Машиноподобная формула

Формулы для числа Пи

В математике формулы , подобные машинам , — популярный метод вычисления π (отношения длины окружности к диаметру круга ) с большим количеством цифр . Они являются обобщением формулы Джона Мэчина 1706 года:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

который он использовал для вычисления числа π с точностью до 100 десятичных знаков. ^{[1] [2]}

Машиноподобные формулы имеют вид

где – положительное целое число, – целые ненулевые числа со знаком , и – положительные целые числа такие, что . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$

Эти формулы используются вместе с рядом Грегори , разложением арктангенса в ряд Тейлора :

Вывод

Формула сложения углов для арктангенса утверждает, что

если

$${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.}$$

3

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan {\frac {1}{5}}&=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {1\cdot 5+1\cdot 5}{5\cdot 5-1\cdot 1}}\\&=\arctan {\frac {10}{24}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}&=2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}\\&=\arctan {\frac {5\cdot 12+5\cdot 12}{12\cdot 12-5\cdot 5}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}&=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}\\&=4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120\cdot 1+(-1)\cdot 119}{119\cdot 1-120\cdot (-1)}}\\&=\arctan {\frac {1}{239}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Проницательный способ визуализировать уравнение 3 — это представить, что происходит, когда два комплексных числа умножаются:

${\displaystyle (b_{1}+a_{1}\mathrm {i} )\cdot (b_{2}+a_{2}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle =b_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\mathrm {i} +a_{1}b_{2}\mathrm {i} -a_{1}a_{2}}$

Угол, связанный с комплексным числом, определяется выражением: ${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Таким образом, в уравнении 4 угол, связанный с произведением, равен:

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}}$

Обратите внимание, что это то же выражение, что и в уравнении 3 . Таким образом, уравнение 3 можно интерпретировать как говорящее, что умножение двух комплексных чисел означает сложение связанных с ними углов (см. Умножение комплексных чисел ).

Выражение:

${\displaystyle c_{n}\arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

угол, связанный с:

${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

Уравнение 1 можно переписать так:

${\displaystyle k\cdot (1+\mathrm {i} )^{c_{0}}=\prod _{n=1}^{N}(b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

Вот произвольная константа, которая учитывает разницу в величине между векторами в двух частях уравнения. Величинами можно пренебречь, важны только углы. ${\displaystyle k}$

Использование комплексных чисел

Другие формулы могут быть созданы с использованием комплексных чисел. ^[3] Например, угол комплексного числа определяется формулой : при умножении комплексных чисел их углы складывают. Если то это 45 градусов или радиан. Это означает, что если действительная часть и комплексная часть равны, то арктангенс будет равен . Поскольку арктангенс единицы имеет очень медленную скорость сходимости, если мы найдем два комплексных числа, умножение которых приведет к одной и той же действительной и мнимой части, мы получим формулу, подобную Машину. Примером является и . Если мы умножим их, мы получим . Поэтому, . ${\textstyle (a+b\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle a=b}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle (2+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (3+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (5+5\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}}$

Если вы хотите использовать комплексные числа, чтобы показать это, вы сначала должны знать, что при умножении углов вы возводите комплексное число в степень числа, на которое умножаете. Итак , и поскольку действительная часть и мнимая часть равны, то ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ ${\textstyle (5+\mathrm {i} )^{4}(239-\mathrm {i} )=(1+\mathrm {i} )\cdot 2^{2}\cdot 13^{4}}$ ${\textstyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}~.}$

мера Лемера

Одним из наиболее важных параметров, характеризующих вычислительную эффективность формулы типа Машины, является мера Лемера, определяемая как ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\it {\lambda }}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{\log _{10}(b_{n}/a_{n})}}}$.

