Остаток (комплексный анализ)

Атрибут математической функции

В математике , а точнее в комплексном анализе , остаток представляет собой комплексное число, пропорциональное контурному интегралу мероморфной функции вдоль пути, охватывающего одну из ее особенностей . (В более общем смысле, вычеты можно вычислить для любой голоморфной функции, за исключением дискретных точек { a _k } _k , даже если некоторые из них являются существенными особенностями .) Вычеты можно вычислить довольно легко, и, если они известны, они позволяют определить общие контурные интегралы с помощью теоремы о вычетах . ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

Определение

Вычет мероморфной функции в изолированной особенности , часто обозначаемый , или , является уникальным значением , имеющим аналитическую первообразную в проколотом диске . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$

Альтернативно, остатки можно рассчитать, найдя разложения в ряд Лорана , и можно определить остаток как коэффициент a _-1 ряда Лорана.

Эта концепция может быть использована для получения значений контурного интегрирования некоторых задач контурного интеграла, рассматриваемых в теореме о вычетах . Согласно теореме о вычетах , для мероморфной функции вычет в точке задается как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.}$

где γ — положительно ориентированная простая замкнутая кривая вокруг кривой , не включающая никаких других особенностей на кривой или внутри нее. ${\displaystyle a_{k}}$

Определение вычета можно обобщить на произвольные римановы поверхности . Пусть – 1-форма на римановой поверхности. Пусть в некоторой точке мероморфен , так что в локальных координатах можно записать как . Затем остаток at определяется как остаток в точке, соответствующей . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(z)\;dz}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle x}$

Контурная интеграция

Контурный интеграл монома

Вычисление остатка монома

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

упрощает выполнение большинства вычислений остатков. Поскольку вычисления интеграла по траекториям гомотопически инвариантны, мы будем считать круг радиусом, идущим против часовой стрелки. Тогда, используя замену координат, находим, что ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

следовательно, наш интеграл теперь читается как

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Таким образом, остаток равен 1, если целое число , и 0 в противном случае. ${\displaystyle z^{k}}$ ${\displaystyle k=-1}$

Обобщение на ряд Лорана

Если функция выражается как разложение в ряд Лорана вокруг c следующим образом:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}}$$

в ряд Лорана ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Применение в теореме о вычетах

Для мероморфной функции с конечным набором особенностей внутри положительно ориентированной простой замкнутой кривой , которая не проходит ни через одну особенность, значение контурного интеграла определяется в соответствии с теоремой о вычетах как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

${\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle C}$

Расчет остатков

Предположим, проколотый диск D = { z  : 0 < | г - с | < R } в комплексной плоскости задано, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Остаток Res( f , c ) f в точке c является коэффициентом a ₋₁ числа ( z − c ) ⁻¹ в разложении f в ряд Лорана вокруг c . Существуют различные методы вычисления этой величины, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и природы особенности.

По теореме о вычетах имеем:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

где γ очерчивает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через нее и не содержит в себе других особенностей. Мы можем выбрать путь γ как круг радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть малым по нашему желанию, его можно заставить содержать только особенность c из-за природы изолированных особенностей. Это можно использовать для расчета в тех случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения расчета интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

If the function f can be continued to a holomorphic function on the whole disk ${\displaystyle |y-c|<R}$, then Res(f, c) = 0. The converse is not generally true.

Simple poles

At a simple pole c, the residue of f is given by:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

If that limit does not exist, there is an essential singularity there. If it is 0 then it is either analytic there or there is a removable singularity. If it is equal to infinity then the order is higher than 1.

It may be that the function f can be expressed as a quotient of two functions, ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$, where g and h are holomorphic functions in a neighbourhood of c, with h(c) = 0 and h'(c) ≠ 0. In such a case, L'Hôpital's rule can be used to simplify the above formula to:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Limit formula for higher-order poles

More generally, if c is a pole of order n, then the residue of f around z = c can be found by the formula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

This formula can be very useful in determining the residues for low-order poles. For higher-order poles, the calculations can become unmanageable, and series expansion is usually easier. For essential singularities, no such simple formula exists, and residues must usually be taken directly from series expansions.

Residue at infinity

In general, the residue at infinity is defined as:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

If the following condition is met:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

then the residue at infinity can be computed using the following formula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

If instead

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

then the residue at infinity is

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

For holomorphic functions the sum of the residues at the isolated singularities plus the residue at infinity is zero which gives:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).}$

Series methods

If parts or all of a function can be expanded into a Taylor series or Laurent series, which may be possible if the parts or the whole of the function has a standard series expansion, then calculating the residue is significantly simpler than by other methods. The residue of the function is simply given by the coefficient of ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$ in the Laurent series expansion of the function.

Examples

Residue from series expansion

Example 1

As an example, consider the contour integral

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

where C is some simple closed curve about 0.

Давайте вычислим этот интеграл, используя стандартный результат сходимости при интегрировании в ряд. Мы можем заменить подынтегральное выражение рядом Тейлора . Тогда интеграл становится ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Приведем в ряд множитель 1/ z ^{5 .} Тогда контурный интеграл ряда запишет

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

Поскольку ряд сходится равномерно на носителе пути интегрирования, нам разрешено менять местами интегрирование и суммирование. Затем ряд интегралов по траекториям схлопывается до гораздо более простой формы из-за предыдущих вычислений. Итак, теперь интеграл вокруг C любого другого члена, отличного от формы cz ⁻¹ , равен нулю, и интеграл сводится к

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

Стоимость 1/4! является остатком e z ^/ z ⁵ при z = 0 и обозначается

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

Пример 2

В качестве второго примера рассмотрим вычисление вычетов в особенностях функции

$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$

z

$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$

zустранимой особенностьюzzgzzа

$${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$$

gzza

$${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$

gzza

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$

z

$${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$

fzz

Пример 3

Следующий пример показывает, что при вычислении вычета разложением в ряд главную роль играет теорема обращения Лагранжа . Позволять

$${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$

целой функцией

$${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$

, ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v(z)}$ ${\textstyle V(z)}$ ${\textstyle u(1/V(z))}$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$

${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$ ${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$

$${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$

$${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$

${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$

Заметим, что при соответствующих более сильных симметричных предположениях относительно и из этого также следует ${\textstyle u(z)}$ ${\textstyle v(z)}$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$

${\textstyle U(z)}$ ${\textstyle u(z)}$

Смотрите также

• Теорема о вычетах связывает контурный интеграл вокруг некоторых полюсов функции с суммой их вычетов.
• Интегральная формула Коши
• Интегральная теорема Коши
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Мореры
• Частные дроби в комплексном анализе

Рекомендации

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . МакГроу Хилл.
• Марсден, Джеррольд Э.; Хоффман, Майкл Дж. (1998). Базовый комплексный анализ (3-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Внешние ссылки

• «Вычет аналитической функции», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Сложный остаток». Математический мир .