Время подъема

Время, необходимое сигналу для изменения до высокого значения

В электронике при описании функции скачка напряжения или тока время нарастания — это время, необходимое сигналу для изменения от заданного низкого значения до заданного высокого значения. ^[1] Эти значения могут быть выражены как отношения ^[2] или, что эквивалентно, как проценты ^[3] по отношению к заданному опорному значению. В аналоговой и цифровой электронике ^{[ требуется ссылка ]} эти проценты обычно составляют 10% и 90% (или, что эквивалентно, 0,1 и 0,9 ) высоты выходного скачка: ^[4] однако, обычно используются и другие значения. ^[5] Для приложений в теории управления, согласно Левину (1996, стр. 158), время нарастания определяется как « время, необходимое для того, чтобы отклик поднялся от x% до y% от его конечного значения », при этом время нарастания от 0% до 100% является обычным для систем второго порядка с недостаточным затуханием , от 5% до 95% для критически затухающих и от 10% до 90% для систем с избыточным затуханием . ^[6] Согласно Орвилеру (1969, стр. 22), термин «время нарастания» применяется как к положительному, так и к отрицательному ответу на шаг , даже если отображаемое отрицательное отклонение обычно называют временем спада . ^[7]

Обзор

Время нарастания является аналоговым параметром, имеющим основополагающее значение в высокоскоростной электронике , поскольку является мерой способности схемы реагировать на быстрые входные сигналы. ^[8] Было предпринято много попыток сократить время нарастания схем, генераторов и оборудования для измерения и передачи данных. Эти сокращения, как правило, вытекают из исследований более быстрых электронных устройств и из методов снижения параметров паразитных цепей (в основном емкостей и индуктивностей). Для приложений за пределами области высокоскоростной электроники иногда желательны большие (по сравнению с достижимым уровнем техники) времена нарастания: примерами являются затемнение света, где большее время нарастания приводит, помимо прочего, к более длительному сроку службы лампочки, или управление аналоговыми сигналами цифровыми с помощью аналогового переключателя , где большее время нарастания означает меньшее емкостное сквозное прохождение и, таким образом, меньший шум связи с контролируемыми аналоговыми сигнальными линиями.

Факторы, влияющие на время нарастания

Для заданного выходного сигнала системы его время нарастания зависит как от времени нарастания входного сигнала, так и от характеристик системы . [ ^9]

Например, значения времени нарастания в резистивной цепи в первую очередь обусловлены паразитной емкостью и индуктивностью . Поскольку каждая цепь имеет не только сопротивление , но также емкость и индуктивность , задержка напряжения и/или тока на нагрузке очевидна до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние . В чистой RC-цепи время нарастания выходного сигнала (от 10% до 90%) приблизительно равно 2,2 RC . ^[10]

Альтернативные определения

Иногда используются и другие определения времени нарастания, помимо того, которое дано Федеральным стандартом 1037C (1997, стр. R-22) и его небольшого обобщения, данного Левином (1996, стр. 158): ^[11] эти альтернативные определения отличаются от стандарта не только для рассматриваемых опорных уровней. Например, иногда используется временной интервал, графически соответствующий точкам пересечения касательной, проведенной через точку 50% ступенчатой ​​функции отклика. ^[12] Другое определение, введенное Элмором (1948, стр. 57), ^[13] использует понятия из статистики и теории вероятностей . Рассматривая ступенчатую реакцию V ( t ) , он переопределяет время задержки t _D как первый момент ее первой производной V′ ( t ) , т. е.

${\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.}$

Наконец, он определяет время нарастания t _r, используя второй момент

${\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}}$

Время нарастания модельных систем

Обозначение

Здесь перечислены все обозначения и допущения, необходимые для анализа.

