Сектор (инструмент)

Mathematical instrument consisting of two hinged rulers

Типичный английский сектор, вероятно, начала XIX века, изготовленный из слоновой кости с латунной петлей. На этой стороне имеются шкалы для линий линий (L), секущих (S), хорд (C) и многоугольников (POL), а также масштаб в десятые доли дюйма на внешних краях, образующих прямое 12-дюймовое правило , когда сектор полностью открыт, а по бокам отмечена шкала в сотые фута (на этом изображении едва видна).

Другая сторона того же сектора со шкалами для линии синусов (S) и двух линий касательных (T), а также логарифмическими шкалами Гюнтера для чисел (N), синусов (S) и тангенсов (T) на внешние края.

Сектор , также известный как правило сектора , пропорциональный компас или военный компас , был основным вычислительным инструментом , использовавшимся с конца шестнадцатого века до девятнадцатого века. Это инструмент, состоящий из двух линеек одинаковой длины, соединенных шарниром. На приборе нанесено несколько шкал, которые облегчают различные математические расчеты. Он использовался для решения задач на пропорции , умножение и деление , геометрию и тригонометрию , а также для вычисления различных математических функций, таких как квадратные корни и кубические корни . Его несколько масштабов позволяли легко и непосредственно решать задачи артиллерийского , топографического и навигационного дела . Сектор получил свое название от четвертого положения шестой книги Евклида , где показано, что у подобных треугольников равные стороны пропорциональны. Некоторые сектора также имели сектор , а иногда и зажим на конце одной ножки, что позволяло использовать устройство в качестве сектора наводчика .

История

De Fabrica et Usu Menti ad omnia horarum Genera Descriptionnda (1592 г.), где Джованни Паоло Галлуччи одним из первых описал этот сектор.

Клеман Сириак де Манжен, « Использование пропорций» , 1637 г.

Латунный сектор с разделителями, изготовленный, вероятно, в Дрездене около 1630 г.

Этот сектор был изобретен, по сути, одновременно и независимо несколькими разными людьми до начала 17 века.

Фабрицио Морденте (1532 – ок. 1608) был итальянским математиком, который наиболее известен своим изобретением «пропорционального восьмиконечного циркуля», который имеет два рычага с курсорами, которые позволяют решать задачи по измерению окружности, площади и углов циркуля. круг. В 1567 году он опубликовал в Венеции трактат на одном листе с иллюстрациями своего устройства. ^[1] В 1585 году Джордано Бруно использовал компас Морденте, чтобы опровергнуть гипотезу Аристотеля о несоизмеримости бесконечно малых величин, подтвердив тем самым существование «минимума», который лег в основу его собственной атомной теории. ^[2] Гвидобальдо дель Монте разработал «полиметрический компас» ок. 1670 г., включая шкалу для построения правильных многоугольников. Итальянский астроном Галилео Галилей добавил дополнительные шкалы в 1590-х годах и опубликовал книгу на эту тему в 1606 году. ^[3] Сектор Галилея сначала был разработан для военного применения, но превратился в вычислительный инструмент общего назначения.

Два самых ранних известных сектора в Англии были изготовлены Робертом Бекитом и Чарльзом Уитвеллом соответственно, оба датированы 1597 годом. Они очень похожи на описание устройства, данное в книге английского математика Томаса Худа 1598 года. ^[3] Описанный секторный «Худ» предназначался для использования в качестве геодезического инструмента и включал в себя прицелы и монтажное гнездо для крепления инструмента к столбу или столбу, а также дуговую шкалу и дополнительную выдвижную ножку. В 1600-х годах британский математик Эдмунд Гюнтер отказался от аксессуаров, но добавил дополнительные шкалы, в том числе линию меридиана с делениями, пропорциональными расстоянию между широтами вдоль меридиана в проекции Меркатора , ^[4] в частном порядке распространяя латинскую рукопись, объясняющую ее конструкцию и использование. . Гюнтер опубликовал это на английском языке под названием De Sectore et Radio в 1623 году.

сектор Галилея

Геометрический и военный компас Галилея, предположительно изготовленный ок. 1604 г., Маццолени

Рисунок, показывающий шкалы военного компаса Галилея, из его руководства по устройству.

