Внутренние и внешние углы

Дополнительная пара углов в каждой вершине многоугольника

Соответствующие внутренние (бирюзовые) и внешние (пурпурные) углы многоугольника являются дополнительными (в сумме составляют половину оборота). Внешние углы замкнутого многоугольника без самопересечений всегда составляют полный оборот.

Внутренние и внешние углы

В геометрии угол многоугольника образован двумя смежными сторонами . Для простого многоугольника (несамопересекающегося), независимо от того, является ли он выпуклым или невыпуклым , этот угол называется внутренним углом (или внутренним углом), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол на вершину .

Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше развернутого угла ( π радиан или 180°), то многоугольник называется выпуклым .

Напротив, внешний угол (также называемый углом поворота или внешним углом) — это угол, образованный одной стороной простого многоугольника и линией, продолженной от смежной стороны . ^{[1] : стр. 261–264}

Характеристики

• Сумма внутреннего угла и внешнего угла при одной и той же вершине равна π радиан (180°).
• Сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна π( n −2) радиан или 180( n –2) градусов, где n — число сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начиная с треугольника, для которого сумма углов составляет 180°, затем заменяя одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
• Сумма внешних углов любого простого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, составляет 2π радиан (360°).
• Величина внешнего угла при вершине не зависит от того, какая сторона продолжена: два внешних угла, которые можно образовать при вершине, продолжая попеременно одну или другую сторону, являются вертикальными углами и, следовательно, равны.

Расширение до скрещенных многоугольников

Концепция внутреннего угла может быть последовательно расширена на скрещенные многоугольники , такие как звездчатые многоугольники , с использованием концепции направленных углов. В общем случае сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая скрещенные (самопересекающиеся), затем задается как 180( n –2 k )°, где n — количество вершин, а строго положительное целое число k — количество полных (360°) оборотов, которые совершает человек, обходя периметр многоугольника . Другими словами, сумма всех внешних углов составляет 2π k радиан или 360 k градусов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников и вогнутых многоугольников k = 1 , поскольку сумма внешних углов составляет 360°, и человек совершает только один полный оборот, обходя периметр.

Ссылки

1. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников , Prometheus Books, 2012.

Внешние ссылки

• Внутренние углы треугольника
• Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула. Предоставляет интерактивное действие Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включая в нее пересекающиеся (сложные) многоугольники.