Время удвоения

Время, необходимое для удвоения количества

Время удвоения — это время, необходимое для удвоения численности/стоимости населения. Оно применяется к росту населения , инфляции , добыче ресурсов , потреблению товаров, сложным процентам , объему злокачественных опухолей и многим другим вещам, которые имеют тенденцию расти с течением времени. Когда относительная скорость роста (не абсолютная скорость роста) постоянна, величина претерпевает экспоненциальный рост и имеет постоянное время или период удвоения, который можно рассчитать непосредственно из скорости роста.

Это время можно рассчитать, разделив натуральный логарифм 2 на показатель роста или приблизительно разделив 70 на процентную скорость роста ^[1] (более грубо, но округленно, разделив 72; подробности и выводы этой формулы см. в правиле 72 ).

Время удвоения является характерной единицей (естественной единицей масштаба) для уравнения экспоненциального роста, а его обратная величина для экспоненциального распада — периодом полураспада .

Например, чистый прирост населения Канады составил 2,7 процента в 2022 году, разделив 72 на 2,7, получим приблизительное время удвоения около 27 лет. Таким образом, если бы этот темп роста оставался постоянным, население Канады удвоилось бы с показателя 2023 года около 39 миллионов до около 78 миллионов к 2050 году. ^[2]

История

Понятие удвоения времени восходит к процентам по займам в вавилонской математике . Глиняные таблички примерно 2000 г. до н. э. включают упражнение «При процентной ставке 1/60 в месяц (без сложных процентов) наступает время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20%, и, следовательно, время удвоения 100% роста/20% роста в год = 5 лет. ^{[3] [4]} Кроме того, погашение двойной первоначальной суммы займа по истечении фиксированного времени было обычной коммерческой практикой того периода: обычный ассирийский заем 1900 г. до н. э. состоял из ссуды 2 мин золота с возвратом 4 через пять лет, ^[3] а египетская пословица того времени гласила: «Если богатство поместить туда, где оно приносит проценты, оно вернется к тебе в удвоенном размере». ^{[3] [5]}

Экзамен

Изучение времени удвоения может дать более интуитивное представление о долгосрочном влиянии роста, чем просто просмотр процентного темпа роста.

При постоянном темпе роста r  % в течение времени t формула для времени удвоения T _d   имеет вид

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {\ln(2)}{\ln(1+{\frac {r}{100}})}}}$

Общее практическое правило можно вывести, разложив знаменатель в ряд Тейлора ln(1+x) при x=0, используя и игнорируя члены более высокого порядка. ${\displaystyle ln(1+x)\approx x}$

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {ln{2}}{\frac {r}{100}}}=t{\frac {100*ln{2}}{r}}}$

${\displaystyle \approx t{\frac {69.3}{r}}\approx t{\frac {70}{r}}}$

Это «Правило 70» дает точное время удвоения с точностью до 10% для темпов роста менее 25% и в пределах 20% для темпов менее 60%. Более высокие темпы роста приводят к тому, что правило занижает время удвоения на большую величину.

Некоторые времена удвоения, рассчитанные по этой формуле, показаны в этой таблице.

Простая формула времени удвоения:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{t/T_{d}}}$

где

• N ( t ) = количество объектов в момент времени t
• T _d = период удвоения (время, необходимое для удвоения количества объектов)
• N ₀ = начальное количество объектов
• т = время

Например, при годовом темпе роста 4,8% время удвоения составляет 14,78 лет, а время удвоения 10 лет соответствует темпу роста от 7% до 7,5% (фактически около 7,18%).

Применительно к постоянному росту потребления ресурса, общее количество, потребленное за один период удвоения, равно общему количеству, потребленному за все предыдущие периоды. Это позволило президенту США Джимми Картеру отметить в своей речи в 1977 году, что в каждом из предыдущих двух десятилетий мир использовал больше нефти, чем за всю предыдущую историю (примерно экспоненциальный рост мирового потребления нефти между 1950 и 1970 годами имел период удвоения менее десятилетия).

Учитывая два измерения растущей величины, q ₁ в момент времени t ₁ и q ₂ в момент времени t ₂ , и предполагая постоянную скорость роста, время удвоения можно рассчитать как

${\displaystyle T_{d}=(t_{2}-t_{1})\cdot {\frac {\ln(2)}{\ln({\frac {q_{2}}{q_{1}}})}}.}$

Связанные концепции

Эквивалентным понятием времени удвоения для материала, претерпевающего постоянную отрицательную относительную скорость роста или экспоненциальный распад, является период полураспада .

Эквивалентная концепция в системе счисления с основанием e — e - сложение .

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их приближения 70/ t и 72/ t . В версии SVG наведите курсор на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Время удвоения клеточной культуры

Время удвоения клеток можно рассчитать следующим образом, используя скорость роста (количество удвоений за единицу времени):

Темпы роста:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{rt}}$

или

${\displaystyle r={\frac {\ln \left(N(t)/N_{0}\right)}{t}}}$

где

• ${\displaystyle N(t)}$= количество клеток в момент времени t
• ${\displaystyle N_{0}}$= количество ячеек в момент времени 0
• ${\displaystyle r}$= темп роста
• ${\displaystyle t}$= время (обычно в часах)

Время удвоения:

${\displaystyle {\text{doubling time}}={\frac {\ln(2)}{\text{growth rate}}}}$

Ниже приведено известное время удвоения для следующих клеток:

Смотрите также

• Альберт Аллен Бартлетт
• Двоичный логарифм
• электронная фальцовка
• Экспоненциальный распад
• Экспоненциальный рост
• Период полураспада
• Относительный темп роста
• Правило 72-х

Ссылки

1. Донелла Медоуз , Системное мышление: учебник для начинающих , Chelsea Green Publishing , 2008, стр. 33 (врезка «Совет по усилению циклов обратной связи и удвоению времени»).
2. "The Daily — Оценка численности населения Канады: рекордно высокий прирост населения в 2022 году". 22 марта 2023 г.
3. Почему «чудо сложных процентов» приводит к финансовым кризисам, Майкл Хадсон
4. Мы привлекли ваш интерес? Джон Х. Уэбб
5. Мириам Лихтхайм , Древнеегипетская литература , II:135.
6. "Life Technologies" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-02 . Получено 2015-03-12 .
7. Bearzi, Claudia; et al. (август 2007 г.). "Человеческие сердечные стволовые клетки". Труды Национальной академии наук . 104 (35): 14068–14073. Bibcode : 2007PNAS..10414068B. doi : 10.1073/pnas.0706760104 . PMC 1955818. PMID  17709737 . 

Внешние ссылки

• Калькулятор времени удвоения
• http://geography.about.com/od/populationgeography/a/populationgrow.htm Архивировано 28.08.2006 на Wayback Machine