Галилей впервые разработал свой сектор в начале 1590-х годов как инструмент для артиллеристов. К 1597 году он превратился в инструмент, имевший гораздо более широкое применение. Его можно использовать, например, для расчета площади любой плоской фигуры, состоящей из комбинации прямых линий и полукругов. Галилей был полон решимости усовершенствовать свой сектор, чтобы его можно было использовать для расчета площади любой формы, обсуждаемой в «Началах » Евклида . Для этого ему нужно было добавить возможность вычисления площади круговых сегментов . На решение этой проблемы у него ушло больше года. Инструмент, который мы знаем сегодня как сектор Галилея, представляет собой версию с этими дополнительными возможностями, которую он начал производить в 1599 году с помощью мастера инструментов Марка Антонио Маццолени . Галилей предоставил Маццолени и его семье комнату и питание и заплатил ему две трети продажной цены в 35 лир; Галилей брал 120 лир за курс обучения использованию этого инструмента, что составляло примерно половину годовой заработной платы квалифицированного мастера. ^[5] Большинство его клиентов были богатыми дворянами, в том числе эрцгерцогом Фердинандом , которому Галилей продал сектор из серебра. Всего их было сделано более ста, но сегодня известно, что существуют только три: одна в галерее Патнэма в Гарвардском университете , одна в Музее декоративного искусства в миланском Кастелло Сфорцеско и одна в Музее Галилея во Флоренции.

В своем руководстве 1606 года Галилей описал, как выполнить 32 различных расчета с сектором. ^[6] Во введении Галилей писал, что его целью при создании этого сектора было дать возможность людям, не изучавшим математику, выполнять сложные вычисления без необходимости знания связанных с ними математических деталей. Сектор использовался в сочетании с делителем, также называемым циркулем . Каждое плечо сектора было отмечено четырьмя линиями спереди и тремя сзади, а ось имела углубление, в которое можно было вставить острие разделителя. Линии и чешуйки на каждой руке были идентичны и расположены в том же порядке, в котором вы двигались от внутреннего края к внешнему, образуя таким образом семь пар линий. Все расчеты можно выполнить с помощью комбинации пяти очень простых шагов: измерения некоторой длины, расстояния или ширины объекта с помощью делителя; открытие рукавов сектора и установка поперечного расстояния между двумя соответствующими точками на паре линий разделителя; измерение поперечного расстояния между двумя соответствующими точками на паре линий после того, как сектор был установлен на некоторое расстояние; считывание значения с одной из шкал в точке, где поперечные расстояния соответствуют разделителю; и считывание значения со шкалы, где расстояние от оси соответствует разделителю. Галилей не описал, как были построены весы, он считал это коммерческой тайной, но детали можно предположить. Маркировка шкалы нанесена с точностью около 1%.

Арифметические строки

Самые внутренние шкалы прибора называются арифметическими линиями по причине их деления в арифметической прогрессии , то есть линейной шкалой. Сектор в музее Галилея отмечен цифрами от 16 до 260. ^[7] Если назвать длину от оси, то даны две отметки со значениями и отношения их длин пропорциональны отношениям чисел. В современных обозначениях: ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2},}$

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}},}$

Галилей описывает, как использовать эти масштабы для разделения линии на ряд равных частей, как измерить любую часть линии, как создать масштабированную версию фигуры или карты, как решить золотое правило Евклида (также называемое правилом из трех ), как конвертировать стоимость в одной валюте в стоимость в другой валюте и как рассчитать сложную стоимость инвестиций.

Например, процедура расчета сложной стоимости инвестиций выглядит следующим образом. Если первоначальные инвестиции составляют P0, установите делитель на расстояние от точки поворота до точки, отмеченной P0 на арифметических линиях. Откройте прибор и установите поперечное расстояние в точке 100–100 на арифметических линиях на только что измеренное расстояние до P0. Если процентная ставка за период составляет, скажем, 6%, то установите делитель на поперечное расстояние 106-106. Поместите разделитель на ось и посмотрите, где другой конец попадает на арифметические линии. Это стоимость инвестиций в конце первого периода. Теперь снова установите поперечное расстояние на 100-100 для текущего разделения делителя и повторите процедуру столько периодов, сколько необходимо.

