Вязкопластичность

Теория в механике сплошных сред

Рис. 1. Элементы, используемые в одномерных моделях вязкопластических материалов.

Вязкопластичность - это теория механики сплошной среды , которая описывает неупругое поведение твердых тел в зависимости от скорости. Зависимость от скорости в этом контексте означает, что деформация материала зависит от скорости приложения нагрузок . ^[1] Неупругое поведение, которое является предметом вязкопластичности, представляет собой пластическую деформацию , что означает, что материал подвергается неустранимым деформациям при достижении уровня нагрузки. Зависимая от скорости пластичность важна для расчетов переходной пластичности. Основное различие между моделями пластических и вязкопластических материалов, не зависящих от скорости, заключается в том, что последние демонстрируют не только постоянные деформации после приложения нагрузок, но и продолжают испытывать ползучее течение в зависимости от времени под действием приложенной нагрузки.

Упругая реакция вязкопластических материалов может быть представлена ​​в одномерном виде пружинными элементами Гука . Зависимость от скорости может быть представлена ​​нелинейными элементами черточки аналогично вязкоупругости . Пластичность можно учесть путем добавления фрикционных элементов скольжения , как показано на рисунке 1. ^[2] На рисунке E — модуль упругости , λ — параметр вязкости , а N — параметр степенного типа, который представляет собой нелинейную приборную панель [ σ(dε/dt)= σ = λ(dε/dt) ^(1/N) ]. Элемент скольжения может иметь предел текучести (σ _y ), который зависит от скорости деформации или даже постоянен, как показано на рисунке 1c.

Вязкопластичность обычно моделируется в трех измерениях с использованием моделей перенапряжения типа Пержины или Дюво-Лайонса. ^[3] В этих моделях напряжению разрешено выходить за пределы независимой от скорости поверхности текучести при приложении нагрузки, а затем со временем релаксировать обратно к поверхности текучести. В таких моделях обычно предполагается, что поверхность текучести не зависит от скорости. Альтернативный подход состоит в том, чтобы добавить к пределу текучести зависимость от скорости деформации и использовать методы независимой от скорости пластичности для расчета реакции материала ^[4].

Для металлов и сплавов вязкопластичность — это макроскопическое поведение, вызванное механизмом, связанным с движением дислокаций в зернах , с наложенными эффектами межкристаллитного скольжения. Этот механизм обычно становится доминирующим при температурах, превышающих примерно одну треть абсолютной температуры плавления. Однако некоторые сплавы проявляют вязкопластичность при комнатной температуре (300 К). Для полимеров , древесины и битума теория вязкопластичности необходима для описания поведения за пределами эластичности или вязкоупругости .

В целом теории вязкопластичности полезны в таких областях, как:

• расчет остаточных деформаций,
• прогнозирование пластического обрушения конструкций,
• исследование стабильности,
• симуляции аварий,
• системы, подвергающиеся воздействию высоких температур, такие как турбины в двигателях, например, электростанции,
• динамические проблемы и системы, подверженные высоким скоростям деформации.

История

Исследования теорий пластичности начались в 1864 году с работы Анри Трески , ^[5] Сен-Венана (1870) и Леви (1871) ^[6] по критерию максимального сдвига . ^[7] Улучшенная модель пластичности была представлена ​​в 1913 году фон Мизесом ^[8] , которая теперь называется критерием текучести фон Мизеса . В области вязкопластичности разработка математической модели началась в 1910 году, когда первичная ползучесть была представлена ​​законом Андраде. ^[9] В 1929 году Нортон ^[10] разработал одномерную модель, которая связала скорость вторичной ползучести с напряжением. В 1934 г. Одквист ^[11] обобщил закон Нортона на многоосный случай.

Такие понятия, как нормальность пластического течения к поверхности текучести и правила течения пластичности, были введены Прандтлем ( 1924) ^[12] и Ройссом (1930). ^[13] В 1932 году Хоэнемсер и Прагер ^[14] предложили первую модель медленного вязкопластического течения. Эта модель обеспечила связь между девиаторным напряжением и скоростью деформации для несжимаемого твердого тела Бингама ^[15] . Однако применение этих теорий началось только в 1950 году, когда были открыты предельные теоремы.

В 1960 году первый симпозиум IUTAM «Ползучесть в конструкциях», организованный Хоффом ^[16], обеспечил значительное развитие вязкопластичности благодаря работам Хоффа, Работнова, Пержины, Хульта и Леметра по законам изотропного упрочнения , а также работам Краточвиля, Малинини. и Хаджинский, Понтер и Леки и Шабош за законы кинематического упрочнения . Пержина в 1963 году ввел коэффициент вязкости, зависящий от температуры и времени. ^[17] Сформулированные модели были подкреплены термодинамикой необратимых процессов и феноменологической точкой зрения. Идеи, представленные в этих работах, легли в основу большинства последующих исследований пластичности, зависящей от скорости.

