Изотоксальная фигура

Многогранник или замощение с одним типом ребра

В геометрии многогранник (например, многоугольник или многогранник ) или тайлинг является изотоксальным (от греческого τόξον  'дуга') или реберно-транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его ребрах . Неформально это означает, что у объекта есть только один тип ребра: для двух ребер существует перемещение , вращение и/или отражение , которое перемещает одно ребро к другому, оставляя область, занятую объектом, неизменной.

Изотоксальные полигоны

Изотоксальный многоугольник — это четный многоугольник, то есть равносторонний многоугольник , но не все равносторонние многоугольники являются изотоксальными. Двойники изотоксальных многоугольников являются изогональными многоугольниками . Изотоксальные -гоны центрально симметричны , поэтому также являются зоногонами . ${\displaystyle 4n}$

В общем, (неправильный) изотоксальный -гон имеет двугранную симметрию . Например, (неквадратный) ромб представляет собой изотоксальный « × -угольник» (четырехугольник) с симметрией. Все правильные -угольники (также с нечетным ) изотоксалы, имеющие двойной минимальный порядок симметрии: правильный -угольник имеет двугранную симметрию. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

Изотоксальный -угольник с внешним внутренним углом может обозначаться как Внутренний внутренний угол может быть меньше или больше, чем у выпуклых или вогнутых многоугольников соответственно. ${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle 180}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

Звездоугольник также может быть изотоксальным , что обозначается с и с наибольшим общим делителем, где ${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$ – число поворота или плотность . ^[1] Вогнутые внутренние вершины могут быть определены для If then «сводится» к соединению повернутых копий ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q<n/2.}$ ${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$ ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

Осторожность:

Вершины не всегда расположены так же, как вершины обычного , тогда как вершины обычного расположены так же, как вершины обычного. ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle \{n/q\}}$ ${\displaystyle \{n\}.}$

Можно определить набор «однородных» мозаик , на самом деле изогональных мозаик, использующих изотоксальные многоугольники в качестве менее симметричных граней, чем обычные.

Изотоксальные многогранники и мозаики

Правильные многогранники бывают изоэдральными (переходными по граням), изогональными (переходными по вершинам) и изотоксальными (переходными по ребрам).

Квазиправильные многогранники, такие как кубооктаэдр и икосододекаэдр , являются изогональными и изотоксальными, но не изоэдральными. Их двойники, в том числе ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр , изоэдральны и изотоксальны, но не изогональны.

Не каждый многогранник или двумерная мозаика , построенная из правильных многоугольников, является изотоксальной. Например, усеченный икосаэдр (знакомый нам футбольный мяч) не является изотоксическим, так как у него есть два типа ребер: шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник, и при симметрии твердого тела невозможно переместить ребро шестиугольника-шестиугольника на ребро шестиугольника-шестиугольника. край шестиугольника-пятиугольника.

Изотоксальный многогранник имеет одинаковый двугранный угол для всех ребер.

Двойственный выпуклому многограннику также является выпуклым многогранником. ^[2]

Двойственный невыпуклому многограннику также является невыпуклым многогранником. ^[2] (По контрасту.)

Двойник изотоксального многогранника также является изотоксальным многогранником. (См. статью Двойной многогранник .)

Существует девять выпуклых изотоксальных многогранников: пять ( правильных ) Платоновых тел , два ( квазирегулярных ) общих ядра двойственных Платоновых тел и два их двойственных тела.

Существует четырнадцать невыпуклых изотоксальных многогранников: четыре (правильных) многогранника Кеплера-Пуансо , два (квазирегулярных) общих ядра двойственных многогранников Кеплера-Пуансо и два их двойственных многогранника, а также три квазиправильных дитригональных (3 | pq ) звездчатых многогранника. , и их три двойника.

Существует по крайней мере пять изотоксальных полиэдрических соединений: пять правильных многогранных соединений ; их пять двойников также являются пятью правильными многогранными соединениями (или одним хиральным двойником).

Существует не менее пяти изотоксальных многоугольных мозаик евклидовой плоскости и бесконечно много изотоксальных многоугольных мозаик гиперболической плоскости, включая конструкции Витхоффа из регулярных гиперболических мозаик { p , q } и неправых ( pqr ) групп.

Смотрите также

• Таблица двугранных углов многогранников
• Вершинно-транзитивный
• Лицо-переходное
• Клеточно-транзитивный

Рекомендации

1. Плитки и узоры , Бранко Грюнбаум, Г.К. Шепард, 1987, 2.5 Плитки с использованием звездчатых многоугольников, стр. 82–85.
2. "двойственность". maths.ac-noumea.nc . Проверено 30 сентября 2020 г.

• Питер Р. Кромвель, Многогранники , Издательство Кембриджского университета, 1997, ISBN 0-521-55432-2 , Транзитивность, стр. 371 
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(6.4 Изотоксальные мозаики, стр. 309–321)
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C, doi : 10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446, S2CID  202575 183