Вращающаяся система отсчета

Понятие в классической механике

Вращающаяся система отсчета — это частный случай неинерциальной системы отсчета , которая вращается относительно инерциальной системы отсчета . Повседневным примером вращающейся системы отсчета является поверхность Земли . (В этой статье рассматриваются только системы координат, вращающиеся вокруг фиксированной оси. Более общие сведения о вращениях см. в разделе « Углы Эйлера ».)

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть изображения) черный шар движется прямолинейно. Однако наблюдатель (красная точка), который стоит во вращающейся/неинерциальной системе отсчета (нижняя часть изображения), видит, что объект следует по искривленной траектории из-за сил Кориолиса и центробежных сил, присутствующих в этом кадре.

Фиктивные силы

Во всех неинерциальных системах отсчета действуют фиктивные силы ; вращающиеся системы отсчета характеризуются тремя: ^[1]

• центробежная сила ,
• сила Кориолиса ,

а для неравномерно вращающихся систем отсчета

• сила Эйлера .

Ученые во вращающейся коробке могут измерить скорость вращения и ось вращения , измеряя эти фиктивные силы. Например, Леон Фуко смог показать силу Кориолиса, возникающую в результате вращения Земли, с помощью маятника Фуко . Если бы Земля вращалась во много раз быстрее, эти фиктивные силы могли бы ощущаться людьми, как если бы они находились на вращающейся карусели .

Центробежная сила

В классической механике центробежная сила — это внешняя сила, связанная с вращением . Центробежная сила — одна из нескольких так называемых псевдосил (также известных как силы инерции ), названных так потому, что, в отличие от реальных сил , они не возникают во взаимодействиях с другими телами, расположенными в среде частицы, на которую они действуют. Вместо этого центробежная сила возникает в результате вращения системы отсчета, в которой проводятся наблюдения. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

сила Кориолиса

Математическое выражение силы Кориолиса появилось в статье французского учёного Гаспара-Гюстава Кориолиса 1835 года в связи с гидродинамикой , а также в приливных уравнениях Пьера -Симона Лапласа в 1778 году. В начале 20 века появился термин сила Кориолиса. для использования в связи с метеорологией .

Пожалуй, наиболее часто встречающейся вращающейся системой отсчета является Земля . Движущиеся объекты на поверхности Земли испытывают действие силы Кориолиса и отклоняются вправо в северном полушарии и влево в южном . Движение воздуха в атмосфере и воды в океане являются яркими примерами такого поведения: вместо того, чтобы течь напрямую из областей высокого давления в области низкого давления, как это было бы на невращающейся планете, ветры и течения имеют тенденцию течь вправо. в этом направлении к северу от экватора и левее этого направления к югу от экватора. Этот эффект отвечает за вращение крупных циклонов (см. Эффекты Кориолиса в метеорологии ).

сила Эйлера

В классической механике ускорение Эйлера ( названное в честь Леонарда Эйлера ), также известное как азимутальное ускорение ^[8] или поперечное ускорение ^[9] — это ускорение , которое появляется, когда для анализа движения используется неравномерно вращающаяся система отсчета и существует изменение угловой скорости оси системы отсчета . Эта статья ограничена системой отсчета, которая вращается вокруг фиксированной оси.

Сила Эйлера — это фиктивная сила , действующая на тело, которая связана с ускорением Эйлера соотношением F  =  m a , где a — ускорение Эйлера, а m — масса тела. ^{[10] [11]}

Связь вращающихся рамок со стационарными рамами

Ниже приводится вывод формул для ускорений, а также фиктивных сил во вращающейся системе отсчета. Оно начинается с связи между координатами частицы во вращающейся системе отсчета и ее координатами в инерциальной (неподвижной) системе отсчета. Затем, взяв производные по времени, выводятся формулы, связывающие скорость частицы, как видно на двух кадрах, и ускорение относительно каждого кадра. Используя эти ускорения, фиктивные силы идентифицируются путем сравнения второго закона Ньютона, сформулированного в двух разных системах координат.

Связь между позициями в двух кадрах

Чтобы получить эти фиктивные силы, полезно иметь возможность конвертировать координаты вращающейся системы отсчета в координаты инерциальной системы отсчета с тем же началом. ^{[примечание 1]} Если вращение происходит вокруг оси с постоянной угловой скоростью (так и что подразумевает некоторую константу где обозначает угол в -плоскости, образованный во времени и -осью ), и если две системы отсчета совпадают в точке время (имеется в виду , когда возьмем или какое-то другое целое число, кратное ), преобразование вращающихся координат в инерциальные координаты можно записать ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z'=z}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$ ${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

$${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$

$${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$

$${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$

$${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

Этот результат можно получить из матрицы вращения .