• Следуя Левину (1996, стр. 158, 2011, 9-3 (313)), мы определяем x% как процентное нижнее значение, а y% — процентное верхнее значение относительно опорного значения сигнала, время нарастания которого необходимо оценить.
• t ₁ — это время, в которое выходной сигнал анализируемой системы находится на уровне x% от установившегося значения, а t _{2 —} это время, в которое выходной сигнал находится на уровне y% , оба значения измеряются в секундах .
• t _r — время нарастания анализируемой системы, измеряемое в секундах. По определению, $${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$$
• f _L — нижняя частота среза (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеряемая в герцах .
• f _H — верхняя граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеряемая в герцах.
• h ( t ) — импульсная характеристика анализируемой системы во временной области.
• H ( ω ) — частотная характеристика анализируемой системы в частотной области.
• Ширина полосы определяется как и поскольку нижняя частота среза f _L обычно на несколько десятков градусов ниже верхней частоты среза f _H , $${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}}$$ $${\displaystyle BW\cong f_{H}}$$
• Все проанализированные здесь системы имеют частотную характеристику, которая простирается до 0 (системы нижних частот), то есть точно. $${\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}$$
• Для простоты все системы, проанализированные в разделе «Простые примеры расчета времени нарастания», представляют собой электрические сети с единичным коэффициентом усиления , а все сигналы рассматриваются как напряжения : входной сигнал представляет собой ступенчатую функцию V 0 _вольт , и это подразумевает, что $${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}$$
• ζ — коэффициент затухания , а ω ₀ — собственная частота данной системы второго порядка .

Простые примеры расчета времени нарастания

Целью данного раздела является расчет времени нарастания переходной характеристики для некоторых простых систем:

Гауссова система отклика

Говорят, что система имеет гауссову характеристику , если она характеризуется следующей частотной характеристикой:

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

где σ > 0 — константа, ^[14] связанная с верхней частотой среза следующим соотношением:

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

Даже если этот вид частотной характеристики не реализуется каузальным фильтром , ^[15] его полезность заключается в том, что поведение каскадного соединения фильтров нижних частот первого порядка приближается к поведению этой системы все ближе, поскольку число каскадных каскадов асимптотически возрастает до бесконечности . ^[16] Соответствующая импульсная характеристика может быть рассчитана с использованием обратного преобразования Фурье показанной частотной характеристики.

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

Применяя непосредственно определение переходного процесса ,

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

Чтобы определить время нарастания системы от 10% до 90%, необходимо решить относительно времени два следующих уравнения:

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

Используя известные свойства функции ошибок , находим значение t = − t ₁ = t _{2 : поскольку} t _r = t ₂ - t ₁ = 2 t ,

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

и наконец

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^[17]

Однокаскадная RC-цепочка нижних частот

Для простой однокаскадной RC-цепи нижних частот ^[18] время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени цепи τ = RC :

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }$

Константу пропорциональности можно вывести из знания реакции сети на единичный ступенчатый входной сигнал амплитудой V ₀ :

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

Решение на время

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

и наконец,

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

Так как t ₁ и t ₂ таковы, что

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

Решая эти уравнения, находим аналитическое выражение для t ₁ и t ₂ :

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}$

Время нарастания, таким образом, пропорционально постоянной времени: ^[19]

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

Теперь, отметив, что

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^[20]

затем

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

и поскольку верхняя частота среза равна ширине полосы пропускания,

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^[17]

Наконец, обратите внимание, что если вместо этого рассматривать время нарастания от 20% до 80%, то t _r становится:

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

Однокаскадная низкочастотная LR-сеть

Даже для простой однокаскадной низкочастотной RL-сети время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = L ⁄ R. Формальное доказательство этого утверждения происходит точно так же, как показано в предыдущем разделе: единственное различие между окончательными выражениями для времени нарастания обусловлено различием в выражениях для постоянной времени τ двух различных цепей, что приводит в данном случае к следующему результату

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

Время нарастания затухающих систем второго порядка

Согласно Левину (1996, стр. 158), для систем с недостаточным затуханием, используемых в теории управления, время нарастания обычно определяется как время, необходимое волне для перехода от 0% до 100% от ее конечного значения: ^[6] соответственно, время нарастания от 0 до 100% системы 2-го порядка с недостаточным затуханием имеет следующий вид: ^[21]

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

Квадратичная аппроксимация для нормализованного времени нарастания для системы 2-го порядка, реакция на скачок , без нулей:

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12}$

где ζ — коэффициент затухания , а ω ₀ — собственная частота сети.

