Второе счетное пространство

Топологическое пространство, топология которого имеет счетную базу.

В топологии пространство со второй счетностью , также называемое вполне сепарабельным пространством , — это топологическое пространство , топология которого имеет счетную базу . Более явно, топологическое пространство является вторично счетным, если существует некоторый счетный набор открытых подмножеств такого , что любое открытое подмножество может быть записано как объединение элементов некоторого подсемейства . Говорят, что пространство со второй счетностью удовлетворяет второй аксиоме счетности . Как и другие аксиомы счетности , свойство второй счетности ограничивает количество открытых множеств, которые может иметь пространство. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Многие « хорошие » пространства в математике являются счетными. Например, евклидово пространство ( R ⁿ ) с его обычной топологией является счетным по секундам. Хотя обычная база открытых шаров несчетна , можно ограничиться набором всех открытых шаров с рациональными радиусами и центрами которых имеют рациональные координаты. Это ограниченное множество счетно и по-прежнему образует базис.

Характеристики

Вторая счетность — более сильное понятие, чем первая счетность . Пространство является первым счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу . Учитывая базу топологии и точку x , набор всех базисных наборов, содержащих x, образует локальную базу в x . Таким образом, если у топологии есть счетная база, то в каждой точке есть счетная локальная база, и, следовательно, каждое пространство со второй счетностью также является пространством с первой счетностью. Однако любое несчетное дискретное пространство является счетным первым, но не счетным вторым.

Вторая счетность подразумевает некоторые другие топологические свойства. В частности, каждое счетное пространство сепарабельно (имеет счетное плотное подмножество) и линделефово (каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие). Обратные выводы не имеют места. Например, топология нижнего предела на вещественной прямой является счетной по первой, сепарабельной и по Линделёфу, но не счетной по второй. Однако для метрических пространств свойства счетности по секундам, сепарабельности и свойства Линделёфа эквивалентны. ^[1] Следовательно, топология нижнего предела на вещественной прямой не метризуема.

В пространствах со второй счетностью, как и в метрических пространствах, компактность , секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами.

Теорема Урысона о метризации утверждает , что каждое счетное по секундам регулярное по Хаусдорфу пространство метризуемо . Отсюда следует, что каждое такое пространство вполне нормально и паракомпактно . Таким образом, вторая счетность является довольно ограничительным свойством топологического пространства, требующим только аксиомы разделения, чтобы подразумевать метризуемость.

Другие объекты недвижимости

• Непрерывный открытый образ секундно-счетного пространства является секундно-счетным.
• Каждое подпространство второго счетного пространства является вторым счетным.
• Частные пространств со счетом по секундам не обязательно должны быть счетными по секундам; однако открытые частные всегда таковы.
• Любое счетное произведение вторично-счетного пространства является вторично-счетным, хотя несчетные произведения не обязательно таковы.
• Топология пространства T ₁ со счетным числом секунд имеет мощность, меньшую или равную c ( мощность континуума ).
• Любая база второго счетного пространства имеет счетное подсемейство, которое по-прежнему является базой.
• Любая совокупность непересекающихся открытых множеств в пространстве со второй счетностью счетна.

Примеры

• Рассмотрим непересекающееся счетное объединение . Определите отношение эквивалентности и фактор-топологию , определив левые концы интервалов, то есть определите 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k и так далее. X является счетным по счету пространством как счетное объединение пространств со счетным по счету числом. Однако X /~ не является счетным первым в смежном классе идентифицированных точек и, следовательно, не счетным вторым. ${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$
• Вышеупомянутое пространство не гомеоморфно тому же множеству классов эквивалентности, наделенному очевидной метрикой: т.е. регулярному евклидову расстоянию для двух точек в одном и том же интервале и сумме расстояний до левой точки для точек, не находящихся в одном и том же интервале - - что дает строго более грубую топологию, чем приведенное выше пространство. Это сепарабельное метрическое пространство (рассмотрим множество рациональных точек) и, следовательно, счетное по секундам.
• Длинная линия не счетна по секундам, а счетна по первой.

Примечания

1. Уиллард, теорема 16.11, с. 112

Рекомендации

• Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) Издательство Addison-Wesley, Ридинг, Массачусетс.
• Джон Г. Хокинг и Гейл С. Янг (1961). Топология. Исправленное переиздание, Дувр, 1988. ISBN  0-486-65676-4.