Вырожденная коническая

Плоская кривая 2-й степени, приводимая

В геометрии вырожденная коника — это коника ( плоская кривая второй степени , определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которая не может быть неприводимой кривой . Это означает, что определяющее уравнение факторизуется по комплексным числам (или, в более общем смысле, по алгебраически замкнутому полю ) как произведение двух линейных многочленов.

Используя альтернативное определение коники как пересечение в трехмерном пространстве плоскости и двойного конуса , коника является вырожденной , если плоскость проходит через вершину конусов.

В реальной плоскости вырожденной коникой могут быть две прямые, которые могут быть или не быть параллельными, одна линия (либо две совпадающие прямые, либо объединение прямой и бесконечной прямой ), одна точка (фактически две комплексные линии ). сопряженные линии ) или нулевой набор (удвоенная бесконечная линия или две параллельные комплексно-сопряженные прямые).

Все эти вырожденные коники могут встречаться в пучках коник. То есть, если две вещественные невырожденные коники определяются квадратными полиномиальными уравнениями f = 0 и g = 0 , то коники уравнений af + bg = 0 образуют пучок, содержащий одну или три вырожденные коники. Для любой вырожденной коники на вещественной плоскости можно выбрать f и g так, чтобы данная вырожденная коника принадлежала определяемому ими пучку.

Примеры

Карандаши кругов: в карандаше красных кругов единственной вырожденной коникой является горизонтальная ось; пучок синих кругов имеет три вырожденные коники, вертикальную ось и два круга нулевого радиуса.

Коническое сечение с уравнением является вырожденным, поскольку его уравнение можно записать как и соответствует двум пересекающимся линиям, образующим букву «X». Эта вырожденная коника возникает как предельный случай в пучке гипербол уравнений. Предельный случай является примером вырожденной коники, состоящей из двойной прямой на бесконечности. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$ ${\displaystyle (x-y)(x+y)=0}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$ ${\displaystyle a(x^{2}-y^{2})-b=0.}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$

Точно так же коническое сечение с уравнением , которое имеет только одну действительную точку, вырождено, так как факторизуется, как и по комплексным числам . Таким образом, коника состоит из двух комплексно-сопряженных прямых , которые пересекаются в единственной вещественной точке коники. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle (x+iy)(x-iy)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Пучок эллипсов уравнений при вырождается в две параллельные прямые, а при - в двойную прямую. ${\displaystyle ax^{2}+b(y^{2}-1)=0}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$

Пучок окружностей уравнений вырождается в две линии: линию на бесконечности и линию уравнения . ${\displaystyle a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Классификация

Над комплексной проективной плоскостью существует только два типа вырожденных коник — две разные прямые, обязательно пересекающиеся в одной точке, или одна двойная прямая. Любую вырожденную конику можно преобразовать проективным преобразованием в любую другую вырожденную конику того же типа.

На реальной аффинной плоскости ситуация сложнее. Вырожденная вещественная коника может быть:

• Две пересекающиеся линии, например ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0}$
• Две параллельные прямые, например ${\displaystyle x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0}$
• Двойная линия (кратность 2), например ${\displaystyle x^{2}=0}$
• Две пересекающиеся комплексно-сопряженные прямые (только одна действительная точка), например ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0}$
• Две параллельные комплексно-сопряженные прямые (без реальной точки), например ${\displaystyle x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(x-i)=0}$
• Одиночная линия и линия на бесконечности
• Дважды линия на бесконечности (нет реальной точки в аффинной плоскости )

Для любых двух вырожденных коник одного класса существуют аффинные преобразования , переводящие первую конику во вторую.

Дискриминант

Вырожденная гипербола , которая представляет собой объединение красных и синих локусов. ${\displaystyle 3x^{2}-2xy-y^{2}-6x+10y-9=0,}$ ${\displaystyle (x-y+1)(3x+y-9)=0,}$

Вырожденная парабола , которая действует как объединение красного и синего локусов. ${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}-54x-36y+72}$ ${\displaystyle =0,}$ ${\displaystyle (3x+2y-6)(3x+2y-12)=0,}$

Невырожденные вещественные коники можно классифицировать как эллипсы, параболы или гиперболы по дискриминанту неоднородной формы , который является определителем матрицы ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},}$

матрица квадратичной формы в . Этот определитель может быть положительным, нулевым или отрицательным, поскольку коника является соответственно эллипсом, параболой или гиперболой. ${\displaystyle (x,y)}$

Аналогично коника может быть классифицирована как невырожденная или вырожденная по дискриминанту однородной квадратичной формы в . ^{[1] [2] : стр.16} Здесь аффинная форма гомогенизируется до ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};}$