Чтобы получить как можно меньшую меру Лемера, необходимо уменьшить отношение целых положительных чисел в аргументах арктангенса и минимизировать количество членов в формуле, подобной Машину. В настоящее время наименьшая известная мера Лемера принадлежит Х. Чиен-Лиху (1997), ^[6] , чья машиноподобная формула показана ниже. В формулах, подобных Машину, очень часто встречаются случаи, когда все числители ${\displaystyle a_{n}/b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle \lambda \approx 1.51244}$ ${\displaystyle a_{n}=1~.}$

Двухчленные формулы

В частном случае, когда числитель , существует ровно четыре решения, имеющих только два члена. ^{[7] [8]} Все четыре были найдены Джоном Мачином в 1705–1706 годах, но только один из них стал широко известен, когда был опубликован в книге Уильяма Джонса Synopsis Palmariorum Matheseos , поэтому остальные три часто приписываются другим математикам. . Это ${\displaystyle a_{n}=1}$

1737 г. Эйлера (известен Машину в 1706 г.): ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

1706 г. Германа (известен Машину 1706 г.): ^{[11] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

Хаттона или Веги (известен Мачину в 1706 г.): ^{[8] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

и 1706 Мэчина: ^{[1] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$.

В общем случае, когда значение числителя не ограничено, существует бесконечно много других решений. Например: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=22\arctan {\frac {1}{28}}+\arctan {\frac {1744507482180328366854565127}{98646395734210062276153190241239}}}$

или

Пример

Прилегающая диаграмма демонстрирует взаимосвязь между арктангенсами и их площадями. Судя по схеме, имеем следующее:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {area}}(PON)&={\rm {area}}(MOF)=\pi \times {\frac {\angle MOF}{2\pi }}=\angle MEF=\arctan {1 \over 2}\\{\rm {area}}(POM)&={\rm {area}}(NOF)=\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(POF)&={\pi \over 4}=\arctan {1 \over 2}+\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(MON)&=\arctan {1 \over 7}\\\arctan {1 \over 2}&=\arctan {1 \over 3}+\arctan {1 \over 7},\end{array}}}$

отношение, которое также можно найти с помощью
следующих вычислений внутри комплексных чисел

${\displaystyle (3+\mathrm {i} )(7+\mathrm {i} )=21-1+(3+7)\mathrm {i} =10\cdot (2+\mathrm {i} ).}$

Дополнительные условия

Рекорд 2002 года по количеству цифр π , 1 241 100 000 000, был получен Ясумасой Канадой из Токийского университета . Расчет проводился на 64-узловом суперкомпьютере Hitachi с 1 терабайтом оперативной памяти, выполняющем 2 триллиона операций в секунду. Использовались следующие два уравнения:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

Кикуо Такано (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Стёрмер (1896 г.).

Два уравнения используются для того, чтобы можно было проверить, что они оба дают одинаковый результат; полезно, если в уравнениях повторно используются некоторые, но не все арктангенсы, поскольку их нужно вычислить только один раз - обратите внимание на повторное использование 57 и 239 выше.

Машиноподобные формулы для π можно построить, найдя набор чисел, в котором разложение простых чисел b ² +1 вместе использует не больше различных простых чисел, чем количество элементов в наборе, а затем используя либо линейную алгебру, либо базис LLL . Алгоритм приведения для построения линейных комбинаций арктангенсов обратных целых знаменателей . Например, для приведенной выше формулы Стёрмера мы имеем ${\displaystyle \arctan {\frac {1}{b_{n}}}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle 57^{2}+1=2\cdot 5^{3}\cdot 13}$

${\displaystyle 239^{2}+1=2\cdot 13^{4}}$

${\displaystyle 682^{2}+1=5^{3}\cdot 61^{2}}$

${\displaystyle 12943^{2}+1=2\cdot 5^{4}\cdot 13^{3}\cdot 61}$

Итак, четыре термина, в которых между собой используются только простые числа 2, 5, 13 и 61.

В 1993 году Йорг Уве Арндт ^[12] нашел формулу из 11 членов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{390112}}+135908\arctan {\frac {1}{485298}}+274509\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-39581\arctan {\frac {1}{1984933}}+178477\arctan {\frac {1}{2478328}}-114569\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-146571\arctan {\frac {1}{18975991}}+61914\arctan {\frac {1}{22709274}}-69044\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-89431\arctan {\frac {1}{201229582}}-43938\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

используя набор из 11 простых чисел ${\displaystyle \{2,5,13,17,29,37,53,61,89,97,101\}.}$