Введите единичные векторы , представляющие стандартные единичные базисные векторы во вращающейся системе отсчета. Далее находятся производные по времени этих единичных векторов. Предположим, что кадры выровнены по точке , а ось - это ось вращения. Тогда для вращения против часовой стрелки на угол : ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega t}$

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$

${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

Таким образом, производная по времени этих векторов, которые вращаются без изменения величины, равна

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$

векторного векторного произведения ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

Производные по времени в двух кадрах

Введем единичные векторы , которые теперь представляют стандартные единичные базисные векторы в общей вращающейся системе отсчета. При вращении они останутся нормализованными и перпендикулярными друг другу. Если они вращаются со скоростью около оси вдоль вектора вращения, то каждый единичный вектор вращающейся системы координат (например, или ) подчиняется следующему уравнению: ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle \Omega (t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$

${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$

If — векторная функция, записываемая как ^{[примечание 2]} ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$

произведения ): ^{[12] [13]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

Этот результат также известен как теорема переноса в аналитической динамике, а также иногда его называют основным кинематическим уравнением . ^[14]

Связь между скоростями в двух кадрах

Скорость объекта является производной по времени от положения объекта, поэтому

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

Производная по времени положения во вращающейся системе отсчета состоит из двух компонентов: один из явной зависимости от времени из-за движения самого объекта во вращающейся системе отсчета, а другой из-за собственного вращения системы отсчета. Применяя результат предыдущего подраздела к смещению, скорости в двух системах отсчета связаны уравнением ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

где нижний индекс означает инерциальную систему отсчета, а означает вращающуюся систему отсчета. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$

Связь между ускорениями в двух кадрах

Ускорение — это вторая производная по времени от положения или первая производная по времени от скорости.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

где нижний индекс означает инерциальную систему отсчета, вращающуюся систему отсчета, и где выражение, опять же, в выражении в квадратных скобках слева должно интерпретироваться как оператор , работающий с выражением в квадратных скобках справа. ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$

При , первые производные по времени внутри любой системы отсчета, выраженные относительно основы, например, инерциальной системы отсчета, совпадают. Проведение дифференцирований и перестановка некоторых членов дает ускорение относительно вращающейся системы отсчета: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

где – кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета, этот термин представляет собой центробежное ускорение , а этот термин – ускорение Кориолиса . Последний член , представляет собой ускорение Эйлера и равен нулю в равномерно вращающихся системах отсчета. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

Второй закон Ньютона в двух системах отсчета

Когда выражение ускорения умножается на массу частицы, три дополнительных члена в правой части приводят к фиктивным силам во вращающейся системе отсчета, то есть к кажущимся силам, возникающим в результате нахождения в неинерциальной системе отсчета. , а не от какого-либо физического взаимодействия между телами.

Используя второй закон движения Ньютона, получаем: ^{[1] [12] [13] [15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

• сила Кориолиса
  $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• центробежная сила
  $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• и сила Эйлера
  $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

где масса объекта, на который действуют эти фиктивные силы ? Обратите внимание, что все три силы исчезают, когда рама не вращается, то есть когда ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

Для полноты картины инерционное ускорение, вызванное действием внешних сил, можно определить из общей физической силы в инерциальной (невращающейся) системе отсчета (например, силы физических взаимодействий, таких как электромагнитные силы ), используя второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчета: ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

Другими словами, чтобы справиться с законами движения во вращающейся системе отсчета: ^{[16] [17] [18]}

Относитесь к фиктивным силам как к реальным силам и представьте, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.

-  Луи Н. Хэнд, Аналитическая механика Джанет Д. Финч , с. 267

Очевидно, что вращающаяся система отсчета является случаем неинерциальной системы отсчета. Таким образом, на частицу помимо реальной силы действует фиктивная сила... Частица будет двигаться согласно второму закону движения Ньютона, если полную силу, действующую на нее, принять как сумму реальной и фиктивной сил.

—  HS Hans & SP Pui: Механика ; п. 341

Это уравнение имеет точную форму второго закона Ньютона, за исключением того, что в дополнение к F , сумме всех сил, идентифицированных в инерциальной системе отсчета, справа есть дополнительный член... Это означает, что мы можем продолжать использовать второй закон Ньютона. в неинерциальной системе отсчета при условии , что мы согласны с тем, что в неинерциальной системе отсчета мы должны добавить дополнительный термин, подобный силе, часто называемый силой инерции .

-  Джон Р. Тейлор: Классическая механика ; п. 328

Использование в магнитном резонансе

Магнитный резонанс удобно рассматривать в системе отсчета, вращающейся с ларморовской частотой спинов. Это показано на анимации ниже. Также можно использовать приближение вращающейся волны .

