Второй момент площади

Математическая конструкция в технике

Второй момент площади , или второй момент площади , или квадратичный момент площади , также известный как момент инерции площади , представляет собой геометрическое свойство площади , которое отражает, как ее точки распределены относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо буквой (для оси, лежащей в плоскости площади), либо буквой (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он рассчитывается кратным интегралом по рассматриваемому объекту. Его размерность равна L (длина) в четвертой степени. Его единицей измерения при работе с Международной системой единиц являются метры в четвертой степени, м ⁴ , или дюймы в четвертой степени, в ⁴ , при работе в Имперской системе единиц или обычной системе США . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

В проектировании конструкций второй момент площади балки является важным свойством, используемым при расчете отклонения балки и расчете напряжения , вызванного моментом, приложенным к балке. Чтобы максимизировать второй момент площади, большая часть площади поперечного сечения двутавровой балки расположена на максимально возможном расстоянии от центроида поперечного сечения двутавровой балки. Плоский второй момент площади дает представление о сопротивлении балки изгибу из-за приложенного момента, силы или распределенной нагрузки , перпендикулярной ее нейтральной оси , в зависимости от ее формы. Полярный второй момент площади дает представление о сопротивлении балки изгибу при кручении из- за приложенного момента, параллельного ее поперечному сечению, в зависимости от ее формы.

В разных дисциплинах для обозначения разных моментов используется термин « момент инерции» (MOI) . Это может относиться либо к плоскому второму моменту площади (часто или по отношению к некоторой базовой плоскости), либо к полярному второму моменту площади ( , где r - расстояние до некоторой базовой оси). В каждом случае интеграл проводится по всем бесконечно малым элементам площади dA в некотором двумерном сечении. В физике момент инерции — это строго второй момент массы по отношению к расстоянию от оси: , где r — расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл рассчитывается по всем бесконечно малым элементам массы , dm , в трехмерном пространстве . -мерное пространство , занимаемое объектом  Q. В этом смысле МВД является аналогом массы для задач вращения. В машиностроении (особенно в машиностроении и гражданском строительстве) момент инерции обычно относится ко второму моменту площади. ^[1] ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA,}$ ${\textstyle I=\iint _{R}r^{2}\,dA}$ ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$

Определение

Произвольная форма. ρ — радиальное расстояние до элемента d A с проекциями x и y на оси.

Второй момент площади произвольной формы  R относительно произвольной оси определяется как ${\displaystyle BB'}$

$${\displaystyle J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA}$$

• ${\displaystyle dA}$- бесконечно малый элемент площади, а
• ${\displaystyle \rho }$- перпендикулярное расстояние от оси . ^[2] ${\displaystyle BB'}$

Например, если желаемой базовой осью является ось X, второй момент площади (часто обозначаемый как ) можно вычислить в декартовых координатах как ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{x}}$

$${\displaystyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy}$$

Второй момент площади имеет решающее значение в теории тонких балок Эйлера – Бернулли .

Момент площади произведения

В более общем смысле момент произведения площади определяется как ^[3]

$${\displaystyle I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy}$$

Теорема о параллельной оси

Форма с центроидальной осью x . Теорему о параллельной оси можно использовать для получения второго момента площади относительно оси x' .

Иногда необходимо вычислить второй момент площади фигуры относительно оси, отличной от центроидальной оси фигуры. Однако часто проще вывести второй момент площади относительно его центроидальной оси и использовать теорему о параллельной оси для получения второго момента площади относительно оси . Теорема о параллельной оси утверждает ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}}$$

• ${\displaystyle A}$- площадь фигуры, а
• ${\displaystyle d}$– перпендикулярное расстояние между осями и . ^{[4] [5]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

Аналогичное утверждение можно сделать об оси и параллельной центроидальной оси. Или вообще любая центроидальная ось и параллельная ось. ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$

Теорема о перпендикулярной оси

Для простоты расчета часто желательно определить полярный момент площади (относительно перпендикулярной оси) через два момента инерции площади (оба относительно осей в плоскости). Самый простой случай относится к и . ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$

$${\displaystyle J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}}$$

Это соотношение основано на теореме Пифагора , которая касается линейности интегрирования . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho }$

Составные формы

Для более сложных областей часто проще разделить область на ряд «более простых» фигур. Второй момент площади всей фигуры есть сумма второго момента площадей всех ее частей относительно общей оси. Сюда могут относиться «отсутствующие» формы (т.е. отверстия, полые формы и т. д.), и в этом случае второй момент площади «отсутствующих» областей вычитается, а не добавляется. Другими словами, второй момент площади «недостающих» частей считается отрицательным для метода составных форм.

