Гиромагнитное отношение

Отношение магнитного момента к угловому моменту

В физике гиромагнитное отношение (также иногда известное как магнитогирическое отношение ^[1] в других дисциплинах) частицы или системы — это отношение ее магнитного момента к ее угловому моменту , и оно часто обозначается символом γ , гамма. Его единицей СИ является радиан в секунду на теслу (рад⋅с ⁻¹ ⋅Т ⁻¹ ) или, что эквивалентно, кулон на килограмм (Кл⋅кг ⁻¹ ). ^{[ необходима цитата ]}

Термин «гиромагнитное отношение» часто используется ^[2] как синоним другой , но тесно связанной величины, g -фактора . G -фактор отличается от гиромагнитного отношения только тем, что является безразмерным .

Для классического вращающегося тела

Рассмотрим непроводящее заряженное тело, вращающееся вокруг оси симметрии. Согласно законам классической физики, оно имеет как магнитный дипольный момент из-за движения заряда, так и угловой момент из-за движения массы, возникающей при его вращении. Можно показать, что пока его заряд, плотность массы и поток ^{[ требуется разъяснение ]} распределены одинаково и вращательно-симметричны, его гиромагнитное отношение равно

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

где — его заряд, — его масса. ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {m}}$

Вывод этого соотношения следующий. Достаточно продемонстрировать это для бесконечно узкого круглого кольца внутри тела, так как общий результат следует из интегрирования . Предположим, что кольцо имеет радиус r , площадь A = πr ² , массу m , заряд q и угловой момент L = mvr . Тогда величина магнитного дипольного момента равна

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.}$

Для изолированного электрона

Изолированный электрон имеет угловой момент и магнитный момент, возникающие из его спина . Хотя спин электрона иногда визуализируется как буквальное вращение вокруг оси, его нельзя приписать массе, распределенной идентично заряду. Вышеуказанное классическое соотношение не выполняется, давая неправильный результат по абсолютному значению g -фактора электрона , который обозначается g _e : где μ _B — магнетон Бора . $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,}$$

Гиромагнитное отношение, обусловленное спином электрона, в два раза больше, чем отношение, обусловленное вращением электрона по орбите.

В рамках релятивистской квантовой механики, где - постоянная тонкой структуры . Здесь малые поправки к релятивистскому результату g = 2 исходят из расчетов квантовой теории поля аномального магнитного дипольного момента . Электронный g -фактор известен с точностью до двенадцати знаков после запятой путем измерения магнитного момента электрона в одноэлектронном циклотроне: ^[3] $${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).}$$

Электронное гиромагнитное отношение равно ^{[4] [5] [6]} $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1}{\cdot }T^{-1}} }$$ $${\displaystyle {\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{-1}} .}$$

Электронный g -фактор и γ прекрасно согласуются с теорией; подробности см. в разделе «Тесты точности КЭД» ^{. [7]}

Гиромагнитный фактор не является следствием теории относительности

Поскольку гиромагнитный фактор, равный 2, следует из уравнения Дирака, часто ошибочно полагают, что g - фактор 2 является следствием теории относительности; это не так. Фактор 2 может быть получен из линеаризации как уравнения Шредингера , так и релятивистского уравнения Клейна–Гордона (которое приводит к уравнению Дирака). В обоих случаях получается 4- спинор , и для обеих линеаризаций g -фактор оказывается равным 2; Следовательно, фактор 2 является следствием минимальной связи и факта наличия одного и того же порядка производных для пространства и времени. ^[8]

Физическое вращение ⁠1/2⁠ Частицы, которые не могут быть описаны линейным калиброванным уравнением Дирака, удовлетворяют калиброванному уравнению Клейна–Гордона, расширенному с помощью g ⁠ е/4⁠ σ ^µν F _µν термин согласно^[9]

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

Здесь, ⁠1/2⁠ σ ^μν и F ^μν обозначают генераторы группы Лоренца в пространстве Дирака и электромагнитный тензор соответственно, в то время как A ^μ — электромагнитный 4-потенциал . Примером такой частицы ^[9] является спин ⁠1/2⁠ компаньон для спина ⁠3/2⁠ в пространстве представления D ^(½,1) ⊕ D ^(1,½) группы Лоренца . Было показано, что эта частица характеризуется g = ⁠−+2/3⁠ и, следовательно, вести себя как истинно квадратичный фермион.