Геометрические линии

Следующий набор линий называется геометрическими линиями , которые имеют масштаб от 1 до 50, с длиной, пропорциональной квадратному корню, и называются геометрическими, поскольку используются для нахождения среднего геометрического и работы с площадями плоских фигур. Если мы назовем длину от точки поворота , то: ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle {\frac {G_{1}}{G_{2}}}={\frac {\sqrt {n_{1}}}{\sqrt {n_{2}}}}}$

Галилей описывает, как использовать эти линии для масштабирования фигуры так, чтобы новая фигура имела заданное соотношение площадей к оригиналу, как измерить отношение площадей двух подобных фигур, как объединить набор подобных фигур в другую подобную фигуру так, чтобы полученная фигура имеет общую площадь набора, как построить аналогичную фигуру, площадь которой равна разнице площадей двух других подобных фигур, как найти квадратный корень из числа, как расположить N солдат в сетку где отношение строк к столбцам — это некоторая заданная величина и как найти среднее геометрическое двух чисел.

Например, процедура создания подобной фигуры, имеющей общую площадь набора подобных фигур, выглядит следующим образом: выберите сторону наибольшей фигуры и измерьте ее длину с помощью делителя. Откройте сектор и установите поперечное расстояние на каком-то промежуточном значении на геометрических линиях до разделения разделителя, подойдет любое число, скажем 20. Затем измерьте длину соответствующей стороны на каждой из остальных фигур и прочтите масштаб геометрической линии. значение, при котором поперечное расстояние соответствует этим длинам. Сложите все показания весов, включая 20, которые мы изначально установили. По комбинированному значению на геометрических линиях измерьте поперечное расстояние. Это будет длина стороны фигуры, имеющей общую площадь набора. Затем вы можете использовать арифметическую шкалу для масштабирования всех остальных сторон наибольшей соответствующей фигуры. Эта процедура будет работать для любой замкнутой фигуры, состоящей из прямых линий.

Процедура вычисления квадратного корня варьируется в зависимости от размера подкоренного выражения. Для «среднего» числа («в районе 5000») начните с измерения расстояния от оси вращения до точки, отмеченной цифрой 40 на арифметических линиях, и установки поперечного расстояния сектора на уровне 16–16 на геометрических линиях. на это расстояние. Затем возьмите полученное число и разделите его на 100, округлив до ближайшего целого числа. Так, например, 8679 становится 87. Если это число больше 50 (самое большое значение на шкале геометрических линий), то его необходимо уменьшить, в этом примере, возможно, разделить на 3, чтобы получить 29. Затем измерьте поперечное расстояние на геометрических линиях. в 29 это расстояние в арифметических строках соответствует. Поскольку наше число было уменьшено, чтобы уместиться в секторе, мы должны увеличить длину на. Мы можем выбрать любое удобное значение, например 10, установив поперечное расстояние сектора на 10 для разделения разделителя, а затем измерьте поперечное расстояние в точке 30 по геометрическим линиям, затем поместите разделитель напротив арифметических линий, чтобы измерить расстояние, достаточно близкое к ${\displaystyle {\sqrt {2900}}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {8700}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {8679}}}$

Процедура вычисления квадратного корня из «маленького» числа, числа «около 100», проще: мы не утруждаем себя делением на 100 вначале, а в остальном выполняем ту же процедуру. В конце разделите полученную оценку квадратного корня на 10. Для «больших» чисел («около 50 000») установите сектор крест-накрест в размере 10–10 на геометрических линиях на расстояние от центра до точки в 100 на геометрических линиях. арифметические строки. Разделите число на 1000 и округлите до ближайшего целого числа. Затем выполните аналогичную процедуру, как и раньше.

Галилей не дает никаких дальнейших указаний или уточнений. Знание того, какую процедуру использовать для данного числа, требует некоторого размышления и понимания распространения неопределенности .

Стереометрические линии

Стереометрические линии называются так потому, что относятся к стереометрии , геометрии трехмерных объектов. Масштаб отмечен цифрой 148, а расстояние от оси пропорционально кубическому корню. Если мы назовем длину , то ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{n_{1}}}{\sqrt[{3}]{n_{2}}}}}$

Эти линии действуют аналогично геометрическим линиям, за исключением того, что они имеют дело с объемами, а не с площадями.

