В логике и теории вероятностей два события (или предложения) являются взаимоисключающими или несовместными , если они не могут произойти оба одновременно. Ярким примером является набор результатов одного подбрасывания монеты, который может привести либо к орлу, либо к решке, но не к обоим.
В примере с подбрасыванием монеты оба результата теоретически являются коллективно исчерпывающими , что означает, что по крайней мере один из результатов должен произойти, поэтому эти две возможности вместе исчерпывают все возможности. [1] Однако не все взаимоисключающие события являются коллективно исчерпывающими. Например, результаты 1 и 4 одного броска шестигранной кости являются взаимоисключающими (оба не могут произойти одновременно), но не коллективно исчерпывающими (существуют и другие возможные результаты; 2,3,5,6).
В логике два предложения и являются взаимоисключающими, если и только если логически невозможно , чтобы они были истинными одновременно; то есть является тавтологией. Сказать, что более двух предложений являются взаимоисключающими, в зависимости от контекста, означает либо 1. « является тавтологией» (логически невозможно, чтобы более одного предложения были истинными), либо 2. « является тавтологией» (логически невозможно, чтобы все предложения были истинными одновременно). Термин попарно взаимоисключающий всегда означает первое.
В теории вероятностей события E 1 , E 2 , ..., E n называются взаимоисключающими, если наступление любого из них подразумевает ненаступление оставшихся n − 1 событий. Следовательно, два взаимоисключающих события не могут произойти оба. Формально говоря, является набором взаимоисключающих событий тогда и только тогда, когда задано любое , если то . Как следствие, взаимоисключающие события обладают свойством: . [2]
Например, в стандартной колоде из 52 карт двух цветов невозможно вытащить карту, которая одновременно является красной и трефовой, потому что трефы всегда черные. Если из колоды вытащить только одну карту, то выпадет либо красная карта (червовая или бубновая), либо черная карта (трефовая или пиковая). Когда A и B являются взаимоисключающими, P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) . [3] Чтобы найти вероятность вытащить красную карту или трефовую карту, например, сложите вероятность вытащить красную карту и вероятность вытащить трефовую карту. В стандартной колоде из 52 карт двадцать шесть красных карт и тринадцать трефовых: 26/52 + 13/52 = 39/52 или 3/4.
Нужно было бы вытянуть как минимум две карты, чтобы вытянуть и красную карточку, и трефу. Вероятность сделать это в двух розыгрышах зависит от того, была ли первая вытащенная карта заменена перед вторым розыгрышем, так как без замены после первой карты становится на одну карту меньше. Вероятности отдельных событий (красная и трефа) умножаются, а не складываются. Вероятность вытащить красную и трефу в двух розыгрышах без замены тогда составляет 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 или 13/51. С заменой вероятность будет 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 или 13/52.
В теории вероятностей слово or допускает возможность того, что оба события произойдут. Вероятность того, что одно или оба события произойдут, обозначается P( A ∪ B ) и в общем случае равна P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ). [3] Поэтому в случае вытягивания красной карты или короля, вытягивание любого из красного короля, красного некороля или черного короля считается успехом. В стандартной колоде из 52 карт есть двадцать шесть красных карт и четыре короля, два из которых красные, поэтому вероятность вытягивания красной или короля составляет 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52.
События являются коллективно исчерпывающими, если все возможности для результатов исчерпываются этими возможными событиями, поэтому по крайней мере один из этих результатов должен произойти. Вероятность того, что по крайней мере одно из событий произойдет, равна единице. [4] Например, теоретически существует только две возможности для подбрасывания монеты. Подбрасывание орла и подбрасывание решки являются коллективно исчерпывающими событиями, и существует вероятность того, что выпадет либо орел, либо решка. События могут быть как взаимоисключающими, так и коллективно исчерпывающими. [4] В случае подбрасывания монеты подбрасывание орла и подбрасывание решки также являются взаимоисключающими событиями. Оба результата не могут произойти для одного испытания (т. е. когда монета подбрасывается только один раз). Вероятность подбрасывания орла и вероятность подбрасывания решки можно сложить, чтобы получить вероятность 1: 1/2 + 1/2 = 1. [5]
В статистике и регрессионном анализе независимая переменная , которая может принимать только два возможных значения, называется фиктивной переменной . Например, она может принимать значение 0, если наблюдение относится к белому субъекту, или 1, если наблюдение относится к чернокожему субъекту. Две возможные категории, связанные с двумя возможными значениями, являются взаимоисключающими, так что ни одно наблюдение не попадает более чем в одну категорию, и категории являются исчерпывающими, так что каждое наблюдение попадает в некоторую категорию. Иногда существует три или более возможных категорий, которые попарно являются взаимоисключающими и в совокупности являются исчерпывающими — например, возраст до 18 лет, возраст от 18 до 64 лет и возраст 65 лет и старше. В этом случае создается набор фиктивных переменных, каждая фиктивная переменная имеет две взаимоисключающие и совместно исчерпывающие категории — в этом примере одна фиктивная переменная (называемая D 1 ) будет равна 1, если возраст меньше 18 лет, и будет равна 0 в противном случае ; вторая фиктивная переменная (называемая D 2 ) будет равна 1, если возраст находится в диапазоне 18–64 лет, и 0 в противном случае. В этой настройке пары фиктивных переменных (D 1 , D 2 ) могут иметь значения (1,0) (до 18 лет), (0,1) (от 18 до 64 лет) или (0,0) (65 лет или старше) (но не (1,1), что бессмысленно означало бы, что наблюдаемый субъект находится как в возрасте до 18 лет, так и в возрасте от 18 до 64 лет). Затем фиктивные переменные могут быть включены в регрессию как независимые (объяснительные) переменные. Количество фиктивных переменных всегда на единицу меньше количества категорий: в случае двух категорий «черный» и «белый» есть одна фиктивная переменная, чтобы различать их, в то время как в случае трех возрастных категорий для их различия необходимы две фиктивные переменные.
Такие качественные данные также могут использоваться для зависимых переменных . Например, исследователь может захотеть предсказать, будет ли кто-то арестован или нет, используя доход семьи или расу в качестве объясняющих переменных. Здесь переменная, которую нужно объяснить, является фиктивной переменной, которая равна 0, если наблюдаемый субъект не арестован, и равна 1, если субъект арестован. В такой ситуации обычный метод наименьших квадратов (базовый метод регрессии) широко рассматривается как неадекватный; вместо этого используется пробит-регрессия или логистическая регрессия . Кроме того, иногда для зависимой переменной есть три или более категорий — например, отсутствие обвинений, обвинения и смертные приговоры. В этом случае используется метод мультиномиального пробита или мультиномиального логита .
Пространство выборки представляет собой совокупность или набор «всех возможных» отдельных (в совокупности исчерпывающих и взаимоисключающих) результатов эксперимента.
