Внутренняя метрика

Понятие в геометрии/топологии

При математическом изучении метрических пространств можно рассмотреть длину дуги путей в пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, то естественно ожидать, что можно будет добраться из первой точки во вторую по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) к этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренней метрики определяется как инфимум длин всех путей от первой точки до второй. Метрическое пространство является метрическим пространством длины , если внутренняя метрика согласуется с исходной метрикой пространства.

Если пространство обладает более сильным свойством, что всегда существует путь, достигающий инфимума длины ( геодезическая ), то оно называется геодезическим метрическим пространством или геодезическим пространством . Например, евклидова плоскость является геодезическим пространством, в котором отрезки прямых являются его геодезическими. Евклидова плоскость с удаленным началом координат не является геодезической, но все еще является метрическим пространством длины.

Определения

Пусть будет метрическим пространством , т. е. представляет собой набор точек (например, все точки на плоскости или все точки на окружности) и является функцией, которая дает нам расстояние между точками . Мы определяем новую метрику на , известную как индуцированная внутренняя метрика , следующим образом: представляет собой инфимум длин всех путей от до . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Здесь путь от до представляет собой непрерывную карту ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

с и . Длина такого пути определяется так же, как объяснено для спрямляемых кривых . Мы устанавливаем , если нет пути конечной длины от до (это согласуется с определением инфимума, поскольку инфимум пустого множества внутри замкнутого интервала [0,+∞] равен +∞). ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Отображение идемпотентно , т.е. ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

Если

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

для всех точек и в мы говорим, что это пространство длин или пространство метрики пути , а метрика является внутренней . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d}$

Мы говорим, что метрика имеет приближенные средние точки , если для любой и любой пары точек и в существует в такое, что и оба меньше, чем ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,c)}$ ${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

Примеры

• Евклидово пространство с обычной евклидовой метрикой также является метрическим пространством путей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• Единичная окружность с метрикой, унаследованной от евклидовой метрики ( хордовой метрики ), не является метрическим пространством пути. Индуцированная внутренняя метрика на измеряет расстояния как углы в радианах , а полученное метрическое пространство длины называется римановой окружностью . В двух измерениях хордовая метрика на сфере не является внутренней, а индуцированная внутренняя метрика задается расстоянием по большой окружности . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Каждое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство путей, определив расстояние между двумя точками как инфимум длин непрерывно дифференцируемых кривых, соединяющих эти две точки. (Риманова структура позволяет определить длину таких кривых.) Аналогично, другие многообразия, в которых определена длина, включают финслеровы многообразия и субримановы многообразия .
• Любое полное и выпуклое метрическое пространство является метрическим пространством длины (Khamsi & Kirk 2001, теорема 2.16), результат Карла Менгера . Однако обратное утверждение неверно, т.е. существуют метрические пространства длины, которые не являются выпуклыми.

Характеристики

• В общем случае мы имеем и топология, определяемая , поэтому всегда тоньше или равна топологии, определяемой . ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d}$
• Пространство всегда является метрическим пространством пути (с оговоркой, что, как упоминалось выше, оно может быть бесконечным). ${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• Метрика пространства длины имеет приближенные середины. Наоборот, каждое полное метрическое пространство с приближенными серединами является пространством длины.
• Теорема Хопфа–Ринова утверждает, что если пространство с внутренней метрикой полно и локально компактно , то любые две точки в можно соединить минимизирующей геодезической , а все ограниченные замкнутые множества в компактны . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ссылки

• Герберт Буземан, Избранные труды, (ред. Атанас Пападопулос), том I, 908 стр., Springer International Publishing, 2018.

• Герберт Буземан, Избранные труды, (ред. Атанас Пападопулос), том II, 842 стр., Springer International Publishing, 2018.

• Громов, Михаил (1999), Метрические структуры для римановых и неримановых пространств , Progress in Math., т. 152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
• Хамси, Мохамед А.; Кирк , Уильям А. (2001), Введение в метрические пространства и теорию неподвижных точек , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0