Время нарастания каскадных блоков

Рассмотрим систему, состоящую из n каскадно соединенных невзаимодействующих блоков, каждый из которых имеет время нарастания t _{r i} , i = 1,…, n , и не имеет перерегулирования в своей реакции на скачок : предположим также, что входной сигнал первого блока имеет время нарастания, значение которого равно t _{r S} . ^[22] После этого его выходной сигнал имеет время нарастания t _{r 0} , равное

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

Согласно Valley & Wallman (1948, стр. 77–78), этот результат является следствием центральной предельной теоремы и был доказан Wallman (1950): ^{[23] [24]} однако подробный анализ проблемы представлен Petitt & McWhorter (1961, §4–9, стр. 107–115), ^[25] которые также отдают должное Elmore (1948) как первому, кто доказал предыдущую формулу на довольно строгой основе. ^[26]

Смотрите также

• Осеннее время
• Частотная характеристика
• Импульсный ответ
• Реакция на шаг
• Время установления

Примечания

1. "время нарастания", Федеральный стандарт 1037C , 7 августа 1996 г.
2. См., например, (Cherry & Hooper 1968, стр. 6 и стр. 306), (Millman & Taub 1965, стр. 44) и (Nise 2011, стр. 167).
3. См., например, Levine (1996, стр. 158), (Ogata 2010, стр. 170) и (Valley & Wallman 1948, стр. 72).
4. См., например, (Cherry & Hooper 1968, стр. 6 и стр. 306), (Millman & Taub 1965, стр. 44) и (Valley & Wallman 1948, стр. 72).
5. Например, Вэлли и Уоллман (1948, стр. 72, сноска 1) утверждают, что « Для некоторых приложений желательно измерять время нарастания между точками 5 и 95 процентов или между точками 1 и 99 процентов ».
6. Точнее, Левин (1996, стр. 158) утверждает: « Время нарастания — это время, необходимое для того, чтобы отклик поднялся от x% до y% от его конечного значения. Для сверхдемпфированных систем второго порядка обычно используется время нарастания от 0% до 100%, а для недостаточно демпфированных систем (...) обычно используется время нарастания от 10% до 90% ». Однако это утверждение неверно, поскольку время нарастания от 0% до 100% для сверхдемпфированной системы управления второго порядка бесконечно, подобно тому, как это происходит в RC-цепи: это утверждение повторяется также во втором издании книги (Левин 2011, стр. 9-3 (313)).
7. Опять же по Орвилеру (1969, стр. 22).
8. Согласно Valley & Wallman (1948, стр. 72), « Наиболее важными характеристиками воспроизведения переднего фронта прямоугольного импульса или ступенчатой ​​функции являются время нарастания, обычно измеряемое от 10 до 90 процентов, и «перерегулирование » » . А согласно Cherry & Hooper (1968, стр. 306), « Двумя наиболее значимыми параметрами в отклике усилителя на прямоугольную волну являются его время нарастания и процент наклона ».
9. См. (Orwiler 1969, стр. 27–29) и раздел «Время нарастания каскадных блоков».
10. См., например, (Valley & Wallman 1948, стр. 73), (Orwiler 1969, стр. 22 и стр. 30) или раздел «Однокаскадная RC-цепь нижних частот».
11. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 72, сноска 1) и (Elmore 1948, стр. 56).
12. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 72, сноска 1) и (Elmore 1948, стр. 56 и стр. 57, рис. 2a).
13. См. также (Петитт и МакВортер, 1961, стр. 109–111).
14. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 724) и (Petitt & McWhorter 1961, стр. 122).
15. По критерию Пейли-Винера : см., например (Valley & Wallman 1948, стр. 721 и стр. 724). Также Petitt & McWhorter (1961, стр. 122) кратко напоминают об этом факте.
16. См. (Valley & Wallman 1948, стр. 724), (Petitt & McWhorter 1961, стр. 111, включая сноску 1 и стр.) и (Orwiler 1969, стр. 30).
17. Сравните с (Orwiler 1969, стр. 30).
18. Называется также « однополюсным фильтром ». См. (Cherry & Hooper 1968, стр. 639).
19. Сравните с (Valley & Wallman 1948, стр. 72, формула (2)), (Cherry & Hooper 1968, стр. 639, формула (13.3)) или (Orwiler 1969, стр. 22 и стр. 30).
20. Формальное доказательство этого соотношения см. в разделе « Связь постоянной времени и полосы пропускания » статьи « Постоянная времени ».
21. См. (Огата 2010, стр. 171).
22. « S » означает «источник», следует понимать как источник тока или напряжения .
23. Эта прекрасная одностраничная статья не содержит никаких вычислений. Генри Уоллман просто создает таблицу, которую он называет « словарем », сопоставляя понятия из электронной инженерии и теории вероятностей : ключом к процессу является использование преобразования Лапласа . Затем он отмечает, следуя соответствию понятий, установленных «словарем » , что реакция каскада блоков на скачок соответствует центральной предельной теореме и утверждает, что: «Это имеет важные практические последствия, среди которых тот факт, что если сеть свободна от перерегулирования, ее время отклика неизбежно быстро увеличивается при каскадировании, а именно как квадратный корень из числа каскадированных сетей» (Уоллман 1950, стр. 91).
24. См. также (Cherry & Hooper 1968, стр. 656) и (Orwiler 1969, стр. 27–28).
25. Цитируется по (Cherry & Hooper 1968, стр. 656).
26. См. (Петитт и МакВортер, 1961, стр. 109).

