Расширение серии

Выражение функции как бесконечной суммы более простых функций

Анимация, показывающая аппроксимацию функции косинуса путем последовательных усечений ее ряда Маклорена .

В математике разложение в ряд — это метод, который выражает функцию как бесконечную сумму или ряд более простых функций. Это метод вычисления функции , которую невозможно выразить с помощью элементарных операторов (сложения, вычитания, умножения и деления). ^[1]

Получающийся в результате так называемый ряд часто может быть ограничен конечным числом членов, что дает аппроксимацию функции. Чем меньше членов последовательности используется, тем проще будет это приближение. Часто результирующая неточность (т. е. частичная сумма пропущенных членов) может быть описана уравнением, включающим обозначение Big O (см. также асимптотическое разложение ). Разложение в ряд на открытом интервале также будет приближением для неаналитических функций . ^{[2] [ нужна проверка ]}

Виды расширения серии

Существует несколько видов расширений серий, перечисленных ниже.

Серия Тейлора

Ряд Тейлора — это степенной ряд , основанный на производных функции в одной точке. ^[3] Более конкретно, если функция бесконечно дифференцируема вокруг точки , то ряд Тейлора f вокруг этой точки задается формулой ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

согласно конвенции . ^{[3] [4]} Ряд Маклорена функции f — это ряд Тейлора относительно . ^{[5] [4]} ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$

Лоран серии

Ряд Лорана является обобщением ряда Тейлора, допускающим члены с отрицательными показателями; оно принимает форму и сходится в кольце . ^[6] В частности, ряд Лорана можно использовать для изучения поведения комплексной функции вблизи особенности, рассматривая разложение в ряд по кольцу с центром в особенности. ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$

Серия Дирихле

Сходимость и расходимость частичных сумм ряда Дирихле, определяющих дзета-функцию Римана . Здесь желтая линия представляет первые пятьдесят последовательных частичных сумм, которые представляет пурпурная пунктирная линия , а зеленая точка представляет собой изменение s от -0,5 до 1,5. ${\textstyle \sum _{n=1}^{k}n^{-s},}$ ${\displaystyle {\tfrac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s),}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

Общий ряд Дирихле представляет собой ряд вида Одним из важных частных случаев является обычный ряд Дирихле ^[7] , используемый в теории чисел . ^{[ нужна цитата ]} ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

ряд Фурье

Ряд Фурье представляет собой разложение периодических функций как сумму многих функций синуса и косинуса . ^[8] Более конкретно, ряд Фурье функции периода определяется выражением ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle 2L}$

$${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$$

^{[8] [9]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt,\\b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.\end{aligned}}}$$

Другая серия

Например, в акустике основной тон и обертоны вместе образуют пример ряда Фурье. ^{[ нужна цитата ]}

Ньютоновский ^{ряд _ _}

Полиномы Лежандра : используются в физике для описания произвольного электрического поля как суперпозиции дипольного поля , квадрупольного поля, октупольного поля и т ^{. д .}

Полиномы Цернике : используются в оптике для расчета аберраций оптических систем. Каждый термин в этой серии описывает определенный тип аберрации. ^{[ нужна цитата ]}

Относительная ошибка в усеченном ряду Стирлинга в зависимости от n для членов от 0 до 5. Изломы кривых соответствуют точкам совпадения усеченного ряда с ${\displaystyle \Gamma (n+1).}$

Серия «Стирлинг »

$${\displaystyle {\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}$$

гамма-функции^[10]

Примеры

Ниже приводится ряд Тейлора : ${\displaystyle e^{x}}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...}$$

^{[11] [12]}

Ряд Дирихле дзета-функции Римана равен

$${\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots }$$

^[7]

Рекомендации

1. «Серии и расширения». Математика LibreTexts . 07.11.2013 . Проверено 24 декабря 2021 г.
2. Гил, Ампаро; Сегура, Хавьер; Темме, Нико М. (1 января 2007 г.). Численные методы для специальных функций. СИАМ. ISBN 978-0-89871-782-2.
3. "Серия Тейлора - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . 27 декабря 2013 года . Проверено 22 марта 2022 г.
4. Эдвардс, К. Генри; Пенни, Дэвид Э. (2008). Элементарные дифференциальные уравнения с краевыми задачами . п. 196. ИСБН 978-0-13-600613-8.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Серия Маклорена». mathworld.wolfram.com . Проверено 22 марта 2022 г.
6. "Серия Лорана - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 22 марта 2022 г.
7. "Серия Дирихле - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . 26 января 2022 г. . Проверено 22 марта 2022 г.
8. "Ряд Фурье - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 22 марта 2022 г.
9. Эдвардс, К. Генри; Пенни, Дэвид Э. (2008). Элементарные дифференциальные уравнения с краевыми задачами . стр. 558, 564. ISBN. 978-0-13-600613-8.
10. «DLMF: 5.11 Асимптотические разложения». dlmf.nist.gov . Проверено 22 марта 2022 г.
11. Вайсштейн, Эрик В. «Экспоненциальная функция». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2021 г.
12. «Показательная функция - Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . 5 июня 2020 г. Проверено 12 августа 2021 г.