Галилей описывает, как использовать эти линии для нахождения соответствующей длины стороны в подобном теле, если тело имеет заданное отношение объемов к исходному, как определить соотношение объемов двух подобных тел, зная длины пары соответствующих сторон, как найти длины сторон аналогичного тела, которое имеет общий объем набора других подобных тел, как найти кубический корень числа, как найти два промежуточных значения между двумя числами и такие , что и для заданного коэффициент масштабирования и как найти сторону куба, имеющую тот же объем, что и прямоугольный кубоид (коробка с квадратными углами). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n_{1}=rp}$ ${\displaystyle n_{2}=r^{2}p}$ ${\displaystyle q=r^{3}p}$ ${\displaystyle r}$

Чтобы возвести в куб прямоугольный кубоид со сторонами и свести его к вычислению, метод Галилея заключается в том, чтобы сначала использовать геометрические линии, чтобы найти среднее геометрическое двух сторон. Затем он измеряет расстояние вдоль арифметических линий до точки, отмеченной с помощью разделителя, и затем устанавливает сектор поперек этого расстояния в точке, отмеченной на стереометрических линиях, калибруя сектор так, чтобы расстояние от оси вращения до точки на стереометрических линиях представляло сторону куба с объемом кубоида со сторонами и He затем измеряет расстояние от точки поворота до точки, отмеченной на арифметических линиях, и смотрит, при каком значении на стереометрических линиях это расстояние подходит крест-накрест, умножая таким образом предыдущий результат на желаемый. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{abc}}.}$ ${\displaystyle g={\sqrt {ab}}.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{ab}},}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{abc}}}$

Процедура вычисления кубических корней аналогична процедуре вычисления квадратных корней, за исключением того, что она работает только для значений 1000 и более. Для «средних» чисел устанавливаем сектор крест-накрест на 64–64 на стереометрических линиях на расстояние от центра до точки, отмеченной цифрой 40 на арифметических линиях. Затем мы отбрасываем последние три цифры нашего числа, и если отброшенное число превышает 500, мы добавляем единицу к остатку. Мы измеряем поперечное расстояние на стереометрических линиях при значении остатка и помещаем его против арифметических линий, чтобы найти кубический корень. Наибольшее число, которое можно обработать без изменения масштаба, составляет 148 000. Для «больших» чисел мы устанавливаем сектор крест-накрест на 100–100 на стереометрических линиях на расстояние от точки поворота до точки 100 на арифметических линиях и вместо того, чтобы отбрасывать три цифры, отбрасываем четыре. Он может обрабатывать числа от 10 000 до 1 480 000 без изменения масштаба. Для практического использования вам следует использовать процедуру средних чисел для всех значений до 148 000, которые не находятся в пределах примерно 2% от кратного 10 000.

Металлические линии

Металлические линии , самая крайняя пара на лицевой стороне, отмечены символами «ORO» (от oro , золото ), PIO (от piombo , свинец ), «AR» (от argento, серебро), «RA» (от argento , серебро ), «RA» ( от piombo, свинец). rame , медь ), «FE» (для ферро , железа ), «ST» (для stagno , олова ), «MA» (для marmo , мрамора ) и «PIE» (для pietra , камня ). Эти символы расположены путем уменьшения удельного веса или плотности с расстоянием, пропорциональным обратному кубическому корню. Учитывая два материала плотности и если назвать длину от оси ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2},}$ ${\displaystyle M,}$

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{\rho _{2}}}{\sqrt[{3}]{\rho _{1}}}}}$

Соотношение длин в этой шкале пропорционально отношению диаметров двух шаров одинакового веса, но из разных материалов.