Феноменология

Для качественного анализа проводится несколько характерных тестов, описывающих феноменологию вязкопластических материалов. Некоторые примеры этих тестов: ^[9]

1. испытания на закалку при постоянном напряжении или скорости деформации,
2. испытания на ползучесть при постоянной силе и
3. релаксация напряжений при постоянном удлинении.

Испытание на деформационное упрочнение

Рисунок 2. Реакция напряжения-деформации вязкопластического материала при различных скоростях деформации. Пунктирные линии показывают реакцию, если скорость деформации остается постоянной. Синяя линия показывает реакцию при внезапном изменении скорости деформации.

Одним из последствий текучести является то, что по мере продолжения пластической деформации требуется увеличение напряжения для создания дополнительной деформации . Это явление известно как деформационно-деформационное упрочнение . ^[18] Для вязкопластического материала кривые затвердевания существенно не отличаются от кривых твердения пластического материала, не зависящего от скорости. Тем не менее, можно отметить три существенных различия.

1. При одинаковой деформации, чем выше скорость деформации, тем выше напряжение.
2. Изменение скорости деформации во время испытания приводит к немедленному изменению кривой растяжения.
3. Концепция предела текучести пластика больше не является строго применимой.

Гипотеза о разделении деформаций путем разделения упругой и пластической частей все еще применима там, где деформации малы, ^[3] т.е.

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

где – упругая деформация, – вязкопластическая деформация. Чтобы получить поведение напряжение-деформация, показанное синим цветом на рисунке, материал первоначально нагружается со скоростью деформации 0,1/с. Затем скорость деформации мгновенно повышается до 100/с и удерживается на этом уровне постоянным в течение некоторого времени. В конце этого периода времени скорость деформации мгновенно падает до 0,1/с, и цикл продолжается для увеличения значений деформации. Очевидно, что существует задержка между изменением скорости деформации и реакцией на стресс. Это отставание довольно точно моделируется моделями перенапряжения (такими как модель Пержины), но не моделями пластичности, не зависящей от скорости, которые имеют предел текучести, зависящий от скорости. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

Испытание на ползучесть

Ползучесть – это тенденция твердого материала медленно перемещаться или постоянно деформироваться под постоянными нагрузками. Испытания на ползучесть измеряют реакцию деформации из-за постоянного напряжения, как показано на рисунке 3. Классическая кривая ползучести представляет собой эволюцию деформации как функцию времени в материале, подвергающемся одноосному напряжению при постоянной температуре. Например, испытание на ползучесть выполняется путем приложения постоянной силы/напряжения и анализа реакции системы на деформацию. В целом, как показано на рисунке 3б, эта кривая обычно показывает три фазы или периода поведения ^[9].

1. Первичная стадия ползучести , также известная как переходная ползучесть, представляет собой начальную стадию, во время которой затвердевание материала приводит к снижению скорости течения, которая изначально очень высока. . ${\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}$
2. Вторичная стадия ползучести , также известная как установившееся состояние, представляет собой состояние, при котором скорость деформации постоянна. . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}$
3. Третичная фаза ползучести , при которой происходит увеличение скорости деформации до деформации разрушения. . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}$

Тест на релаксацию

Рисунок 4. а) Приложенная деформация в тесте на релаксацию и б) наведенное напряжение в зависимости от времени в течение короткого периода для вязкопластического материала.

Как показано на рисунке 4, тест на релаксацию ^[19] определяется как реакция на стресс из-за постоянной деформации в течение определенного периода времени. В вязкопластических материалах релаксационные испытания демонстрируют релаксацию напряжений при одноосном нагружении при постоянной деформации. Фактически, эти испытания характеризуют вязкость и могут быть использованы для определения связи, существующей между напряжением и скоростью вязкопластической деформации. Разложение скорости деформации

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}$

Упругая часть скорости деформации определяется выражением

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$

Для плоской области кривой «деформация-время» общая скорость деформации равна нулю. Следовательно, мы имеем,

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$

Следовательно, кривая релаксации может использоваться для определения скорости вязкопластической деформации и, следовательно, вязкости демпфера в одномерной модели вязкопластического материала. Остаточное значение, которое достигается, когда напряжение стабилизируется в конце теста на релаксацию, соответствует верхнему пределу упругости. Для некоторых материалов, таких как каменная соль, такой верхний предел упругости достигается при очень малом значении напряжения, и испытания на релаксацию могут продолжаться более года без какого-либо заметного плато в напряжении.