Примеры

Другие формы см. в списке вторых моментов площади .

Прямоугольник с центроидом в начале координат

Прямоугольник с основанием b и высотой h

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой , центр тяжести которого находится в начале координат. представляет второй момент площади относительно оси x; представляет второй момент площади относительно оси Y; представляет полярный момент инерции относительно оси z. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}$$

Используя теорему о перпендикулярной оси, мы получаем значение . ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}$$

Кольцо с центром в начале координат

Кольцевое пространство с внутренним радиусом r ₁ и внешним радиусом r ₂

Рассмотрим кольцо , центр которого находится в начале координат, внешний радиус равен , а внутренний радиус равен . Из-за симметрии кольца центр тяжести также находится в начале координат. Полярный момент инерции относительно оси можно определить методом сложных фигур. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции круга радиуса минус полярный момент инерции круга радиуса , оба центрированы в начале координат. Сначала выведем полярный момент инерции круга радиусом относительно начала координат. В этом случае проще вычислить напрямую , поскольку у нас уже есть компонент и . Вместо того, чтобы получать второй момент площади из декартовых координат , как это делалось в предыдущем разделе, мы будем вычислять его напрямую, используя полярные координаты . ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}$$

Теперь полярный момент инерции относительно оси для кольца - это просто, как указано выше, разница вторых моментов площади круга с радиусом и круга с радиусом . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

$${\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}$$

В качестве альтернативы мы могли бы изменить пределы интеграла в первый раз, чтобы отразить тот факт, что существует дыра. Это будет сделано так. ${\displaystyle dr}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$$

Любой многоугольник

Простой многоугольник. Здесь, заметьте, пункт «7» идентичен пункту 1. ${\displaystyle n=6}$

Второй момент площади относительно начала координат любого простого многоугольника на плоскости XY обычно можно вычислить путем суммирования вкладов каждого сегмента многоугольника после разделения площади на набор треугольников. Эта формула родственна формуле шнурков и может считаться частным случаем теоремы Грина .

Предполагается, что многоугольник имеет вершины, пронумерованные против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут правильными. ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}$$

где координаты -й вершины многоугольника, для . Также предполагаются равными координаты первой вершины, т.е. и . ^{[6] [7] [8] [9]} ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}$ ${\displaystyle y_{n+1}=y_{1}}$

Смотрите также

• Список вторых моментов площади
• Список моментов инерции
• Момент инерции
• Теорема о параллельной оси
• Теорема о перпендикулярной оси
• Радиус вращения

Рекомендации

1. Пиво, Фердинанд П. (2013). Векторная механика для инженеров (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 471. ИСБН 978-0-07-339813-6. Термин «второй момент» более уместен, чем термин «момент инерции», поскольку последний по логике следует использовать только для обозначения интегралов массы (см. раздел 9.11). Однако в инженерной практике момент инерции используется как в отношении площадей, так и масс.
2. Пилки, Уолтер Д. (2002). Анализ и проектирование упругих балок . John Wiley & Sons, Inc. с. 15. ISBN 978-0-471-38152-5.
3. Пиво, Фердинанд П. (2013). «Глава 9.8: Произведение инерции». Векторная механика для инженеров (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 495. ИСБН 978-0-07-339813-6.
4. Хиббелер, RC (2004). Статика и механика материалов (Второе изд.). Пирсон Прентис Холл. ISBN 0-13-028127-1 . 
5. Пиво, Фердинанд П. (2013). «Глава 9.6: Теорема о параллельной оси». Векторная механика для инженеров (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 481. ИСБН 978-0-07-339813-6.
6. Халли, Дэвид (1987). Расчет моментов многоугольников (PDF) (Технический отчет). Национальная оборона Канады. Технический меморандум 87/209. Архивировано (PDF) из оригинала 23 марта 2020 г.
7. Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия. АвторДом. ISBN 978-1-4772-3372-6.
8. Стегер, Карстен (1996). «О вычислении произвольных моментов многоугольников» (PDF) . S2CID  17506973. Архивировано из оригинала (PDF) 3 октября 2018 г.
9. Сурджади, Ир. Р. «О вычислении моментов многоугольника с некоторыми приложениями».