Другая формула, в которой 10 -аргументов такие же, как указано выше, была обнаружена Хван Чиен-Лихом (黃見利) (2004), поэтому легче проверить, что они оба дают одинаковый результат: ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{51387}}+26522\arctan {\frac {1}{485298}}+19275\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-3119\arctan {\frac {1}{1984933}}-3833\arctan {\frac {1}{2478328}}-5183\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-37185\arctan {\frac {1}{18975991}}-11010\arctan {\frac {1}{22709274}}+3880\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-16507\arctan {\frac {1}{201229582}}-7476\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

Вы заметите, что в этих формулах повторно используются все те же арктангенсы после первой. Они строятся путем поиска чисел, в которых b ² +1 делится только на простые числа меньше 102.

Наиболее эффективная известная в настоящее время формула типа Машин для вычисления π :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{110443}}-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\\end{aligned}}}$

(Хван Чиен-Ли, 1997)

где множество простых чисел ${\displaystyle \{2,5,13,229,457,1201\}.}$

Дальнейшее усовершенствование заключается в использовании «Процесса Тодда», как описано в; ^[5] это приводит к таким результатам, как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{113021}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\&-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}\\\end{aligned}}}$

(Хван Чиен-Ли, 2003 г.)

где большое простое число 834312889110521 делит b _n ² +1 двух последних индексов.
М. Уэтерфилд основал 2004 г.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;83\arctan {\frac {1}{107}}+17\arctan {\frac {1}{1710}}-22\arctan {\frac {1}{103697}}\\&-24\arctan {\frac {1}{2513489}}-44\arctan {\frac {1}{18280007883}}\\&+12\arctan {\frac {1}{7939642926390344818}}\\&+22\arctan {\frac {1}{3054211727257704725384731479018}}.\\\end{aligned}}}$

Дополнительные методы

Существуют и другие методы вывода формул, подобных Машину, для обратных целых чисел. Один задается следующей формулой: ^[13] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2^{k-1}\cdot \arctan {\frac {1}{A_{k}}}+\sum \limits _{m=1}^{M}\arctan {\frac {1}{\left\lfloor B_{k,m}\right\rfloor }}+\arctan {\frac {1}{B_{k,M+1}}},}$

где

${\displaystyle a_{0}:=0}$

и рекурсивно

${\displaystyle a_{k}:={\sqrt {2+a_{k-1}}},\;A_{k}:=\left\lfloor {\frac {a_{k}}{\sqrt {2-a_{k-1}}}}\right\rfloor }$

и

${\displaystyle B_{k,1}:={\frac {2}{\left({\dfrac {A_{k}+\mathrm {i} }{A_{k}-\mathrm {i} }}\right)^{2^{k-1}}-\mathrm {i} }}-\mathrm {i} }$

и рекурсивно

${\displaystyle B_{k,m}:={\frac {1+\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor B_{k,m-1}}{\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor -B_{k,m-1}}}~.}$

Например, для и мы получаем: ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle M=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;8\arctan {\frac {1}{10}}-\arctan {\frac {1}{84}}-\arctan {\frac {1}{21342}}\\&-\arctan {\frac {1}{991268848}}-\arctan {\frac {1}{193018008592515208050}}\\&-\arctan {\frac {1}{197967899896401851763240424238758988350338}}\\&-\arctan {\frac {1}{117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397}}\end{aligned}}}$

Это подтверждается следующим кодом MuPAD:

z := ( 10 + I ) ^ 8 * ( 84 - I ) * ( 21342 - I ) * ( 991268848 - I ) * ( 193018008592515208050 - I ) \ * ( 197967899896401851763240424238758988350 338 - I ) \ * ( 117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397 - I ) : Re ( z ) - Я ( z ) 0  

значение

${\displaystyle {\begin{aligned}z:=&\,(10+\mathrm {i} )^{8}\cdot (84-\mathrm {i} )\cdot (21342-\mathrm {i} )\cdot (991268848-\mathrm {i} )\cdot (193018008592515208050-\mathrm {i} )\\&\cdot (197967899896401851763240424238758988350338-\mathrm {i} )\\&\cdot (117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397-\mathrm {i} )\\\;=&\,(1+\mathrm {i} )\cdot \Re (z)~.\end{aligned}}}$