дискриминант этой формы является определителем матрицы

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.}$

Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. В этом случае у нас есть следующие возможности:

• Две пересекающиеся прямые (гипербола, выродившаяся в две асимптоты) тогда и только тогда (см. первую диаграмму). ${\displaystyle \det M<0}$
• Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда . Эти линии различны и вещественны, если (см. вторую диаграмму), совпадают, если , и не существуют в вещественной плоскости, если . ${\displaystyle \det M=0}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}>(A+C)F}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}=(A+C)F}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}<(A+C)F}$
• Одна точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \det M>0}$
• Одна линия (и линия на бесконечности) тогда и только тогда, когда и и не равны нулю. Этот случай всегда имеет место как вырожденная коника в пучке окружностей . Однако в других контекстах она не считается вырожденной коникой, поскольку ее уравнение не имеет степени 2. ${\displaystyle A=B=C=0,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$

Случай совпадающих прямых имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3×3 равен 1; во всех остальных вырожденных случаях его ранг равен 2. ^{[3] : с.108.} ${\displaystyle Q}$

Связь с пересечением плоскости и конуса

Коники, также известные как конические сечения, чтобы подчеркнуть их трехмерную геометрию, возникают в результате пересечения плоскости с конусом . Вырождение происходит, когда плоскость содержит вершину конуса или когда конус вырождается в цилиндр и плоскость параллельна оси цилиндра. Подробности см. в разделе «Коника» № «Вырожденные случаи» .

Приложения

Вырожденные коники, как и вообще вырожденные алгебраические многообразия , возникают как пределы невырожденных коник и играют важную роль в компактификации пространств модулей кривых .

Например, пучок кривых (1-мерная линейная система коник ), определенный как, невырожден для, но вырожден для конкретно, это эллипс для двух параллельных прямых для и гипербола с – на всем протяжении одна ось имеет длину 2 а другой имеет длину , которая равна бесконечности для ${\displaystyle x^{2}+ay^{2}=1}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=0;}$ ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {|a|}},}$ ${\displaystyle a=0.}$

Такие семейства возникают естественным образом — даны четыре точки в общем линейном положении (на прямой нет трёх), через них проходит пучок коник ( пять точек определяют конику , четыре точки оставляют один параметр свободным), из которых три вырождены, каждая состоящая из пары прямых, соответствующих способам выбора 2 пар точек из 4 точек (считая через полиномиальный коэффициент ). ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}}$

Например, учитывая четыре точки, пучок коник, проходящих через них, можно параметризовать как дающий следующий пучок; во всех случаях центр находится в начале координат: ^{[примечание 1]} ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ ${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$

• ${\displaystyle a>1:}$гиперболы, открывающиеся влево и вправо;
• ${\displaystyle a=1:}$параллельные вертикальные линии ${\displaystyle x=-1,\ x=1;}$
• ${\displaystyle 0<a<1:}$ эллипсы с вертикальной большой осью;
• ${\displaystyle a=0:}$круг (с радиусом ); ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle -1<a<0:}$эллипсы с горизонтальной большой осью;
• ${\displaystyle a=-1:}$параллельные горизонтальные линии ${\displaystyle y=-1,\ y=1;}$
• ${\displaystyle a<-1:}$гиперболы, открывающиеся вверх и вниз,
• ${\displaystyle a=\infty :}$диагональные линии ${\displaystyle y=x,\ y=-x;}$

(деление на и принятие предела в качестве доходности ) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to \infty }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

• Затем это повторяется, поскольку карандаши представляют собой проективную линию. ${\displaystyle a>1,}$

Обратите внимание, что эта параметризация имеет симметрию: инвертирование знака a меняет местами x и y . По терминологии (Леви, 1964), это линейная система коник I типа, анимированная в связанном видео.

Ярким применением такого семейства является работа (Faucette 1996), которая дает геометрическое решение уравнения четвертой степени , рассматривая пучок коник через четыре корня квартики и отождествляя три вырожденные коники с тремя корнями резольвентной кубики. .

Теорема Паппа о шестиугольнике — это частный случай теоремы Паскаля , когда коника вырождается в две прямые.

Вырождение

В комплексной проективной плоскости все коники эквивалентны и могут вырождаться либо в две разные прямые, либо в одну двойную прямую.

