Статистическая дисперсия

Статистическое свойство, позволяющее количественно определить, насколько распределен набор данных.

Пример выборок из двух популяций с одинаковым средним значением, но разной дисперсией. Синее население гораздо более рассредоточено, чем красное.

В статистике дисперсия (также называемая изменчивостью , разбросом или распространением ) — это степень, до которой распределение растягивается или сжимается. ^[1] Распространенными примерами показателей статистической дисперсии являются дисперсия , стандартное отклонение и межквартильный размах . Например, когда дисперсия данных в наборе велика, данные сильно разбросаны. С другой стороны, когда дисперсия мала, данные в наборе кластеризуются.

Дисперсия противопоставляется местоположению или центральной тенденции , и вместе они являются наиболее используемыми свойствами распределений.

Меры статистической дисперсии

Мерой статистической дисперсии является неотрицательное действительное число , которое равно нулю, если все данные одинаковы, и увеличивается по мере того, как данные становятся более разнообразными.

Большинство мер дисперсии имеют те же единицы , что и измеряемая величина . Другими словами, если измерения производятся в метрах или секундах, то и дисперсия является такой же. Примеры мер по дисперсии включают в себя:

• Среднеквадратичное отклонение
• Межквартильный размах (IQR)
• Диапазон
• Средняя абсолютная разница (также известная как средняя абсолютная разница Джини)
• Медианное абсолютное отклонение (MAD)
• Среднее абсолютное отклонение (или просто среднее отклонение)
• Стандартное отклонение расстояния

Они часто используются (вместе с масштабными коэффициентами ) в качестве оценок параметров масштаба , в этом качестве они называются оценками масштаба. Надежные меры масштаба – это те, на которые не влияет небольшое количество выбросов , и включают IQR и MAD.

Все вышеперечисленные меры статистической дисперсии обладают тем полезным свойством, что они не зависят от местоположения и линейны по масштабу . Это значит, что если случайная величина имеет дисперсию, то линейное преобразование действительно и должно иметь дисперсию , где – абсолютное значение , то есть игнорирует предшествующий отрицательный знак . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{X}}$ ${\displaystyle Y=aX+b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S_{Y}=|a|S_{X}}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -}$

Остальные меры дисперсии безразмерны . Другими словами, у них нет единиц измерения, даже если у самой переменной есть единицы. К ним относятся:

• Коэффициент вариации
• Квартильный коэффициент дисперсии
• Относительная средняя разница , равная удвоенному коэффициенту Джини.
• Энтропия : Хотя энтропия дискретной переменной инвариантна к местоположению и не зависит от масштаба и, следовательно, не является мерой дисперсии в вышеуказанном смысле, энтропия непрерывной переменной инвариантна к местоположению и аддитивна по масштабу: Если - энтропия непрерывная переменная и , то . ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=ax+b}$ ${\displaystyle H(z)=H(x)+\log(a)}$

Существуют и другие меры дисперсии:

• Дисперсия (квадрат стандартного отклонения) – не зависит от местоположения, но не является линейной по масштабу.
• Отношение дисперсии к среднему — в основном используется для данных подсчета, когда используется термин « коэффициент дисперсии» и когда это отношение безразмерное , поскольку данные подсчета сами по себе безразмерны, а не иначе.

Некоторые меры дисперсии имеют специализированные цели. Дисперсия Аллана может использоваться в приложениях, где шум нарушает сходимость. ^[2] Дисперсия Адамара может использоваться для противодействия чувствительности к линейному дрейфу частоты. ^[3]

Для категориальных переменных дисперсию реже измеряют одним числом; см. качественное изменение . Одной из таких мер является дискретная энтропия .

Источники

В физических науках такая изменчивость может быть результатом случайных ошибок измерений: измерения с помощью приборов часто не являются совершенно точными, то есть воспроизводимыми , и существует дополнительная межэкспертная вариабельность в интерпретации и сообщении результатов измерений. Можно предположить, что измеряемая величина стабильна и что различия между измерениями обусловлены ошибкой наблюдения . Система большого числа частиц характеризуется средними значениями относительно небольшого числа макроскопических величин, таких как температура, энергия и плотность. Стандартное отклонение — важная мера в теории флуктуаций, которая объясняет многие физические явления, в том числе почему небо голубое. ^[4]

В биологических науках измеряемая величина редко бывает неизменной и стабильной, а наблюдаемые вариации могут быть, кроме того, присущи этому явлению: они могут быть следствием межиндивидуальной изменчивости , то есть отдельных членов популяции, отличающихся друг от друга. Также это может быть связано с внутрииндивидуальной изменчивостью , то есть у одного и того же испытуемого различаются тесты, взятые в разное время или в других различающихся условиях. Подобные типы изменчивости наблюдаются и в сфере производимой продукции; даже там дотошный ученый находит вариации.

Частичное упорядочение дисперсии

Разброс с сохранением среднего значения (MPS) — это переход от одного распределения вероятностей A к другому распределению вероятностей B, где B формируется путем расширения одной или нескольких частей функции плотности вероятности A, при этом среднее значение (ожидаемое значение) остается неизменным. ^[5] Концепция разброса, сохраняющего среднее значение, обеспечивает частичное упорядочение распределений вероятностей в соответствии с их дисперсиями: из двух распределений вероятностей одно может быть причислено к имеющему большую дисперсию, чем другое, или, альтернативно, ни одно из них не может быть причислено к имеющим большую дисперсию. .

Смотрите также

• Средний
• Круговая дисперсия
• Матрица дисперсии
• Функция плотности вероятности
• Качественная вариация
• Погрешность измерения
• Точность (статистика)
• Надежные меры масштаба
• Сводные статистические данные

Рекомендации

1. Электронный справочник NIST/SEMATECH по статистическим методам. «1.3.6.4. Параметры местоположения и масштаба». www.itl.nist.gov . Министерство торговли США.
2. "Отклонение Аллана - Обзор Дэвида В. Аллана" . www.allanstime.com . Проверено 16 сентября 2021 г.
3. "Отклонение Адамара" . www.wriley.com . Проверено 16 сентября 2021 г.
4. МакКуорри, Дональд А. (1976). Статистическая механика . Нью-Йорк: Харпер и Роу. ISBN 0-06-044366-9.
5. Ротшильд, Майкл; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышающийся риск I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. дои : 10.1016/0022-0531(70)90038-4.