Важно отметить, что тесты на релаксацию чрезвычайно сложно выполнять, поскольку поддержание состояния во время теста требует значительной деликатности. ^[20] ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}$

Реологические модели вязкопластичности

К одномерным конститутивным моделям вязкопластичности на основе пружинно-рычажных элементов относятся ^[3] идеально вязкопластическое тело, упругое идеально вязкопластическое тело и упруговязкопластическое затвердевающее тело. Элементы могут быть соединены последовательно или параллельно . В моделях, в которых элементы соединены последовательно, деформация аддитивна, а напряжение одинаково в каждом элементе. При параллельных соединениях напряжение аддитивно, а деформация одинакова в каждом элементе. Многие из этих одномерных моделей можно обобщить до трехмерного режима малой деформации. В последующем обсуждении временные скорости деформации и напряжения записываются как и соответственно. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$

Идеально вязкопластическое твердое тело (модель Нортона-Хоффа)

Рисунок 5. Модель Нортона-Хоффа для идеально вязкопластического твердого тела.

В идеально вязкопластическом твердом теле, также называемом моделью вязкопластичности Нортона-Хоффа, напряжение (как и в вязких жидкостях) является функцией скорости постоянной деформации. В модели пренебрегается эффектом упругости, т. е. и, следовательно, отсутствует начальный предел текучести, т. е. . Вязкая приборная панель имеет ответ, заданный ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{y}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}$

где вязкость дешпота. В модели Нортона-Хоффа вязкость является нелинейной функцией приложенного напряжения и определяется выражением ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}}$

где – подгоночный параметр, λ – кинематическая вязкость материала и . Тогда скорость вязкопластической деформации определяется соотношением ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}}$

В одномерной форме модель Нортона-Хоффа можно выразить как

${\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}$

Когда твердое тело вязкоупругое . ${\displaystyle N=1.0}$

Если предположить, что пластическое течение изохорно (с сохранением объема), то указанное соотношение можно выразить в более знакомой форме ^[21]

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}$

где – тензор девиаторных напряжений , – эквивалентная скорость деформации по Мизесу, – параметры материала. Эквивалентная скорость деформации определяется как ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle K,m}$

${\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}$

Эти модели могут применяться к металлам и сплавам при температурах выше двух третей ^[21] их абсолютной температуры плавления (в Кельвинах), а также к полимерам/асфальту при повышенной температуре. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 6.

Упругое идеально вязкопластическое тело (модель Бингама – Нортона).

Рисунок 7. Эластичный идеально вязкопластический материал.

Для создания упруго-идеально вязкопластического режима можно использовать два типа элементарных подходов. В первом случае элемент трения скольжения и приборная панель расположены параллельно, а затем последовательно соединены с упругой пружиной, как показано на рисунке 7. Эта модель называется моделью Бингама -Максвелла (по аналогии с моделью Максвелла и моделью Бингама) . модель ) или модель Бингама–Нортона . ^[22] Во второй ситуации все три элемента расположены параллельно. Такая модель называется моделью Бингама-Кельвина по аналогии с моделью Кельвина .

Для упруго-идеально вязкопластических материалов упругая деформация больше не считается пренебрежимо малой, но скорость пластической деформации является функцией только начального предела текучести, и влияние упрочнения отсутствует. Скользящий элемент представляет собой постоянное напряжение текучести при превышении предела упругости независимо от деформации. Модель может быть выражена как

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$

где вязкость элемента приборной панели. Если элемент Dashpot имеет ответ в форме Norton ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}$

мы получаем модель Бингама-Нортона

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$

В литературе ^[22] можно встретить и другие выражения для скорости деформации общего вида

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$

Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 8.

Эластовязкопластическое затвердевающее твердое вещество

Упруговязкопластический материал с деформационным упрочнением описывается уравнениями, аналогичными уравнениям упруговязкопластического материала с идеальной пластичностью. Однако в этом случае напряжение зависит как от скорости пластической деформации, так и от самой пластической деформации. Для эластовязкопластического материала напряжение после превышения предела текучести продолжает увеличиваться за пределы начального предела текучести. Это означает, что предел текучести в элементе скольжения увеличивается с деформацией, и модель можно выразить в общих терминах как

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$.

Эта модель применяется, когда металлы и сплавы находятся при средних и более высоких температурах, а древесина - при высоких нагрузках. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 9.