Анимация, показывающая вращающуюся рамку. Красная стрелка — это спин в сфере Блоха , который прецессирует в лабораторной системе отсчета из-за статического магнитного поля. Во вращающейся системе отсчета вращение остается неподвижным до тех пор, пока резонансно колеблющееся магнитное поле не вызовет магнитный резонанс.

Смотрите также

• Абсолютное вращение
• Центробежная сила (вращающаяся система отсчета) Центробежная сила, если смотреть на системы, вращающиеся вокруг неподвижной оси.
• Механика движения плоской частицы. Фиктивные силы, проявляемые частицей, находящейся в плоском движении, с точки зрения самой частицы и наблюдателей в системе отсчета, вращающейся вместе.
• Сила Кориолиса Действие силы Кориолиса на Землю и другие вращающиеся системы
• Инерциальная система отсчета
• Неинерциальная рамка
• Фиктивная сила. Более общая трактовка предмета данной статьи.

Рекомендации

1. Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер. п. 130. ИСБН 978-0-387-96890-2.
2. Роберт Резник и Дэвид Холлидей (1966). Физика . Уайли. п. 121. ИСБН 0-471-34524-5.
3. Джеррольд Э. Марсден; Тудор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем. Спрингер. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х.
4. Джон Роберт Тейлор (2005). Классическая механика. Университетские научные книги. п. 343. ИСБН 1-891389-22-Х.
5. Стивен Т. Торнтон и Джерри Б. Мэрион (2004). «Глава 10». Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брук/Коул. ISBN 0-534-40896-6. ОСЛК  52806908.
6. Дэвид Макнотон. «Центробежные эффекты и эффекты Кориолиса» . Проверено 18 мая 2008 г.
7. Дэвид П. Стерн. «Системы отсчета: Центробежная сила» . Проверено 26 октября 2008 г.
8. Дэвид Морин (2008). Введение в классическую механику: с задачами и решениями . Издательство Кембриджского университета. п. 469. ИСБН 978-0-521-87622-3. ускорение азимутальное по Морену.
9. Грант Р. Фаулз и Джордж Л. Кэссидей (1999). Аналитическая механика (6-е изд.). Издательство Харкорт-колледжа. п. 178.
10. Ричард Х. Баттин (1999). Введение в математику и методы астродинамики. Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики . п. 102. ИСБН 1-56347-342-9.
11. Джеррольд Э. Марсден; Тудор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем. Спрингер. п. 251. ИСБН 0-387-98643-Х.
12. Корнелиус Ланцос (1986). Вариационные принципы механики (переиздание четвертого издания 1970 г.). Дуврские публикации . Глава 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
13. Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика. Университетские научные книги. п. 342. ИСБН 1-891389-22-Х.
14. Корлесс, Мартин. «Кинематика» (PDF) . Конспект курса аэромеханики I. Университет Пердью . п. 213. Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2012 года . Проверено 18 июля 2011 г.
15. Л.Д. Ландау и Л.М. Лифшиц (1976). Механика (Третье изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 128. ИСБН 978-0-7506-2896-9.
16. Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика. Издательство Кембриджского университета . п. 267. ИСБН 0-521-57572-9.
17. HS Hans & SP Pui (2003). Механика. Тата МакГроу-Хилл. п. 341. ИСБН 0-07-047360-9.
18. Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика. Университетские научные книги. п. 328. ИСБН 1-891389-22-Х.

1. То же самое относится и к функциям и времени. То, что эти системы отсчета имеют одно и то же происхождение, означает, что для всех тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x',y',z'}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x',y',z',}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(0,0,0)}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0).}$
2. То же самое относится и к координатам относительно вращающегося базисного вектора ( координаты относительно инерциальной системы отсчета не используются). Следовательно, в любой данный момент скорость изменения по отношению к этим вращающимся координатам равна Так, например, если и являются константами, то это всего лишь один из вращающихся базисных векторов и (как и ожидалось) его временная скорость изменения по отношению к эти вращающиеся координаты идентичны (поэтому формула, приведенная ниже, подразумевает, что производная во времени этого вращающегося базисного вектора равна ); однако скорость его изменения по отношению к невращающейся инерциальной системе отсчета не будет постоянной, за исключением (разумеется) случая, когда в инерциальной системе не движется (это происходит, например, когда ось вращения фиксируется как -ось (при условии стандартных координат) в инерциальной системе отсчета, а также или ). ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}.}$ ${\displaystyle f_{1}\equiv 1}$ ${\displaystyle f_{2}=f_{3}\equiv 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {i}}={\boldsymbol {\Omega }}(t)\times {\boldsymbol {i}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,1)}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\equiv (0,0,-1)}$

Внешние ссылки

• Анимационный клип, показывающий сцены, рассматриваемые как с инерциальной, так и с вращающейся системы отсчета, визуализируя Кориолиса и центробежные силы.