Эффективность

Для больших вычислений алгоритм двоичного разбиения можно использовать для вычисления арктангенсов гораздо быстрее, чем путем простого добавления членов ряда Тейлора по одному за раз. В практических реализациях, таких как y-cruncher, существуют относительно большие постоянные накладные расходы на каждый член плюс время, пропорциональное , и точка убывающей отдачи появляется за пределами трех или четырех арктангенсных членов в сумме; вот почему в приведенных выше вычислениях на суперкомпьютере использовалась только четырехчленная версия. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1/\log b_{n}}$

Целью этого раздела не является оценка фактического времени работы того или иного алгоритма. Вместо этого намерение состоит в том, чтобы просто разработать относительную метрику, с помощью которой два алгоритма можно будет сравнивать друг с другом.

Пусть – количество цифр, до которых необходимо вычислить. ${\displaystyle N_{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

Пусть – количество членов ряда Тейлора (см. уравнение 2 ). ${\displaystyle N_{t}}$

Пусть будет количество времени, затраченное на каждую цифру (для каждого члена ряда Тейлора). ${\displaystyle u_{n}}$

Ряд Тейлора сходится, когда:

${\displaystyle \left(\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)^{2}\right)^{N_{t}}=10^{N_{d}}}$

Таким образом:

${\displaystyle N_{t}=N_{d}\quad {\frac {\ln 10}{2\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Для первого члена ряда Тейлора необходимо обработать все цифры. Однако в последнем члене ряда Тейлора осталось обработать только одну цифру. Во всех промежуточных терминах количество цифр, подлежащих обработке, может быть аппроксимировано линейной интерполяцией. Таким образом, общая сумма определяется следующим образом: ${\displaystyle N_{d}}$

${\displaystyle {\frac {N_{d}N_{t}}{2}}}$

Время работы определяется:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}N_{d}N_{t}}{2}}}$

Объединив уравнения, время выполнения определяется следующим образом:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}{N_{d}}^{2}\ln 10}{4\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}={\frac {k\,u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Где константа, объединяющая все остальные константы. Поскольку это относительная метрика, значением можно пренебречь. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Общее время для всех членов уравнения 1 определяется выражением:

${\displaystyle {\mathit {time}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

${\displaystyle u_{n}}$невозможно точно смоделировать без детального знания конкретного программного обеспечения. Тем не менее, мы представляем одну из возможных моделей.

Программное обеспечение тратит большую часть своего времени на вычисление ряда Тейлора по уравнению 2 . Основной цикл можно резюмировать в следующем псевдокоде:

${\displaystyle 1:\quad {\mathit {term}}\quad *=\quad {a_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 2:\quad {\mathit {term}}\quad /=\quad -{b_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 3:\quad {\mathit {tmp}}\quad =\quad {\mathit {term}}\quad /\quad (2*n+1)}$

${\displaystyle 4:\quad {\mathit {sum}}\quad +=\quad {\mathit {tmp}}}$

В данной конкретной модели предполагается, что каждый из этих шагов занимает примерно одинаковое количество времени. В зависимости от используемого программного обеспечения это может быть очень хорошее или плохое приближение.

Единица времени определяется так, что один шаг псевдокода соответствует одной единице. Для полного выполнения цикла требуется четыре единицы времени. определено как четыре. ${\displaystyle u_{n}}$

Однако учтите, что если равно единице, первый шаг можно пропустить. Цикл занимает всего три единицы времени. определяется как три. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

В качестве примера рассмотрим уравнение:

В следующей таблице показано расчетное время для каждого из условий:

Общее время составляет 0,75467 + 0,54780 + 0,60274 = 1,9052.

Сравните это с уравнением 5 . В следующей таблице показано расчетное время для каждого из условий:

Общее время составляет 1,1191 + 0,8672 = 1,9863.