Модели пластичности, зависящие от скорости деформации

Классические феноменологические модели вязкопластичности для малых деформаций обычно делят на два типа: ^[3]

• формулировка Пержины
• формулировка Дюво – Лионса

Состав Пержины

В формулировке Пержины предполагается, что скорость пластической деформации задается определяющим соотношением вида

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}}$

где – функция текучести , – напряжение Коши , – набор внутренних переменных (таких как пластическая деформация ), – время релаксации. Обозначения обозначают скобки Маколея . Правило потока, используемое в различных версиях модели Шабоша , является частным случаем правила потока Пержины ^[23] и имеет вид ${\displaystyle f(.,.)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}sign({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}$

где – квазистатическое значение и – обратное напряжение . Некоторые модели спинки также называются моделью Chaboche . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}$

Формулировка Дюво – Лионса

Формулировка Дюво-Лайонса эквивалентна формулировке Перзины и может быть выражена как

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}}$

где – тензор упругой жесткости, – ближайшая точка проекции напряженного состояния на границу области, ограничивающей все возможные упругие напряженные состояния. Величина обычно находится из независимого от скорости решения задачи пластичности. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

Модели напряжения течения

Величина представляет собой эволюцию поверхности текучести . Функция текучести часто выражается как уравнение, состоящее из некоторого инварианта напряжения и модели предела текучести (или напряжения пластического течения). Пример — фон Мизес или пластичность. В этих ситуациях скорость пластической деформации рассчитывается так же, как и при пластичности, не зависящей от скорости. В других ситуациях модель предела текучести обеспечивает прямое средство расчета скорости пластической деформации. ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Для расчета пластичности используются многочисленные эмпирические и полуэмпирические модели напряжения течения. Следующие модели, зависящие от температуры и скорости деформации, представляют собой выборку моделей, используемых в настоящее время:

1. модель Джонсона – Кука
2. модель Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда.
3. модель Зерилли-Армстронга.
4. Модель механического порогового напряжения.
5. модель Престона-Тонкса-Уоллеса.

Модель Джонсона-Кука (Дж.К.) ^[24] является чисто эмпирической и является наиболее широко используемой из пяти. Однако эта модель демонстрирует нереально малую зависимость скорости деформации при высоких температурах. Модель Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда (SCGL) ^{[25] [26]} является полуэмпирической. Модель является чисто эмпирической и не зависит от скорости деформации при высоких скоростях деформации. Дислокационное растяжение, основанное на ^[27] , используется при низких скоростях деформации. Модель SCGL широко используется сообществом физиков ударных волн. Модель Зерилли-Армстронга (ZA) ^[28] представляет собой простую физически обоснованную модель, которая широко используется. Более сложная модель, основанная на идеях динамики дислокаций, — это модель механического порогового напряжения (MTS). ^[29] Эта модель использовалась для моделирования пластической деформации меди, тантала, ^[30] сплавов стали, ^{[31] [32]} и алюминиевых сплавов. ^[33] Однако модель MTS ограничена скоростями деформации менее 10 ⁷ /с. Модель Престона-Тонкса-Уоллеса (PTW) ^[34] также физически обоснована и имеет форму, аналогичную модели MTS. Однако модель PTW имеет компоненты, которые могут моделировать пластическую деформацию в режиме перегруженной ударной нагрузки (скорости деформации более 10 ⁷ /с). Следовательно, эта модель действительна для самого большого диапазона скоростей деформации среди пяти моделей напряжения течения.

Модель напряжения течения Джонсона – Кука

Модель Джонсона-Кука (Дж.К.) ^[24] является чисто эмпирической и дает следующее соотношение для напряжения течения ( ) ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}$

где – эквивалентная пластическая деформация , – скорость пластической деформации , – константы материала. ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle A,B,C,n,m}$

Нормированные скорость деформации и температура в уравнении (1) определяются как

${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}}$

где – эффективная скорость пластической деформации квазистатического испытания, используемая для определения предела текучести и параметров упрочнения A, B и n. Это не просто параметр, который нужно сделать безразмерным, как часто думают. ^[35] представляет собой эталонную температуру и является эталонной температурой плавления . Для условий где мы предполагаем, что . ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T^{*}<0}$ ${\displaystyle m=1}$

Модель напряжения течения Стейнберга – Кокрана – Гинана – Лунда

Модель Стейнберга-Кокрана-Гинана-Лунда (SCGL) представляет собой полуэмпирическую модель, разработанную Стейнбергом и др. ^[25] для ситуаций с высокой скоростью деформации и распространено на низкие скорости деформации и ОЦК-материалы Стейнбергом и Лундом. ^[26] Напряжение течения в этой модели определяется выражением