Эти строки представляли интерес для артиллеристов для решения проблемы «создания калибра», то есть как определить правильный пороховой заряд для ядра того или иного размера и материала, когда правильный заряд известен для ядра калибра разный размер и материал. Для этого вам нужно измерить диаметр ядра с известным зарядом и установить сектор крест-накрест на отметке материала этого ядра на металлических линиях до этого диаметра. Расстояние поперек типа материала второго ядра дает вам диаметр ядра из этого материала, который имеет тот же вес, что и первое ядро. Нам нужно стереометрически уменьшить эту длину до заданного диаметра второго шара, чтобы получить правильный заряд, поэтому мы устанавливаем поперечное расстояние на стереометрических линиях на уровне 100–100 к поперечному расстоянию, которое мы только что измерили от металлических линий, а затем Посмотрите, где поперечное расстояние на стереометрических линиях соответствует фактическому диаметру второго шара. Требуемый заряд тогда находится в соотношении показания этой шкалы к 100 по сравнению с шаром с известным зарядом. Затем вы можете использовать арифметические линии для масштабирования веса заряда в этом соотношении.

Полиграфические линии

Масштаб многоугольников на типичном секторе имеет линии, пропорциональные длине стороны правильного многоугольника из n сторон, вписанного в данную окружность. В конструкции сектора Галилея он инвертировал эту шкалу, чтобы числа увеличивались по мере удаления от шарнира и располагались более равномерно. Более поздние проекты как в Англии, так и в континентальной Европе вернулись к исходному многоугольному масштабу.

Полиграфические линии , самая внутренняя шкала на тыльной стороне прибора, обозначены цифрами от 3 до 15, а расстояние от оси обратно пропорционально длине стороны правильного многоугольника, стороны которого вписаны в данную окружность, или прямо пропорционально длине радиус описанной окружности правильного многоугольника со сторонами заданной длины. Если - длина в полиграфическом масштабе и представляет собой тригонометрическую длину хорды дуги окружности, измеренную в градусах, то ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {crd} }$

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{2}}}}{\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{1}}}}}.}$

Используя функциональные обозначения в терминах современной функции синуса ,

${\displaystyle P(n)={\frac {R}{2\sin {\dfrac {\pi }{n}}}}}$

где радиус описанной шестиугольника. Эти линии можно использовать для построения любого правильного многоугольника от трехстороннего равностороннего треугольника до 15-стороннего пятиугольника . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P(6)=R.}$

Галилей описывает, как использовать эти линии, чтобы найти радиус охватывающей окружности многоугольника из n сторон заданной длины или в другом направлении, как найти длину хорды , делящей окружность на части. Порядок нахождения радиуса охватывающей окружности следующий: Раскройте сектор и установите поперечное расстояние в точке 6–6 на полиграфических линиях до нужной длины стороны. Расстояние, измеренное поперек полиграфических линий, является радиусом охватывающего круга. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Четырехугольные линии

Четырехугольные линии отмечаются цифрами от 13 до 3 по мере удаления от точки поворота, а расстояние от точки поворота можно определить как , где расстояние от точки поворота до точки, отмеченной цифрой 3. На шкале имеется кружок. которая лежит почти посередине между 6 и 7. Название происходит от тетрагона (четырехугольника), так как основная цель этих линий — квадратура правильных многоугольников, то есть нахождение стороны квадрата, площадь которого равна заданному правильному многоугольнику. многоугольник. Их также можно использовать для квадратуры круга . ${\displaystyle L(n)=L_{t}{\sqrt {\frac {n}{{\sqrt {3}}\tan {\frac {180}{n}}}}}}$ ${\displaystyle L_{t}}$

Площадь правильного многоугольника со сторонами равна , где – длина стороны многоугольника. Радиус круга равной площади равен . Значение, при котором радиус круга равен длине стороны многоугольника, равно . Такого многоугольника, конечно, не существует, но это дает нам ориентир на Четырёхугольных Линиях, указанный круг, по которому легко крест-накрест отсчитать радиус круга, равного по площади многоугольнику со сторонами, если мы устанавливаем сектор на Тетрагонических линиях поперек длины стороны многоугольника. В этом случае квадратура круга выполняется просто с помощью . Чтобы возвести в квадрат многоугольник, все, что мы делаем, это устанавливаем сектор поперек равной длине стороны и измеряем поперек . Так же легко найти требуемые длины сторон для любых двух многоугольников одинаковой площади с разным числом сторон. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(n)=L^{2}{\frac {n}{4\tan {\frac {180}{n}}}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r=L{\frac {n}{4\pi \tan {\frac {180}{n}}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6.5437}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

