Правило 72-х

Методы оценки времени удвоения инвестиций

В финансах правило 72 , правило 70 ^[1] и правило 69,3 являются методами оценки времени удвоения инвестиций . Номер правила (например, 72) делится на процентную ставку за период (обычно годы), чтобы получить приблизительное количество периодов, необходимых для удвоения. Хотя научные калькуляторы и программы электронных таблиц имеют функции для нахождения точного времени удвоения, правила полезны для устных расчетов и когда доступен только базовый калькулятор . ^[2]

Эти правила применяются к экспоненциальному росту и поэтому используются для сложных процентов , а не для простых расчетов процентов . Их также можно использовать для распада , чтобы получить время уполовинивания. Выбор числа в основном является вопросом предпочтения: 69 более точно для непрерывного начисления процентов, в то время как 72 хорошо работает в ситуациях с общими процентами и его легче делить. Существует ряд вариаций правил, которые повышают точность. Для периодического начисления процентов точное время удвоения для процентной ставки r процентов за период равно

${\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}}$,

где t — необходимое количество периодов. Формула выше может быть использована не только для расчета времени удвоения. Если, например, требуется узнать время утроения, замените константу 2 в числителе на 3. В качестве другого примера, если требуется узнать количество периодов, необходимое для того, чтобы начальное значение увеличилось на 50%, замените константу 2 на 1,5.

Использование правила для оценки периодов начисления процентов

Чтобы оценить количество периодов, необходимых для удвоения первоначальных инвестиций, разделите наиболее удобную «величину правила» на ожидаемый темп роста, выраженный в процентах.

• Например, если вы инвестируете 100 долларов США с начислением сложных процентов по ставке 9% годовых, правило 72 дает 72/9 = 8 лет, необходимых для того, чтобы инвестиции достигли стоимости 200 долларов США; точный расчет дает ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 года.

Аналогично, чтобы определить время, необходимое для того, чтобы стоимость денег уменьшилась вдвое по заданной ставке, разделите количество денег по правилу на эту ставку.

• Чтобы определить время, за которое покупательная способность денег уменьшится вдвое, финансисты делят количество правила на уровень инфляции . Таким образом, при инфляции в 3,5% с использованием правила 70 , потребуется приблизительно 70/3,5 = 20 лет, чтобы стоимость единицы валюты уменьшилась вдвое. ^[1]
• Чтобы оценить влияние дополнительных сборов на финансовую политику (например, сборы и расходы паевых инвестиционных фондов , сборы за погрузку и расходы на переменные инвестиционные портфели универсального страхования жизни), разделите 72 на сбор. Например, если полис Universal Life взимает ежегодную плату в размере 3% сверх стоимости базового инвестиционного фонда, то общая стоимость счета сократится до 50% за 72 / 3 = 24 года, а затем до 25% от стоимости за 48 лет по сравнению с хранением точно таких же инвестиций вне полиса.

Выбор правила

Значение 72 является удобным выбором числителя, поскольку оно имеет много малых делителей : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12. Оно обеспечивает хорошее приближение для ежегодного начисления процентов и для начисления процентов по типичным ставкам (от 6% до 10%); приближения менее точны при более высоких процентных ставках.

Для непрерывного начисления процентов 69 дает точные результаты для любой ставки, так как ln (2) составляет около 69,3%; см. вывод ниже. Поскольку ежедневное начисление процентов достаточно близко к непрерывному, для большинства целей 69, 69,3 или 70 лучше, чем 72 для ежедневного начисления процентов. Для более низких годовых ставок, чем указанные выше, 69,3 также будет точнее, чем 72. ^[3] Для более высоких годовых ставок 78 является более точным.

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их приближения 70/ t и 72/ t . В версии SVG наведите курсор на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Примечание: наиболее точное значение в каждой строке выделено курсивом, а наиболее точное из простых правил — жирным шрифтом.

История

Раннее упоминание правила содержится в Summa de arithmetica (Венеция, 1494. Fol. 181, n. 44) Луки Пачоли (1445–1514). Он представляет правило в обсуждении оценки времени удвоения инвестиций, но не выводит и не объясняет правило, и поэтому предполагается, что правило предшествует Пачоли на некоторое время.

Мы хотим, чтобы каждый год был в количестве 100 лет, в количестве лет, когда у него были хорошие расходы и капитал, время для режима 72 , а также то, что он всегда участвовал в интересе, и что это не жизнь, в этот год Сара Раддоппиато. Пример: Когда интерес составляет 6 на 100 лет, то, что значит 72 на 6; Я не жил 12 лет, а через 12 лет она была рада допить до столицы. (выделено нами).

Примерный перевод:

Желая узнать о каком-либо капитале, при данном годовом проценте, через сколько лет он удвоится, добавляя процент к капиталу, держите в уме, как правило, [число] 72 , которое вы всегда будете делить на процент, и что получится, через столько лет он удвоится. Пример: Когда процент составляет 6 процентов в год, я говорю, что делим 72 на 6; получается 12, и через 12 лет капитал удвоится.

Корректировки для большей точности

Для более высоких ставок лучше использовать больший числитель (например, для 20% использование 76 для получения 3,8 лет даст всего около 0,002 погрешности, тогда как использование 72 для получения 3,6 даст около 0,2 погрешности). Это связано с тем, что, как и выше, правило 72 является лишь приближением, которое является точным для процентных ставок от 6% до 10%.