Вывод, сделанный на основе этой конкретной модели, заключается в том, что уравнение 6 работает немного быстрее, чем уравнение 5 , несмотря на то, что уравнение 6 содержит больше членов. Этот результат типичен для общей тенденции. Доминирующим фактором является соотношение между и . Чтобы добиться высокого коэффициента, необходимо добавить дополнительные условия. Часто получается чистая экономия времени. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Рекомендации

1. Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos. Лондон: Дж. Уэйл. стр. 243, 263. Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в круге диаметр равен окружности от 1 до 3,14159 и т. д. = π . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него число Ван Сеулена или число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
   ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
   

   Перепечатано в Смите, Дэвиде Юджине (1929). «Уильям Джонс: первое использование π для обозначения соотношения кругов». Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.

2. Бекманн, Петр (1971). История Пи . США: Голем Пресс. п. 102. ИСБН 0-88029-418-3.
3. Стёрмер, Карл (1897). «Sur l'application de la theorie des nombres entiers complexs a la Solution en nombres rationnels x 1 x 2 … x n {\ textstyle x_ {1} \ x_ {2} \ ldots x_ {n}} c 1 c 2 … c n { \textstyle c_{1}\ c_{2}\ldots c_{n}} k {\textstyle k} de l'équation: c 1 a r c t g ⁡ x 1 + {\textstyle c_{1}\operatorname {arc\ tg} x_ {1}+{}} c 2 а р c т грамм ⁡ Икс 2 + ⋯ + {\ textstyle c_ {2} \operatorname {arc\ tg} x_ {2}+\cdots +} c n a r c t грамм ⁡ x n = {\ textstyle c_ {n }\operatorname {arc\ tg} x_{n}={}} k π 4 {\textstyle k{\tfrac {\pi }{4}}} ". Архив Mathematik og Naturvidenskab . 19 (3): 1–95.
4. Лемер, Деррик Генри (1938). «Об арккотангенсных отношениях для π». Американский математический ежемесячник . 45 (10): 657–664. дои : 10.2307/2302434. JSTOR  2302434.
5. Уэтерфилд, Майкл (2016). «Улучшение формулы Машины с помощью процесса Тодда». Математический вестник . 80 (488): 333–344. дои : 10.2307/3619567. JSTOR  3619567. S2CID  126173230.
6. Чиен-Ли, Хван. «Больше машинных идентичностей». Математический вестник . 81 (490). JSTOR  3618793.
7. Стормер, Карл (1896). «Полное решение в целых числах m, n, x, y et k de l'équation m а р c т г ⁡ 1 Икс + п а р c т г ⁡ 1 y знак равно k π 4 . {\ textstyle m \operatorname {arc \ tg} {\ tfrac {1} {x}}+n\operatorname {arc\ tg} {\tfrac {1}{y}}=k{\tfrac {\pi }{4}}.} ". Mathematisk-naturvidenskabelig Klasse. Skrifter udgivne of Videnskabsselskabet i Christiania . 1895 (11): 1–21.
8. Стермер, Карл (1899). «Полное решение в именах уравнений м а р c т а п г ⁡ 1 Икс + п а р c т а п г ⁡ 1 y знак равно k π 4 {\ textstyle m \operatorname {arc\,tang} {\frac {1}{x}}+n\operatorname { arc\,tang} {\frac {1}{y}}=k{\frac {\pi }{4}}} " [Полное решение в целых числах уравнения ...]. Бюллетень математического общества Франции (на французском языке). 27 : 160–170. дои : 10.24033/bsmf.603 .
9. Эйлер, Леонард (1744) [написано в 1737 году]. «De variis modis Circuli Quadaturam Numeris Proxime Exprimendi». Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 : 222–236. Е 74.
10. Тведдл, Ян (1991). «Джон Мачин и Роберт Симсон о ряде по обратным касательным для числа π ». Архив истории точных наук . 42 (1): 1–14. дои : 10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896.
11. Письмо Якоба Германа Готфриду Лейбницу , 21 августа 1706 г. Опубликовано в Gerhardt, CI, изд. (1859). «XXII. Германн Лейбниц». Лейбниценс Математические Шрифты . Том. 4. Х.В. Шмидт. стр. 302–304.
12. Йорг Уве Арндт: «Вычислительные вопросы», раздел 32.5.2, стр. 637.
13. https://arxiv.org/pdf/2108.07718.pdf (2021 г.)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Машиноподобные формулы». Математический мир .
• Константа π
• Заслуги Машины на MathPages