Ссылки

• Черри, Э.М.; Хупер, Д.Э. (1968), Усилительные устройства и проектирование усилителей нижних частот , Нью-Йорк–Лондон– Сидней : John Wiley & Sons , стр. xxxii+1036.
• Элмор, Уильям К. (январь 1948 г.), «Переходная характеристика затухающих линейных цепей с особым учетом широкополосных усилителей», Журнал прикладной физики , 19 (1): 55–63, Bibcode : 1948JAP....19...55E, doi : 10.1063/1.1697872.
• Левин, Уильям С. (1996), Справочник по контролю , Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. xvi+1548, ISBN 0-8493-8570-9.
• Левин, Уильям С. (2011) [1996], Справочник по управлению: Основы систем управления (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. xx+766, ISBN 978-1-4200-7362-1.
• Миллман, Якоб; Тауб, Герберт (1965), Импульсные, цифровые и коммутационные формы сигналов , Нью-Йорк – Сент-Луис – Сан-Франциско – Торонто – Лондон – Сидней : McGraw-Hill , стр. xiv+958.
• Национальное подразделение систем связи, технологий и стандартов (1 марта 1997 г.), Федеральный стандарт 1037C. Телекоммуникации: Глоссарий терминов по телекоммуникациям , FSC TELE, т. FED–STD–1037, Вашингтон: Служба информационных технологий Администрации общих служб, стр. 488.
• Nise, Norman S. (2011), Control Systems Engineering (6-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. xviii+928, ISBN 978-0470-91769-5.
• Огата, Кацухико (2010) [1970], Современная техника управления (5-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси : Prentice Hall , стр. x+894, ISBN 978-0-13-615673-4.
• Орвилер, Боб (декабрь 1969 г.), Схемы вертикальных усилителей (PDF) , Концепции схем, т. 062-1145-00 (1-е изд.), Бивертон, штат Орегон : Tektronix , стр. 461.
• Petitt, Joseph Mayo ; McWhorter, Malcolm Myers (1961), Схемы электронных усилителей. Теория и проектирование , McGraw-Hill Electrical and Electronics Series, Нью-Йорк–Торонто–Лондон: McGraw-Hill , стр. xiii+325.
• Валли, Джордж Э. младший; Уоллман, Генри (1948), "§2 главы 2 и §1–7 главы 7", Усилители на электронных лампах , Массачусетский технологический институт, серия Radiation Laboratory, т. 18, Нью-Йорк : McGraw-Hill ., стр. xvii+743.
• Wallman, Henry (1950), «Переходная реакция и центральная предельная теорема вероятности», в Taub, AH (ред.), Electromagnetic Theory (Массачусетский технологический институт, 29–31 июля 1948 г.) , Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, т. 2, Providence : American Mathematical Society ., стр. 91, MR  0034250, Zbl  0035.08102.