В реальной аффинной плоскости:

• Гиперболы могут вырождаться в две пересекающиеся линии (асимптоты), например, в две параллельные линии или в двойную линию, когда а переходит в 0. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},}$
• Параболы могут вырождаться в две параллельные линии: или двойная линия в виде a переходит в 0; но, поскольку параболы имеют двойную точку на бесконечности, они не могут вырождаться в две пересекающиеся линии. ${\displaystyle x^{2}-ay-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}-ay=0,}$
• Эллипсы могут вырождаться в две параллельные линии: или двойная линия в виде a переходит в 0; но поскольку они имеют на бесконечности сопряженные комплексные точки, которые при вырождении становятся двойной точкой, они не могут выродиться в две пересекающиеся прямые. ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,}$

Вырожденные коники могут далее вырождаться в более специальные вырожденные коники, на что указывают размеры пространств и точек на бесконечности.

• Две пересекающиеся линии могут превратиться в две параллельные линии, вращаясь до тех пор, пока они не станут параллельными, как в двойной линии, или в двойную линию, вращаясь друг в друга вокруг точки, как в каждом случае, когда а переходит в 0. ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}-1=0,}$ ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}=0,}$
• Две параллельные прямые могут выродиться в двойную линию, переходя друг в друга, например, когда a переходит в 0, но не могут выродиться в непараллельные прямые. ${\displaystyle x^{2}-a^{2}=0}$
• Двойная линия не может вырождаться до других типов.
• Другой тип вырождения происходит для эллипса, когда сумма расстояний до фокусов должна равняться межфокальному расстоянию; таким образом, его малая полуось равна нулю, а эксцентриситет равен единице. В результате получается отрезок прямой (вырожденный, поскольку эллипс не дифференцируем в конечных точках) с фокусами в конечных точках. В качестве орбиты это радиальная эллиптическая траектория .

Точки для определения

Общая коника определяется пятью точками : если даны пять точек в общем положении , то через них проходит единственная коника. Если три из этих точек лежат на прямой, то коника приводима и может быть единственной, а может и не быть единственной. Если никакие четыре точки не лежат на одной прямой, то пять точек определяют уникальную конику (вырожденную, если три точки лежат на одной прямой, но две другие точки определяют уникальную другую линию). Однако если четыре точки лежат на одной прямой, то через них не проходит уникальная коника — одна линия проходит через четыре точки, а оставшаяся линия проходит через другую точку, но угол не определен, оставляя 1 параметр свободным. Если все пять точек лежат на одной прямой, то оставшаяся линия свободна, что оставляет свободными 2 параметра.

Учитывая четыре точки, находящиеся в общем линейном положении (никаких трех коллинеарных; в частности, нет двух совпадающих), через них проходят ровно три пары прямых (вырожденных коник), которые, вообще говоря, будут пересекающимися, если только точки не образуют трапецию ( одну пара параллельна) или параллелограмм (две пары параллельны).

Учитывая три точки, если они неколлинеарны, через них проходят три пары параллельных линий — выберите две, чтобы определить одну линию, и третью, чтобы параллельная линия проходила, согласно постулату параллельности .

Учитывая две различные точки, через них проходит уникальная двойная линия.

Примечания

1. Дается более простая параметризация, которая представляет собой аффинные комбинации уравнений и соответствующие параллельные вертикальные и горизонтальные линии, что приводит к вырожденным коникам, падающим в стандартные точки ${\displaystyle ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle y^{2}=1,}$ ${\displaystyle 0,1,\infty .}$

Рекомендации

1. (Лэсли-младший, 1957)
2. (Испания, 2007 г.)
3. (Петтофреззо, 1978)

• Коффман, Адам, Линейные системы коник, заархивировано из оригинала 2 июля 2018 г. , получено 3 июля 2013 г.
• Фосетт, Уильям Марк (январь 1996 г.), «Геометрическая интерпретация решения общего полинома четвертой степени», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX  10.1.1.111.5574 , JSTOR  2975214
• Лэсли-младший, JW (май 1957 г.), «О вырожденных кониках», The American Mathematical Monthly , 64 (5), Математическая ассоциация Америки : 362–364, JSTOR  2309606
• Леви, Гарри (1964), Проективная и родственная геометрия , Нью-Йорк: The Macmillan Co., стр. x+405.
• Милн, Дж. Дж. (январь 1926 г.), «Заметка о вырожденных кониках», The Mathematical Gazette , 13 (180), The Mathematical Association: 7–9, JSTOR  3602237
• Петтофрезцо, Энтони (1978) [1966], Матрицы и преобразования , Дувр, ISBN 978-0-486-63634-4
• Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics , Дувр, ISBN 0-486-45773-7
• «7.2 Общее квадратное уравнение», Стандартные математические таблицы и формулы CRC (30-е изд.)