На каждые три процентных пункта от 8% значение 72 можно скорректировать на 1:

${\displaystyle t\approx {\frac {72+(r-8)/3}{r}}}$

или, для того же результата:

${\displaystyle t\approx {\frac {70+(r-2)/3}{r}}}$

Оба эти уравнения упрощаются до:

${\displaystyle t\approx {\frac {208}{3r}}+{\frac {1}{3}}}$

Обратите внимание, что это довольно близко к 69,3. ${\displaystyle {\frac {208}{3}}}$

правило ЭМ

Правило второго порядка Эккарта-Макхейла (правило EM) обеспечивает мультипликативную поправку для правила 69,3, которая очень точна для ставок от 0% до 20%, тогда как правило это правило является точным только в самом нижнем диапазоне процентных ставок, от 0% до примерно 5%.

Чтобы вычислить приближение EM, умножьте результат правила 69,3 на 200/(200− r ) следующим образом:

${\displaystyle t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}}$.

Например, если процентная ставка составляет 18%, правило 69,3 дает t = 3,85 года, на что правило EM умножает (т. е. 200/(200−18)), чтобы получить время удвоения 4,23 года. Поскольку фактическое время удвоения при этой ставке составляет 4,19 года, правило EM дает более близкое приближение, чем правило 72. ${\displaystyle {\frac {200}{182}}}$

Чтобы получить аналогичную поправку для правила 70 или 72, один из числителей может быть установлен, а другой скорректирован так, чтобы их произведение оставалось примерно тем же. Правило EM, таким образом, можно записать также как

${\displaystyle t\approx {\frac {70}{r}}\times {\frac {198}{200-r}}}$или ${\displaystyle t\approx {\frac {72}{r}}\times {\frac {192}{200-r}}}$

В этих вариантах мультипликативная поправка становится равной 1 соответственно для r=2 и r=8, значений, для которых правила 70 и 72 являются наиболее точными.

Аппроксимация Паде

Аппроксимация Паде третьего порядка дает более точный ответ в еще большем диапазоне r , но она имеет немного более сложную формулу:

${\displaystyle t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {4r+600}{r+600}}}$

что упрощается до:

${\displaystyle t\approx {\frac {1386r+207900}{5r^{2}+3000r}}}$

Вывод

Периодическое начисление процентов

Для периодического начисления процентов будущая стоимость определяется по формуле:

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+r)^{t}}$

где — текущая стоимость , — количество периодов времени, а — процентная ставка за период времени. ${\displaystyle PV}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

Будущая стоимость в два раза превышает текущую стоимость, если:

${\displaystyle FV=PV\cdot 2}$

что является следующим условием:

${\displaystyle (1+r)^{t}=2\,}$

Это уравнение легко решается относительно : ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln((1+r)^{t})&=\ln 2\\t\ln(1+r)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}\end{aligned}}}$

Простая перестановка показывает:

${\displaystyle {\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r)}}}={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {r}{\ln(1+r)}}{\bigg )}}$

Если r мало, то ln(1 + r ) приблизительно равно r (это первый член ряда Тейлора ). То есть последний множитель медленно растет, когда близок к нулю. ${\displaystyle r}$

Назовем этот последний фактор . Показано, что функция точна в приближении для небольшой положительной процентной ставки, когда (см. вывод ниже). , и поэтому мы приближаем время как: ${\displaystyle f(r)={\frac {r}{\ln(1+r)}}}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r=.08}$ ${\displaystyle f(.08)\approx 1.03949}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}f(.08)\approx {\frac {.72}{r}}}$

Записано в процентах:

${\displaystyle {\frac {.72}{r}}={\frac {72}{100r}}}$

Точность этого приближения возрастает по мере того, как начисление процентов становится непрерывным (см. вывод ниже). записывается в процентах . ${\displaystyle 100r}$ ${\displaystyle r}$

Для того чтобы получить более точные корректировки, представленные выше, следует отметить, что более точно аппроксимируется выражением (используя второй член ряда Тейлора ). Затем можно дополнительно упростить с помощью приближений Тейлора: ${\displaystyle \ln(1+r)\,}$ ${\displaystyle r-{\frac {r^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}&={\frac {69.3}{R-R^{2}/200}}\\&\\&={\frac {69.3}{R}}{\frac {1}{1-R/200}}\\&&\\&\approx {\frac {69.3(1+R/200)}{R}}\\&&\\&={\frac {69.3}{R}}+{\frac {69.3}{200}}\\&&\\&={\frac {69.3}{R}}+0.3465.\end{aligned}}}$

Замена " R " в R /200 в третьей строке на 7,79 дает 72 в числителе. Это показывает, что правило 72 является наиболее точным для периодически сложных процентов около 8%. Аналогично замена " R " в R /200 в третьей строке на 2,02 дает 70 в числителе, показывая, что правило 70 является наиболее точным для периодически сложных процентов около 2%.

Альтернативно, правило ЭМ получается, если напрямую использовать приближение Тейлора второго порядка.

Непрерывное начисление процентов

Для непрерывного начисления процентов вывод проще и дает более точное правило:

${\displaystyle {\begin{aligned}(e^{r})^{p}&=2\\e^{rp}&=2\\\ln e^{rp}&=\ln 2\\rp&=\ln 2\\p&={\frac {\ln 2}{r}}\\p&\approx {\frac {0.693147}{r}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Экспоненциальный рост
• Временная стоимость денег
• Интерес
• Скидка
• Правило 16
• Правило трех (статистика)

Ссылки

1. Донелла Медоуз , Системное мышление: Учебник для начинающих , Chelsea Green Publishing , 2008, стр. 33 (врезка «Совет по усилению циклов обратной связи и удвоению времени»).
2. Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится . John Wiley & Sons . С. 153–154. ISBN 0-471-50636-2.
3. Калид Азад, демистифицирующий натуральный логарифм (ln) из BetterExplained

Внешние ссылки

• «Шкала 70» — распространяет правило 72 за пределы роста с фиксированной ставкой на сложный рост с переменной ставкой, включая положительные и отрицательные ставки.