Встраивание

Включение одной математической структуры в другую с сохранением интересующих свойств

В математике вложение (или имбеддинг ^{[1] )} — это один экземпляр некоторой математической структуры , содержащийся в другом экземпляре, например, в группе , которая является подгруппой .

Когда говорят, что некоторый объект вложен в другой объект , вложение задается некоторой инъективной и сохраняющей структуру картой . Точное значение «сохраняющей структуру» зависит от вида математической структуры, экземплярами которой являются и . В терминологии теории категорий сохраняющая структуру карта называется морфизмом . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Тот факт, что отображение является вложением, часто обозначается использованием «стрелки с крючком» ( U+ 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮКОМ ); ^[2] таким образом: (С другой стороны, это обозначение иногда зарезервировано для карт включения .) ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

При наличии и возможны несколько различных вложений в . Во многих представляющих интерес случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение, например, вложение натуральных чисел в целые числа , целых чисел в рациональные числа , рациональных чисел в действительные числа , а действительных чисел в комплексные числа . В таких случаях принято отождествлять домен с его образом, содержащимся в , так что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Топология и геометрия

Общая топология

В общей топологии вложение является гомеоморфизмом на свой образ. ^[3] Более явно, инъективное непрерывное отображение между топологическими пространствами и является топологическим вложением, если дает гомеоморфизм между и (где несет топологию подпространства, унаследованную от ). Интуитивно тогда вложение позволяет нам рассматривать как подпространство . Каждое вложение является инъективным и непрерывным . Каждое отображение, которое является инъективным, непрерывным и либо открытым , либо замкнутым, является вложением; однако существуют также вложения, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми. Последнее происходит, если образ не является ни открытым множеством , ни замкнутым множеством в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Для данного пространства существование вложения является топологическим инвариантом . Это позволяет различать два пространства, если одно из них может быть вложено в пространство, а другое — нет. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Связанные определения

Если область определения функции является топологическим пространством , то говорят, что функция ${\displaystyle f:X\to Y}$локально инъективно в точке , если существует некотораяокрестность этой точки, такая, что ограничениеинъективно. Это называется ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$локально инъективен, если он локально инъективен вокруг каждой точки своей области. Аналогично,локальное (топологическое, соответственно гладкое) вложение — это функция, для которой каждая точка в ее области определения имеет некоторую окрестность, ограничение на которую является (топологическим, соответственно гладким) вложением.

Каждая инъективная функция локально инъективна, но не наоборот. Локальные диффеоморфизмы , локальные гомеоморфизмы и гладкие погружения — все это локально инъективные функции, которые не обязательно инъективны. Теорема об обратной функции дает достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была (помимо прочего) локально инъективной. Каждое волокно локально инъективной функции обязательно является дискретным подпространством своей области определения ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии : Пусть и будут гладкими многообразиями , а будет гладким отображением. Тогда называется погружением, если его производная всюду инъективна. Вложение или гладкое вложение определяется как погружение, которое является вложением в топологическом смысле, упомянутом выше (т.е. гомеоморфизм на свой образ). ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f}$

Другими словами, область вложения диффеоморфна своему образу, и в частности, образ вложения должен быть подмногообразием . Погружение — это в точности локальное вложение , т. е. для любой точки существует окрестность такая, что является вложением. ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x\in U\subset M}$ ${\displaystyle f:U\to N}$

Когда многообразие областей компактно, понятие гладкого вложения эквивалентно понятию инъективного погружения.

Важным случаем является . Интерес здесь в том, насколько большим должно быть для вложения, с точки зрения размерности . Теорема вложения Уитни ^[5] утверждает, что этого достаточно, и является наилучшей возможной линейной границей. Например, действительное проективное пространство размерности , где — степень двойки, требует для вложения. Однако это не относится к погружениям; например, может быть погружено в , как явно показано поверхностью Боя , которая имеет самопересечения. Римская поверхность не может быть погружением, поскольку она содержит поперечные крышки . ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Вложение является правильным , если оно ведет себя хорошо по отношению к границам : требуется, чтобы отображение было таким, что ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, и
• ${\displaystyle f(X)}$является поперечным к в любой точке . ${\displaystyle \partial Y}$ ${\displaystyle f(\partial X)}$

Первое условие эквивалентно наличию и . Второе условие, грубо говоря, говорит, что не касается границы . ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$ ${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Риманова и псевдориманова геометрия

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии: Пусть и будут римановыми многообразиями или, в более общем смысле, псевдоримановыми многообразиями . Изометрическое вложение — это гладкое вложение , которое сохраняет (псевдо-) метрику в том смысле, что оно равно обратному пути от , т.е. . Явно, для любых двух касательных векторов мы имеем ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{*}h}$ ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

Аналогично, изометрическое погружение — это погружение между (псевдо)римановыми многообразиями, сохраняющее (псевдо)римановы метрики.