Для ядра

Знак гиромагнитного отношения γ определяет направление прецессии. В то время как магнитные моменты (черные стрелки) ориентированы одинаково для обоих случаев γ , прецессия имеет противоположные направления. Спин и магнитный момент имеют одинаковое направление для γ > 0 (как для протонов).

Протоны , нейтроны и многие ядра несут ядерный спин , что приводит к гиромагнитному отношению, как указано выше. Отношение обычно записывается в терминах массы и заряда протона, даже для нейтронов и других ядер, ради простоты и последовательности. Формула имеет вид:

${\displaystyle \gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

где - ядерный магнетон , а - g -фактор рассматриваемого нуклона или ядра. Отношение , равное , равно 7,622593285(47) МГц/Тл. ^[10] ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle g_{\rm {n}}}$ ${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$ ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

Гиромагнитное отношение ядра играет роль в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и магнитно-резонансной томографии (МРТ). Эти процедуры основаны на том факте, что объемная намагниченность, вызванная ядерными спинами, прецессирует в магнитном поле со скоростью, называемой частотой Лармора , которая является просто произведением гиромагнитного отношения на напряженность магнитного поля. В этом явлении знак γ определяет направление (по часовой стрелке или против часовой стрелки) прецессии.

Большинство распространенных ядер, таких как ¹ H и ¹³ C, имеют положительные гиромагнитные отношения. ^{[11] [12]} Приблизительные значения для некоторых распространенных ядер приведены в таблице ниже. ^{[13] [14]}

прецессия Лармора

Любая свободная система с постоянным гиромагнитным отношением, например, жесткая система зарядов, ядро ​​или электрон , помещенная во внешнее магнитное поле B (измеряемое в теслах), которое не совпадает с ее магнитным моментом , будет прецессировать с частотой f (измеряемой в герцах ), которая пропорциональна внешнему полю:

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

По этой причине значения ⁠γ/2π​ ⁠ , в единицах герц на теслу (Гц/Тл), часто указываются вместо γ .

Эвристический вывод

Вывод этого соотношения следующий: Сначала мы должны доказать, что крутящий момент, возникающий при воздействии магнитного момента на магнитное поле, равен Идентичность функциональной формы стационарных электрического и магнитного полей привела к определению величины магнитного дипольного момента так же хорошо , как или следующим образом, имитируя момент p электрического диполя: Магнитный диполь можно представить стрелкой компаса с фиктивными магнитными зарядами на двух полюсах и векторным расстоянием между полюсами под действием магнитного поля Земли Согласно классической механике крутящий момент на этой стрелке равен Но, как уже говорилось , получается искомая формула. — единичный вектор расстояния. ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pm q_{\rm {m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$ ${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}}$

Модель вращающегося электрона, которую мы используем при выводе, имеет очевидную аналогию с гироскопом. Для любого вращающегося тела скорость изменения момента импульса равна приложенному крутящему моменту : ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

Обратите внимание на пример прецессии гироскопа. Гравитационное притяжение Земли прикладывает силу или крутящий момент к гироскопу в вертикальном направлении, а вектор момента импульса вдоль оси гироскопа медленно вращается вокруг вертикальной линии, проходящей через ось. На месте гироскопа представьте себе сферу, вращающуюся вокруг оси и с центром на оси гироскопа, а вдоль оси гироскопа два противоположно направленных вектора, оба исходящие из центра сферы, вверх и вниз. Замените гравитацию плотностью магнитного потока ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} .}$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$представляет собой линейную скорость наконечника стрелы по окружности, радиус которой равен , где - угол между и вертикалью. Следовательно, угловая скорость вращения спина равна ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$ ${\displaystyle \,\phi \,}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

Следовательно, ${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}}$

Это соотношение также объясняет кажущееся противоречие между двумя эквивалентными терминами, гиромагнитным отношением и магнитогирическим отношением: в то время как это отношение магнитного свойства (т. е. дипольного момента ) к гирическому (вращательному, от греч . γύρος , «поворот») свойству (т. е. угловому моменту ), оно также, в то же время , является отношением между угловой частотой прецессии (еще одним гирическим свойством) ω = 2 πf и магнитным полем .

Угловая частота прецессии имеет важное физическое значение: это угловая циклотронная частота , резонансная частота ионизированной плазмы, находящейся под воздействием статического конечного магнитного поля, при наложении высокочастотного электромагнитного поля.

