электронное складывание

В науке e -folding — это временной интервал, в течение которого экспоненциально растущая величина увеличивается в e- раз ; ^[1] это аналог удвоения времени по основанию e . Этот термин часто используется во многих областях науки , таких как химия атмосферы , медицина и теоретическая физика , особенно при исследовании космической инфляции . Физики и химики часто говорят о шкале времени e -folding , которая определяется собственным временем, в течение которого длина участка пространства или пространства-времени увеличивается в e -раз, упомянутом выше.

В финансах логарифмическая доходность или непрерывно начисляемая доходность , также известная как сила процентов , является величиной, обратной времени сложения .

Термин время e -свертки также иногда используется аналогичным образом в случае экспоненциального распада , чтобы обозначить шкалу времени, в течение которой величина уменьшается до 1/ e от своего предыдущего значения.

Процесс перехода к равновесию часто характеризуется временной шкалой, называемой временем e -свертки,  τ . Это время используется для процессов, которые экспоненциально развиваются к конечному состоянию (равновесию). Другими словами, если мы рассмотрим наблюдаемую величину X , связанную с системой ( например, температуру или плотность ), то через некоторое время τ начальная разница между начальным значением наблюдаемой величины и равновесным значением Δ X _i уменьшится до Δ X _i  / e , где число e ≈ 2,71828 .

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{d}}{\ln(2)}}={\frac {t}{\ln({N(t)}/{N(0)})}}={\frac {t}{\ln(1+r/100)}}}$

• Время складывания Т _- образной формы
• N ( t ) количество в момент времени t
• N (0) начальная сумма
• T _d время удвоения
• ln(2) ≈ 0,693 натуральный логарифм 2
• r % темп роста во времени t

Пример жизни каке-время складывания

Концепция времени e -фолдинга может быть использована в анализе кинетики . Рассмотрим химический вид A, который распадается на другой химический вид B. Мы могли бы изобразить это в виде уравнения:

${\displaystyle {\rm {A}}\rightarrow {\rm {B}}}$

Предположим, что эта реакция следует кинетике первого порядка, что означает, что превращение A в B зависит только от концентрации A и константы скорости , которая определяет скорость, с которой это происходит,  k . Мы могли бы написать следующую реакцию, чтобы описать этот кинетический процесс первого порядка:

${\displaystyle {\frac {d[{\rm {A}}]}{dt}}=-k[{\rm {A}}]}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение утверждает, что изменение (в данном случае исчезновение) концентрации A, d [A]/ dt , равно константе скорости k, умноженной на концентрацию A. Рассмотрим, какими будут единицы k . С левой стороны у нас есть концентрация, деленная на единицу времени. Единицы для k должны позволять им быть воспроизведенными с правой стороны. По этой причине единицы k здесь будут 1/время.

Поскольку это линейное , однородное и разделимое дифференциальное уравнение, мы можем разделить члены таким образом, что уравнение примет вид:

${\displaystyle {\frac {d[{\rm {A}}]}{[{\rm {A}}]}}=-k\,dt}$

Затем мы можем интегрировать обе части этого уравнения, что приводит к включению константы e :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{[{\rm {A}}]_{i}}^{[{\rm {A}}]_{f}}{\frac {d[{\rm {A}}]}{[{\rm {A}}]}}=\int _{t=0}^{t}-k\,dt\\[6pt]&\ln[{\rm {A}}]_{f}-\ln[{\rm {A}}]_{i}=-kt-k(0)\\[6pt]&\ln {\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=-kt\\[6pt]&{\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-kt}\end{aligned}}}$

где [A] _f и [A] _i — конечная и начальная концентрации A. Сравнивая соотношение в левой части с уравнением в правой части, мы приходим к выводу, что соотношение между конечной и начальной концентрациями следует экспоненциальной функции, основанием которой является e .

Как упоминалось выше, единицами для k являются обратное время. Если бы мы взяли обратную величину этого, у нас остались бы единицы времени. По этой причине мы часто заявляем, что продолжительность жизни вида, который подвергается распаду первого порядка, равна обратной величине k . Теперь рассмотрим, что произойдет, если мы установим время t как обратную величину константы скорости k , то есть t  = 1/ k . Это даст

${\displaystyle {\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-k\left({\frac {1}{k}}\right)}=e^{-1}={\frac {1}{e}}\approx 0.37}$

Это говорит о том, что после одного времени жизни (1/ k ) отношение конечной концентрации к начальной равно примерно 0,37. Другими словами, после одного времени жизни мы имеем

${\displaystyle {\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}\approx {\frac {37}{100}}=37\%}$

что означает, что мы потеряли (1 − 0,37 = 0,63) 63% A, и осталось только 37%. Теперь мы знаем, что если у нас прошла 1 жизнь, мы прошли 1 "e-folding". Как будут выглядеть 2 "e-folding"? После двух жизней у нас будет t = 1/ k + 1/ k = 2/ k , что приведет к

${\displaystyle {\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-k\left({\frac {2}{k}}\right)}=e^{-2}={\frac {1}{e^{2}}}\approx 0.14=14\%}$

что говорит о том, что осталось только около 14% A. Именно таким образом e -сворачивание дает нам простой способ описания количества прошедших жизней. После 1 жизни у нас остается 1/ e . После 2 жизней у нас остается 1/ e ^2. Таким образом, одно время жизни равно одному e -сворачиванию, что является наиболее наглядным способом описания распада.

Смотрите также

• Время удвоения

Ссылки

1. "Требуется объяснение E-folding". Форумы физики: обсуждение науки, помощь с домашним заданием, статьи . 2013-02-27 . Получено 2023-12-19 .