Эквивалентно, в римановой геометрии изометрическое вложение (погружение) является гладким вложением (погружением), которое сохраняет длину кривых (ср. теорему Нэша о вложении ). ^[6]

Алгебра

В общем случае для алгебраической категории вложение между двумя -алгебраическими структурами и является -морфизмом , который является инъективным. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e:X\rightarrow Y}$

Теория поля

В теории поля вложение поля в поле называется кольцевым гомоморфизмом . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$

Ядро является идеалом , который не может быть всем полем из-за условия . Более того, любое поле имеет в качестве идеалов только нулевой идеал и само все поле (потому что если в идеале есть любой ненулевой элемент поля, то он обратим, показывая, что идеал является всем полем). Следовательно, ядро ​​является , поэтому любое вложение полей является мономорфизмом . Следовательно, изоморфно подполю . Это оправдывает название вложение для произвольного гомоморфизма полей. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma (E)}$ ${\displaystyle F}$

Универсальная алгебра и теория моделей

Если является сигнатурой и являются -структурами (также называемыми -алгебрами в универсальной алгебре или моделями в теории моделей ) , то отображение является -вложением в точности тогда, когда выполняются все следующие условия: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle h}$является инъекционным,
• для каждого символа -арной функции и мы имеем , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$
• для каждого символа -арного отношения и мы имеем тогда и только тогда ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Вот модельно-теоретическая нотация, эквивалентная . В теории моделей существует также более сильное понятие элементарного вложения . ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$

Теория порядка и теория доменов

В теории порядка вложение частично упорядоченных множеств — это функция между частично упорядоченными множествами и такая, что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

Инъективность быстро следует из этого определения. В теории доменов дополнительным требованием является то, что ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$направлено .​

Метрические пространства

Отображение метрических пространств называется вложением (с искажением ), если ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

для каждого и некоторой константы . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle L>0}$

Нормированные пространства

Важным частным случаем являются нормированные пространства ; в этом случае естественно рассматривать линейные вложения.

Один из основных вопросов, который можно задать о конечномерном нормированном пространстве , заключается в следующем: какова максимальная размерность , в которую гильбертово пространство может быть линейно вложено с постоянным искажением? ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ ${\displaystyle X}$

Ответ даёт теорема Дворецкого .

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного и общепринятого определения вложений, которое было бы применимо ко всем категориям. Можно было бы ожидать, что все изоморфизмы и все композиции вложений являются вложениями, и что все вложения являются мономорфизмами. Другие типичные требования: любой экстремальный мономорфизм является вложением, а вложения устойчивы относительно обратных протяжек .

В идеале класс всех вложенных подобъектов данного объекта, с точностью до изоморфизма, также должен быть малым , и, таким образом, упорядоченным множеством . В этом случае говорят, что категория хорошо снабжается относительно класса вложений. Это позволяет определять новые локальные структуры в категории (например, оператор замыкания ).

В конкретной категории вложение — это морфизм , который является инъективной функцией из базового множества в базовое множество и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если является функцией из базового множества объекта в базовое множество , и если его композиция с является морфизмом , то он сам является морфизмом. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fg:C\rightarrow B}$ ${\displaystyle g}$

Система факторизации для категории также порождает понятие вложения. Если — система факторизации, то морфизмы в можно рассматривать как вложения, особенно когда категория хорошо потенцируется относительно . Конкретные теории часто имеют систему факторизации в , которая состоит из вложений в предыдущем смысле. Это случай большинства примеров, приведенных в этой статье. ${\displaystyle (E,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Как обычно в теории категорий, есть дуальная концепция, известная как фактор. Все предыдущие свойства могут быть дуализированы.

Вложение может также ссылаться на функтор вложения .

Смотрите также

• Окружающее пространство
• Закрытое погружение
• Крышка
• Уменьшение размеров
• Плоский (геометрия)
• Погружение
• Лемма Джонсона–Линденштрауса
• Подмногообразие
• Подпространство
• Универсальное пространство

Примечания

1. Спивак 1999, стр. 49 предполагает, что «англичане» (т. е. британцы) используют «embedding» вместо «imbedding».
2. "Стрелки – Unicode" (PDF) . Получено 2017-02-07 .
3. Hocking & Young 1988, стр. 73. Sharpe 1997, стр. 16.
4. Bishop & Crittenden 1964, стр. 21. Bishop & Goldberg 1968, стр. 40. Crampin & Pirani 1994, стр. 243. do Carmo 1994, стр. 11. Flanders 1989, стр. 53. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, стр. 12. Kobayashi & Nomizu 1963, стр. 9. Kosinski 2007, стр. 27. Lang 1999, стр. 27. Lee 1997, стр. 15. Spivak 1999, стр. 49. Warner 1983, стр. 22.
5. Уитни Х., Дифференцируемые многообразия, Ann. of Math. (2), 37 (1936), стр. 645–680
6. Нэш Дж., Проблема погружения римановых многообразий, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.

Ссылки

• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Криттенден, Ричард Дж. (1964). Геометрия многообразий . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Голдберг, Сэмюэл Ирвинг (1968). Тензорный анализ многообразий (Первое издание Dover 1980). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
• ду Кармо, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Фландерс, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология. Дувр. ISBN 0-486-65676-4.
• Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Кобаяси, Сёсичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
• Ли, Джон Маршалл (1997). Римановы многообразия . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9..
• Спивак, Майкл (1999) [1970]. Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-70-5.
• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-90894-3..

Внешние ссылки

• Адамек, Йиржи; Хорст Херрлих; Джордж Штреккер (2006). Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек).
• Встраивание многообразий в Атлас многообразий