Выворот сферы

Топологическая операция выворачивания сферы наизнанку без образования складок

Поверхность Морена, вид «сверху»

Процесс выворачивания сферы, описанный в ^[1]

Выворачивание бумажной сферы и поверхность Морена

Поверхность Морена (сфера, вывернутая на половину) с гексагональной симметрией

В дифференциальной топологии выворачивание сферы — это процесс выворачивания сферы наизнанку в трехмерном пространстве (слово выворачивание означает «выворачивание наизнанку»). Таким образом, можно плавно и непрерывно выворачивать сферу наизнанку (допуская самопересечения поверхности сферы), не разрезая и не разрывая ее и не создавая никаких складок. Это удивительно как для нематематиков, так и для тех, кто понимает регулярную гомотопию , и может рассматриваться как истинный парадокс ; это то, что, будучи истинным, на первый взгляд кажется ложным.

Точнее, пусть

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

быть стандартным вложением ; тогда существует регулярная гомотопия погружений

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

такой, что ƒ ₀  =  ƒ и ƒ ₁  = − ƒ .

История

Доказательство существования выворачивания сферы без складок было впервые создано Стивеном Смейлом  (1957). Трудно визуализировать конкретный пример такого поворота, хотя были созданы некоторые цифровые анимации , которые делают это несколько проще. Первый пример был продемонстрирован усилиями нескольких математиков, включая Арнольда С. Шапиро и Бернарда Морена , который был слепым. С другой стороны, гораздо проще доказать, что такой «поворот» существует, и именно это Смейл и сделал.

Научный руководитель Смейла Рауль Ботт сначала сказал Смейлу, что результат был явно неверным (Levy 1995). Его рассуждения были в том, что степень отображения Гаусса должна быть сохранена при таком «повороте» — в частности, отсюда следует, что нет такого поворота S ¹ в R ² . Но степени отображения Гаусса для вложений f и − f в R ^{3 оба равны 1 и} не имеют противоположных знаков, как можно было бы неправильно предположить. Степень отображения Гаусса всех погружений S ² в R ³ равна 1, так что нет никаких препятствий. Термин «истинный парадокс», возможно, более уместен на этом уровне: до работы Смейла не было документированных попыток аргументировать за или против выворачивания S ² , а более поздние попытки являются ретроспективными, поэтому никогда не было исторического парадокса, связанного с выворачиванием сферы, а только понимание тонкостей его визуализации теми, кто столкнулся с этой идеей впервые.

Для дальнейших обобщений см. h -принцип .

Доказательство

Первоначальное доказательство Смейла было косвенным: он отождествил (регулярные гомотопические) классы погружений сфер с гомотопической группой многообразия Штифеля . Поскольку гомотопическая группа, соответствующая погружениям в , обращается в нуль, стандартное вложение и вложение изнутри наружу должны быть регулярными гомотопными. В принципе, доказательство можно развернуть, чтобы получить явную регулярную гомотопию, но это нелегко сделать. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Существует несколько способов создания явных примеров и математической визуализации :

Выворачивание сферы минимакс; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео

• Модели на полпути : они состоят из очень специальных гомотопий. Это оригинальный метод, впервые реализованный Шапиро и Филлипсом с помощью поверхности Боя , позже усовершенствованный многими другими. Оригинальные гомотопии модели на полпути были построены вручную и работали топологически, но не были минимальными. Фильм, созданный Нельсоном Максом в течение семи лет и основанный на моделях проволочной сетки Чарльза Пью (впоследствии украденных с математического факультета в Беркли), был «тур де форс» компьютерной графики для своего времени и установил эталон для компьютерной анимации на многие годы. Более недавнее и окончательное графическое усовершенствование (1980-е годы) — это минимаксные вывороты , которые являются вариационным методом и состоят из специальных гомотопий (они являются кратчайшими путями относительно энергии Уиллмора ). В свою очередь, понимание поведения энергии Уиллмора требует понимания решений уравнений в частных производных четвертого порядка, и поэтому визуально красивые и выразительные изображения скрывают очень глубокую математику, выходящую за рамки оригинального абстрактного доказательства Смейла.

Выворачивание сферы с использованием гофр Терстона; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео

• Гофры Терстона : это топологический метод и общий; он берет гомотопию и возмущает ее так, что она становится регулярной гомотопией. Это проиллюстрировано в компьютерно-графической анимации Outside In, разработанной в Geometry Center под руководством Сильвио Леви, Делле Максвелла и Тамары Мунцнер . ^[2]
• Объединяя вышеперечисленные методы, полное выворачивание сферы можно описать набором замкнутых уравнений, дающих минимальную топологическую сложность ^[1]

Вариации

• Шестимерная сфера в семимерном евклидовом пространстве допускает выворачивание. ^[3] С очевидным случаем 0-мерной сферы (две различные точки) на действительной прямой и описанным выше случаем двумерной сферы в есть только три случая, когда сфера, вложенная в евклидово пространство, допускает выворачивание. ${\displaystyle S^{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Галерея выворотных ступеней

Открытая модель с нейлоновыми струнами

Смотрите также

• Теорема Уитни–Граустейна

Ссылки

1. Беднорц, Адам; Беднорц, Витольд (2019). «Аналитическое выворачивание сферы с использованием линейчатых поверхностей». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 64 : 59–79. arXiv : 1711.10466 . doi :10.1016/j.difgeo.2019.02.004. S2CID  119687494.
2. "Outside In: Introduction". The Geometry Center . Получено 21 июня 2017 г.
3. Горюнов, Виктор В. (1997). "Локальные инварианты отображений поверхностей в трехмерное пространство". Математические семинары Арнольда–Гельфанда . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. С. 223–255. ISBN 0-8176-3883-0.

Библиография

• Иэн Р. Эйтчисон (2010) «Холиверс»: холистическое выворачивание 2-сферы в R^3, препринт. arXiv:1008.0916.
• Джон Б. Этнир (2004) Обзор «h-принципов и гибкости в геометрии», MR 1982875.
• Фрэнсис, Джордж К. (2007), Топологическая иллюстрированная книга , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0, г-н  2265679
• Джордж К. Фрэнсис и Бернард Морин (1980) «Выворачивание сферы Арнольда Шапиро», Mathematical Intelligencer 2(4):200–3.
• Леви, Сильвио (1995), «Краткая история выворачивания сфер», Making waves , Уэллсли, Массачусетс: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, МР  1357900
• Макс, Нельсон (1977) «Выворачиваем сферу наизнанку», https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941 Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine
• Энтони Филлипс (май 1966 г.) «Выворачивание поверхности наизнанку», Scientific American , стр. 112–120.
• Смейл, Стивен (1958), «Классификация погружений двухсфер», Труды Американского математического общества , 90 (2): 281–290, doi : 10.2307/1993205 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993205, MR  0104227

Внешние ссылки

• История сферических эверсий. Архивировано 11 июля 2020 г. на Wayback Machine.
• «Выворачиваем сферу наизнанку»
• Программное обеспечение для визуализации выворачивания сферы
• Математическая визуализация: топология. Выворачивание сферы холиверса (анимация Povray)
• Выворот сферы де Нева/Хиллса: видео и интерактивная модель
• Проект Патрика Массота по формализации доказательства в Lean Theorem Prover
• Интерактивное исследование метода выворачивания сферы Адама Беднорца и Витольда Беднорца
• Снаружи внутрь: Видеоисследование выворачивания сферы, созданное Геометрическим центром Университета Миннесоты .