Вторая производная

Математическая операция

Вторая производная квадратичной функции постоянна .

В исчислении вторая производная или производная второго порядка функции f является производной производной производной f . Неформально вторую производную можно выразить как «скорость изменения скорости изменения»; например, вторая производная положения объекта по времени является мгновенным ускорением объекта или скоростью, с которой скорость объекта изменяется по времени. В обозначениях Лейбница : где a — ускорение, v — скорость, t — время, x — положение, а d — мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение является второй производной положения ( x ) по времени. $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$ ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или вогнутости графика . График функции с положительной второй производной вогнут вверх, тогда как график функции с отрицательной второй производной изогнут в противоположном направлении.

Правило второй производной мощности

Правило мощности для первой производной, если его применить дважды, даст правило мощности для второй производной следующим образом: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

Обозначение

Вторая производная функции обычно обозначается . ^{[1] [2]} То есть: При использовании обозначения Лейбница для производных вторая производная зависимой переменной y по независимой переменной x записывается Это обозначение выводится из следующей формулы: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f''(x)}$ $${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

Пример

Для данной функции производная f является функцией Вторая производная f является производной , а именно $${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$ $${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$ ${\displaystyle f'}$ $${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

Отношение к графику

График от до . Касательная синяя там, где кривая вогнута вверх, зеленая там, где кривая вогнута вниз, и красная в точках перегиба (0, /2 и ). ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ ${\displaystyle -\pi /4}$ ${\displaystyle 5\pi /4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Вогнутость

Вторая производная функции f может быть использована для определения вогнутости графика функции f . ^[2] Функция, вторая производная которой положительна, называется вогнутой вверх (также называется выпуклой), что означает, что касательная линия вблизи точки, где она касается функции, будет лежать ниже графика функции. Аналогично, функция, вторая производная которой отрицательна, будет вогнутой вниз (иногда ее просто называют вогнутой), а ее касательная линия будет лежать выше графика функции вблизи точки касания.

Точки перегиба

Если вторая производная функции меняет знак, график функции перейдет из вогнутого вниз в вогнутый вверх или наоборот. Точка, в которой это происходит, называется точкой перегиба . Если предположить, что вторая производная непрерывна, она должна принимать значение нуля в любой точке перегиба, хотя не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Тест второй производной

Связь между второй производной и графиком можно использовать для проверки того, является ли стационарная точка функции (т.е. точка, где ) локальным максимумом или локальным минимумом . В частности, ${\displaystyle f'(x)=0}$

• Если , то имеет локальный максимум при . ${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Если , то имеет локальный минимум при . ${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Если , то тест второй производной ничего не говорит о точке , возможной точке перегиба. ${\displaystyle f''(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно увидеть с помощью аналогии из реального мира. Рассмотрим транспортное средство, которое сначала движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Очевидно, что положение транспортного средства в точке, где скорость достигает нуля, будет максимальным расстоянием от исходного положения — по истечении этого времени скорость станет отрицательной, и транспортное средство начнет движение задним ходом. То же самое верно и для минимума, с транспортным средством, которое сначала имеет очень отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Предел

Можно записать единственный предел для второй производной: $${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$$

Предел называется второй симметричной производной . ^{[3] [4]} Вторая симметричная производная может существовать даже тогда, когда (обычная) вторая производная не существует.

Выражение справа можно записать как разностное отношение разностных отношений: Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию второй разности для последовательностей . $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$$

Однако существование указанного выше предела не означает, что функция имеет вторую производную. Предел выше просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает определения. Контрпримером является функция sign , которая определяется как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

Функция знака не является непрерывной в нуле, и поэтому вторая производная для не существует. Но указанный выше предел существует для : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

Квадратичная аппроксимация

Так же, как первая производная связана с линейными приближениями , вторая производная связана с наилучшим квадратичным приближением для функции f . Это квадратичная функция , первая и вторая производные которой совпадают с производными f в заданной точке. Формула для наилучшего квадратичного приближения функции f вокруг точки x = a имеет вид Это квадратичное приближение является полиномом Тейлора второго порядка для функции с центром в точке x = a . $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$$

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих комбинаций граничных условий можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной . Например, предполагая и однородные граничные условия Дирихле (т.е., где v — собственный вектор), собственные значения равны и соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями ) равны . Здесь , для . ${\displaystyle x\in [0,L]}$ ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$

Другие известные случаи см. в разделе Собственные значения и собственные векторы второй производной .

Обобщение на более высокие измерения

Гессенский

Вторая производная обобщается на более высокие измерения через понятие вторых частных производных . Для функции f : R ³ → R они включают три вторых частных производных и смешанные частные производные $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$$

Если изображение функции и область определения имеют потенциал, то они укладываются в симметричную матрицу, известную как гессиан . Собственные значения этой матрицы могут быть использованы для реализации многомерного аналога теста второй производной. (См. также тест второй частной производной .)

Лапласиан

Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан . Это дифференциальный оператор (или ), определяемый формулой Лапласиан функции равен дивергенции градиента , и следу матрицы Гессе. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Шумность , вторая производная мгновенной фазы
• Конечная разность , используемая для аппроксимации второй производной
• Тест второй частной производной
• Симметрия вторых производных

Ссылки

1. "Контент - Вторая производная". amsi.org.au . Получено 2020-09-16 .
2. "Вторые производные". Math24 . Получено 2020-09-16 .
3. А. Зигмунд (2002). Тригонометрические ряды . Cambridge University Press. стр. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
4. Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства действительных функций . Марсель Деккер. стр. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

Дальнейшее чтение

Печать

• Антон, Ховард; Бивенс, Ирл; Дэвис, Стивен (2 февраля 2005 г.), Исчисление: Ранние трансцендентальные числа с одной и несколькими переменными (8-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Апостол, Том М. (июнь 1967 г.), Исчисление, т. 1: Однопеременное исчисление с введением в линейную алгебру, т. 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Исчисление, т. 2: Многомерное исчисление и линейная алгебра с приложениями , т. 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Ивс, Говард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: Ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994 г.), Calculus (3-е изд.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Calculus (5-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (пересмотренное, обновленное, расширенное издание), Нью-Йорк: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Онлайн книги

• Кроуэлл, Бенджамин (2003), Исчисление
• Гарретт, Пол (2004), Заметки о первокурсниках по исчислению
• Хуссейн, Фараз (2006), Понимание исчисления
• Кейслер, Х. Джером (2000), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых величин
• Маух, Шон (2004), Несокращенная версия книги Шона по прикладной математике, архивировано с оригинала 2006-04-15
• Слоутер, Дэн (2000), Разностные уравнения в дифференциальных уравнениях
• Стрэнг, Гилберт (1991), Исчисление
• Строян, Кит Д. (1997), Краткое введение в исчисление бесконечно малых, архивировано из оригинала 2005-09-11
• Викиучебники, Исчисление

Внешние ссылки

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек