Внутренняя метрика

Понятие в геометрии/топологии

При математическом исследовании метрических пространств можно учитывать длину дуги путей в пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, естественно ожидать, что из первой точки во вторую можно будет добраться по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренней метрики определяется как нижняя грань длин всех путей от первой точки ко второй. Метрическое пространство является пространством с метрикой длины, если внутренняя метрика согласуется с исходной метрикой пространства.

Если пространство обладает более сильным свойством, что всегда существует путь, достигающий нижней границы длины ( геодезическая ), то оно называется геодезическим метрическим пространством или геодезическим пространством . Например, евклидова плоскость представляет собой геодезическое пространство, геодезическими которого являются отрезки прямых . Евклидова плоскость с удаленным началом координат не является геодезической, но все же представляет собой метрическое пространство длины.

Определения

Позвольте быть метрическим пространством , т. е. представляет собой набор точек (например, все точки на плоскости или все точки на круге) и является функцией, которая предоставляет нам расстояние между точками . Мы определяем новую метрику на , известную как индуцированная внутренняя метрика , следующим образом: - нижняя грань длин всех путей от до . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Здесь путь от до является непрерывным отображением ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

с и . Длина такого пути определяется так, как объясняется для спрямляемых кривых . Мы устанавливаем , если не существует пути конечной длины из в (это согласуется с определением нижней границы, поскольку нижняя грань пустого множества внутри отрезка [0,+∞] равна +∞). ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Отображение идемпотентно , т.е. ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

Если

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

для всех точек и в мы говорим, что это пространство длины или пространство метрики пути и метрика является внутренней . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d}$

Мы говорим, что метрика имеет приблизительные середины, если для любой пары точек и существует такое , что и обе меньше, чем ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,c)}$ ${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

Примеры

• Евклидово пространство с обычной евклидовой метрикой является метрическим пространством путей. тоже есть. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• Единичная окружность с метрикой, унаследованной от евклидовой метрики ( хордальной метрики ), не является метрическим пространством путей. Индуцированная внутренняя метрика на измеряет расстояния как углы в радианах , а полученное метрическое пространство длин называется римановой окружностью . В двух измерениях хордальная метрика сферы не является внутренней, а индуцированная внутренняя метрика определяется расстоянием по большому кругу . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Каждое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство путей, определив расстояние между двумя точками как нижнюю грань длин непрерывно дифференцируемых кривых, соединяющих две точки. (Риманова структура позволяет определить длину таких кривых.) Аналогично, другие многообразия, в которых определена длина, включали финслеровы многообразия и субримановы многообразия .
• Любое полное и выпуклое метрическое пространство является метрическим пространством длины (Хамси и Кирк 2001, теорема 2.16), результат Карла Менгера . Однако обратное неверно, т. е. существуют метрические пространства длины, которые не являются выпуклыми.

Характеристики

• В общем, мы имеем, и поэтому топология, определяемая , всегда тоньше или равна топологии, определенной . ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d}$
• Пространство всегда является пространством с метрикой путей (с оговоркой, как упоминалось выше, что оно может быть бесконечным). ${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• Метрика пространства длин имеет приблизительные середины. И наоборот, каждое полное метрическое пространство с приблизительными средними точками является пространством длины.
• Теорема Хопфа –Ринова утверждает, что если пространство длин полно и локально компактно , то любые две точки в нем можно соединить минимизирующей геодезической , и все ограниченные замкнутые множества в нем компактны . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Рекомендации

• Герберт Буземан, Избранные произведения, (Атанас Пападопулос, ред.), Том I, 908 стр., Springer International Publishing, 2018.

• Герберт Буземан, Избранные произведения, (Атанас Пападопулос, ред.), Том II, 842 стр., Springer International Publishing, 2018.

• Громов, Михаил (1999), Метрические структуры для римановых и неримановых пространств , Progress in Math., vol. 152, Биркхойзер, ISBN 0-8176-3898-9
• Хамси, Мохамед А .; Кирк, Уильям А. (2001), Введение в метрические пространства и теорию фиксированной точки , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0