Добавленные строки

Крайний набор линий на спине имеет двойную шкалу: внешнюю и внутреннюю. Внешняя шкала является линейной и изменяется от 18 до 0 по мере удаления от точки поворота, а нулевая точка отмечена ⌓, символом кругового сегмента . Эта нулевая точка составляет около 70% длины плеча. Также описано, что внутренняя шкала работает от 18 до 0, но сектор в Музее Галилея отмечен только от 17. Нулевая точка внутренней шкалы находится дальше на руке, на расстоянии где расстояние от точка поворота равна нулю на внешней шкале, а ноль отмечен маленьким квадратом. Ноль внешней шкалы находится рядом с точкой, отмеченной цифрой 6 на внутренней шкале. Внутренняя шкала на первый взгляд также кажется линейной, но расстояние между ее точками на самом деле определяется довольно сложной формулой, вывод из которой нам приходится делать, поскольку Галилей не описывает, как была построена эта шкала. Название этих линий происходит от того факта, что они были добавлены Галилеем к более ранней версии своего сектора. Эти линии используются для возведения в квадрат круглых сегментов, то есть для нахождения длины стороны квадрата, равной по площади сегменту окружности с заданной длиной и высотой хорды, при этом сегмент представляет собой не более полукруга. ${\textstyle {\sqrt {\pi /2}}L_{a}}$ ${\displaystyle L_{a}}$

Процедура возведения в квадрат кругового сегмента следующая. Измерьте половину длины хорды, . В средней точке хорды измерьте длину линии, перпендикулярной хорде до места пересечения окружности, высоту . Установите сектор крест-накрест на добавленных линиях в нуле внешней шкалы на длину полухорды, . Найдите точку на внешней шкале , где поперечное расстояние равно ; должно быть меньше или равно . Переместитесь к точке на внутренней шкале, которая также отмечена . Поперечное расстояние между точками nn на внутренней шкале есть длина стороны квадрата, равной по площади отрезку окружности. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

Чтобы увидеть, как это работает, мы начнем с того, что отметим (как видно на рисунке в виде кругового сегмента ), что площадь сегмента — это разница между площадью куска круга, определяемой тем местом, где хорда разрезает круг, и площадью сегмента. треугольник, образованный хордой и двумя радиусами, касающимися концов хорды. Основание треугольника имеет длину , а высота треугольника равна , поэтому площадь треугольника равна . Используя теорему Питогра , мы можем это показать . Площадь куска пирога равна части площади круга, покрытой углом . Ибо в радианах эта площадь равна , где – обратная функция синуса . Если мы определим , и , то площадь сегмента можно записать как . ${\displaystyle 2c}$ ${\displaystyle r-h}$ ${\displaystyle A_{t}=c(r-h)}$ ${\displaystyle r=(c^{2}+h^{2})/2h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A_{pie}=\theta /2r^{2}=r^{2}\arcsin(c/r)}$ ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle x=h/c}$ ${\displaystyle z=(1+x^{2})/2x}$ ${\displaystyle A_{seg}=c^{2}(z^{2}\arcsin 1/z-z+x)}$

Расстояние от оси вращения до точки, отмеченной на внешней шкале, равно расстоянию от оси вращения до нулевой точки внешней шкалы. Когда мы устанавливаем сектор поперек в нулевую точку и находим точку на внешней шкале, где поперечное расстояние равно , мы создаем пару подобных треугольников, которые разделяют угол, образованный плечами сектора в точке поворота, так что . Если мы установим расстояние точки от оси на внутренней шкале равным , с , и определим, как и раньше, то поперечное расстояние, измеренное на внутренней шкале, будет длиной стороны квадрата с площадью, равной площади отрезка. . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{outer}(n)=L_{a}(1-n/20)}$ ${\displaystyle L_{a}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h/c=1-n/20}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle L_{inner}(n)=L_{a}{\sqrt {z^{2}\arcsin 1/z-z+x}}}$ ${\displaystyle x=1-n/20}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$

Другое использование

Сектор имел отвес и съемный сектор , который, когда он был установлен, фиксировал рычаги под углом 90 ° друг к другу. Затем этот сектор можно было бы использовать для прицеливания и измерения расстояний с использованием триангуляции , а также для применения в геодезии и баллистике. Сектор также можно было использовать для легкого определения высоты пушки, вставив одну руку в ствол и считав высоту по месту расположения отвеса.