Смотрите также

• Отношение заряда к массе
• Химический сдвиг
• Ланде g -фактор
• Уравнение Лармора
• Протонное гиромагнитное отношение

Ссылки

1. Международный союз теоретической и прикладной химии (1993). Величины, единицы и символы в физической химии , 2-е издание, Оксфорд: Blackwell Science. ISBN  0-632-03583-8 . стр. 21. Электронная версия.
2. Например, см.: Giancoli, DC Physics for Scientists and Engineers (3-е изд.). стр. 1017;или см.: Типлер, П. А.; Ллевеллин, Р. А. Современная физика (4-е изд.). стр. 309.
3. Fan, X.; Myers, TG; Sukra, BAD; Gabrielse, G. (13 февраля 2023 г.). «Измерение магнитного момента электрона». Physical Review Letters . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Bibcode : 2023PhRvL.130g1801F. doi : 10.1103/PhysRevLett.130.071801. PMID  36867820. S2CID  123962197.
4. "электронное гиромагнитное отношение". NIST .Обратите внимание, что NIST ставит положительный знак на величину; однако, чтобы соответствовать формулам в этой статье, здесь ставится отрицательный знак на γ . Действительно, во многих источниках говорится, что γ < 0 для электрона; например, Weil & Bolton (2007). Electron Paramagnetic Resonance . Wiley. стр. 578. ^{[ необходима полная цитата ]} Также обратите внимание, что радианы добавлены для ясности.
5. "электронное гиромагнитное отношение". NIST .
6. "электронное гиромагнитное отношение в МГц/Тл". NIST .
7. Кнехт, Марк (12 октября 2002 г.). «Аномальные магнитные моменты электрона и мюона». В Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (ред.). Семинар Пуанкаре 2002 г. Семинар Пуанкаре. Прогресс в математической физике. Том 30. Париж, Франция: Birkhäuser (опубликовано в 2003 г.). ISBN 3-7643-0579-7. Архивировано из оригинала ( PostScript ) 15 октября 2005 г.
8. Грейнер, Вальтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение. Springer Verlag . ISBN 9783540674580– через Google Книги.
9. Delgado Acosta, EG; Banda Guzmán, VM; Kirchbach, M. (2015). "Гиромагнитные g _s -факторы частиц со спином 1/2 в триаде (1/2 ⁺ -1/2 ⁻ -1/2 ⁻ ) четырехвекторного спинора, ψ _μ , неприводимость и линейность". International Journal of Modern Physics E . 24 (7): 1550060. arXiv : 1507.03640 . Bibcode :2015IJMPE..2450060D. doi :10.1142/S0218301315500603. S2CID  119303031.
10. "Ядерный магнетон в МГц/Тл: μ N / h {\displaystyle \mu _{\rm {N}}/h} ". NIST . 2014.(со ссылкой на рекомендуемые значения CODATA )
11. Левитт, МХ (2008). Динамика спина . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0470511176.
12. Палмер, Артур Г. (2007). Спектроскопия ЯМР белков . Elsevier Academic Press . ISBN 978-0121644918.
13. Бернстайн, MA; Кинг, KF; Чжоу, XJ (2004). Справочник по импульсным последовательностям МРТ . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. стр. 960. ISBN 0-12-092861-2– через archive.org.
14. Weast, RC; Astle, MJ, ред. (1982). Справочник по химии и физике . Boca Raton, FL: CRC Press . стр. E66. ISBN 0-8493-0463-6.
15. "протонное гиромагнитное отношение". NIST . 2022.
16. "протонное гиромагнитное отношение более 2 пи". NIST . 2022.
17. "экранированное протонное гиромагнитное отношение". NIST 2022 . Получено 19 мая 2021 .
18. "экранированное протонное гиромагнитное отношение в МГц/Тл". NIST 2022 . Получено 19 мая 2021 .
19. «Тритиевая ЯМР-спектроскопия твердого тела в PNNL для оценки материалов для хранения водорода» (PDF) . Ноябрь 2015 г.
20. "экранированное гелионное гиромагнитное отношение". NIST 2022 . Получено 9 июля 2024 .
21. "экранированное гелионное гиромагнитное отношение в МГц/Тл". NIST 2022 . Получено 9 июля 2024 .
22. Макульский, Влодзимеж (2020). «Исследования магнитных свойств благородных газов: прошлое, настоящее и будущее». Магнитохимия . 6 (4): 65. doi : 10.3390/magnetochemistry6040065 .