из колоды вытянута только одна карта, будет вытянута либо красная карта (черва или бубна), либо черная карта (трефа или пика). Когда A и B являются взаимоисключающими, P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) . [3] Чтобы найти вероятность вытягивания красной карточки или клюшки, например, сложите вероятность вытягивания красной карточки и вероятность вытягивания клюшки. В стандартной колоде из 52 карт двадцать шесть красных карт и тринадцать треф: 26/52 + 13/52 = 39/52 или 3/4.
Чтобы получить и красную карточку, и трефу, нужно взять как минимум две карты. Вероятность сделать это при двух розыгрышах зависит от того, была ли первая вытянутая карта заменена до второго розыгрыша, поскольку без замены после вытягивания первой карты на одну карту меньше. Вероятности отдельных событий (красного и трефового) скорее умножаются, чем складываются. Тогда вероятность вытянуть красную и трефу в двух розыгрышах без замены равна 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 , или 13/51. При замене вероятность составит 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 или 13/52.
В теории вероятностей слово или допускает возможность возникновения обоих событий. Вероятность того, что произойдет одно или оба события, обозначается P( A ∪ B ) и, в общем случае, равна P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ). [3] Следовательно, в случае вытягивания красной карты или короля, вытягивание любого красного короля, красного некороля или черного короля считается успехом. В стандартной колоде из 52 карт двадцать шесть красных карт и четыре короля, два из которых красные, поэтому вероятность вытянуть красную или короля равна 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/. 52.
События в совокупности являются исчерпывающими , если все возможности исходов исчерпываются этими возможными событиями, поэтому должен произойти хотя бы один из этих исходов. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, равна единице. [4] Например, теоретически существует только две возможности подбросить монету. Переворот головы и решки в совокупности являются исчерпывающими событиями, и существует вероятность того, что выпадет либо орел, либо решка. События могут быть как взаимоисключающими, так и коллективно исчерпывающими. [4] В случае подбрасывания монеты подбрасывание орла и решки также являются взаимоисключающими событиями. Оба исхода не могут произойти в одном испытании (т. е. когда монета подбрасывается только один раз). Вероятность выпадения орла и вероятность выпадения решки можно сложить, чтобы получить вероятность 1: 1/2 + 1/2 = 1. [5]
В статистике и регрессионном анализе независимая переменная , которая может принимать только два возможных значения, называется фиктивной переменной . Например, оно может принимать значение 0, если наблюдение ведется за белым субъектом, или 1, если наблюдение ведется за черным субъектом. Две возможные категории, связанные с двумя возможными значениями, являются взаимоисключающими, так что ни одно наблюдение не попадает более чем в одну категорию, а категории являются исчерпывающими, так что каждое наблюдение попадает в некоторую категорию. Иногда существуют три или более возможных категорий, которые попарно исключают друг друга и в совокупности являются исчерпывающими — например, возраст до 18 лет, возраст от 18 до 64 лет и возраст 65 лет и старше. В этом случае создается набор фиктивных переменных, каждая из которых имеет две взаимоисключающие и совместно исчерпывающие категории — в этом примере одна фиктивная переменная (называемая D 1 ) будет равна 1, если возраст меньше 18 лет, и будет равна 0 в противном случае . ; вторая фиктивная переменная (называемая D 2 ) будет равна 1, если возраст находится в диапазоне 18–64 лет, и 0 в противном случае. В этой настройке пары фиктивных переменных (D 1 , D 2 ) могут иметь значения (1,0) (до 18), (0,1) (между 18 и 64) или (0,0) ( 65 лет и старше) (но не (1,1), что бессмысленно подразумевало бы, что наблюдаемому субъекту одновременно меньше 18 лет и от 18 до 64 лет). Затем фиктивные переменные можно включить в регрессию как независимые (объяснительные) переменные. Число фиктивных переменных всегда на единицу меньше количества категорий: для двух категорий, черной и белой, существует одна фиктивная переменная, позволяющая их различать, тогда как для трех возрастных категорий необходимы две фиктивные переменные, чтобы их различать.
Такие качественные данные можно также использовать для зависимых переменных . Например, исследователь может захотеть предсказать, будет ли кто-то арестован или нет, используя семейный доход или расовую принадлежность в качестве объясняющих переменных. Здесь переменная, которую нужно объяснить, представляет собой фиктивную переменную, которая равна 0, если наблюдаемый субъект не арестован, и равна 1, если субъект арестован. В такой ситуации обычный метод наименьших квадратов (основной метод регрессии) считается неадекватным; вместо этого используется пробит-регрессия или логистическая регрессия . Кроме того, иногда существует три или более категорий для зависимой переменной — например, отсутствие обвинений, обвинения и смертные приговоры. В этом случае используется метод полиномиального пробита или полиномиального логита .
Пространство выборки — это совокупность или совокупность «всех возможных» различных (в совокупности исчерпывающих и взаимоисключающих) результатов эксперимента.