Примечания

1. Камерота, Филиппо (2012), «Морденте, Фабрицио», Биографический словарь итальянцев (на итальянском языке), том. 76 , получено 9 октября 2019 г.
2. Бруно, Джордано (1585), Figuratio Aristotelici Physici Auditus
3. Мескенс 1997, с. 146.
4. Гюнтер 1673, «Об использовании линии меридиана в навигации», стр. 99–140.
5. Труд, производительность, заработная плата в Италии 1270-1913 , Паоло Маланима, материалы конференции « На пути к глобальной истории цен и заработной платы» , 2004 г.
6. Галилей 1606 г.
7. Подробности масштаба можно прочитать на фотографиях, представленных на странице 88 в книге Беннетта, 2022 г.

Рекомендации

• Бион, Николас ; Стоун, Эдмунд (1758). Конструкция и основные виды использования математических инструментов (2-е изд.). Дж. Ричардсон.1-е английское издание, опубликованное Джоном Сенексом в 1723 году. Переработанный и расширенный английский перевод Биона, Николаса (1723) [1709]. Traité de la Construction et des Principaux Uses des Mathématique (на французском языке) (пересмотренное издание). П. Хассон и др.
• Дрейк, Стиллман (1976). «Галилей и первое механическое вычислительное устройство». Научный американец . 234 (4): 104–113. doi : 10.1038/scientificamerican0476-104. JSTOR  24950332.
• Фостер, Сэмюэл (1673). «Сектор изменился». Работы Эдмунда Гюнтера . Гюнтер , Эдмунд . Лейборн, Уильям (ред.). (5-е изд.). Фрэнсис Эглсфилд. стр. 157–194.
• Галилей, Галилей (1978) [1606]. Действия геометрического и военного компаса . Перевод Дрейка, Стиллмана . Вашингтон, округ Колумбия: Смитсоновский институт.Английский перевод Галилея, Галилео (1649 г.). Le Operazioni del Compasso Geometrico et Militare (на итальянском языке) (3-е изд.). Падуя: Паоло Фрамботто.
• Гюнтер, Эдмунд (1673). Лейборн, Уильям (ред.). Работы Эдмунда Гюнтера (5-е изд.). Фрэнсис Эглсфилд. стр. 1–156.Впервые опубликовано в «Описании и использовании сектора, крестового посоха и других инструментов» (1624, 1636).
• Керн, Ральф, Wissenschaftliche Instrumente in ihrer Zeit. Том 15. – 19. Ярхундерт . Verlag der Buchhandlung Walther König 2010, ISBN 978-3-86560-772-0 
• Мескенс, А. (1997). «Вклад Мишеля Куанье в развитие отрасли». Анналы науки . 54 (2): 143–160. дои : 10.1080/00033799700200501.
• Россини, Паоло (2019). «Новые теории для новых инструментов: пропорциональный компас Фабрицио Морденте и происхождение атомистической геометрии Джордано Бруно». Исследования по истории и философии науки А. 76 : 60–68. дои :10.1016/j.shpsa.2018.10.004.
• Уильямс, Майкл Р.; Томаш, Эрвин (2003). «Сектор: его история, масштабы и использование». IEEE Анналы истории вычислений . 25 (1): 34–47. дои : 10.1109/MAHC.2003.1179877.
• Каталог геодезических и сопутствующих инструментов , Джим Беннетт, Sillabe Srl, Ливорно, Италия, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9 

Внешние ссылки

• Пропорциональный компас или сектор и его история, Пространство искусства и науки Кочи .
• Цитаты из «Весов Галилейского сектора» из: «Геометрический и военный компас» Г. ​​Галилея (архив 2008 г.)
• Военный сектор Коула в архивах IBM
• Типичный сектор и как его использовать Кристофер Дж. Сэнгвин
• «Линейка и синусоидальная пластинка имеют общего предка», автор IMSAI Guy на YouTube
• «Экскурсия и руководство по сектору краснодеревщика», Брендан Бернхардт Гаффни, на YouTube
• «Сектор инструментов Acer-Ferrous Toolworks» на Red Rose Reproductions, включая несколько видеороликов, демонстрирующих использование этого сектора.