${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$

где – атермическая составляющая напряжения течения, – функция, представляющая деформационное упрочнение, – термически активируемая составляющая напряжения течения, – модуль сдвига, зависящий от давления и температуры, и – модуль сдвига при стандартной температуре и давлении. Величина насыщения атермического напряжения равна . Насыщением термоактивированного напряжения является напряжение Пайерлса ( ). Модуль сдвига для этой модели обычно рассчитывается с помощью модели модуля сдвига Стейнберга-Кокрана-Гинана . ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \mu (p,T)}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

Функция деформационного упрочнения ( ) имеет вид ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}}$

где – параметры наклепа, – начальная эквивалентная пластическая деформация. ${\displaystyle \beta ,n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}i}$

Тепловая составляющая ( ) вычисляется с использованием алгоритма деления пополам из следующего уравнения. ^{[26] [27]} ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$

где - энергия образования пары изломов на дислокационном сегменте длиной , - постоянная Больцмана , - напряжение Пайерлса . Константы задаются соотношениями ${\displaystyle 2U_{k}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}$

где - плотность дислокаций , - длина сегмента дислокации, - расстояние между долинами Пайерлса, - величина вектора Бюргерса , - частота Дебая , - ширина петли излома , - коэффициент сопротивления . ${\displaystyle \rho _{d}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle D}$

Модель напряжения течения Зерилли – Армстронга

Модель Зерилли-Армстронга (ZA) ^{[28] [36] [37]} основана на упрощенной механике дислокаций. Общий вид уравнения для напряжения течения имеет вид

${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.}$

В этой модели – атермическая составляющая напряжения течения, определяемая выражением ${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},}$

где – вклад растворенных веществ и начальной плотности дислокаций, – интенсивность микроструктурных напряжений, – средний диаметр зерна, – ноль для ГЦК-материалов, – константы материала. ${\displaystyle \sigma _{g}}$ ${\displaystyle k_{h}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B,B_{0}}$

В термически активированных терминах функциональные формы показателей и ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});}$

где – параметры материала, зависящие от типа материала (ГЦК, ОЦК, ГПУ, сплавы). Модель Зерилли-Армстронга была модифицирована в ^[38] для улучшения характеристик при высоких температурах. ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}$

Механическое пороговое напряжение Модель напряжения потока

Модель механического порогового напряжения (MTS) ^{[29] [39] [40]} ) имеет вид

${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}$

где – атермическая составляющая механического порогового напряжения, – составляющая напряжения течения, обусловленная собственными барьерами для термоактивированного движения дислокаций и дислокационно-дислокационного взаимодействия, – составляющая напряжения течения, обусловленная микроструктурной эволюцией с ростом деформации (деформационным упрочнением) , ( ) — масштабные коэффициенты, зависящие от температуры и скорости деформации, а — модуль сдвига при 0 К и давлении окружающей среды. ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle S_{i},S_{e}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Коэффициенты масштабирования принимают форму Аррениуса .

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}$

где – константа Больцмана, – величина вектора Бюргерса, ( ) – нормированные энергии активации, ( ) – скорость деформации и эталонная скорость деформации, ( ) – константы. ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g_{0i},g_{0e}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}}$ ${\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}$

Деформационно-упрочняющая составляющая механического порогового напряжения ( ) определяется эмпирическим модифицированным законом Воса ${\displaystyle \sigma _{e}}$

${\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}}$

– упрочнение за счет накопления дислокаций, – вклад упрочнения IV стадии, ( ) – константы, – напряжение при нулевой скорости упрочнения, – пороговое напряжение насыщения для деформации при 0 К, – константа, – максимальная скорость деформации. Обратите внимание, что максимальная скорость деформации обычно ограничивается величиной около / с. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{IV}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{es}}$ ${\displaystyle \sigma _{0es}}$ ${\displaystyle g_{0es}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle 10^{7}}$

Модель напряжения течения Престона – Тонкса – Уоллеса

Модель Престона-Тонкса-Уоллеса (PTW) ^[34] пытается предоставить модель напряжения течения для экстремальных скоростей деформации (до 10 ¹¹ /с) и температур вплоть до плавления. В модели используется линейный закон ужесточения Воса. Напряжение течения PTW определяется выражением

${\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}$

с

${\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1}$

где – нормированное напряжение насыщения при наклепе, – значение при 0К, – нормированный предел текучести, – константа упрочнения в законе упрочнения Восе, – безразмерный параметр материала, модифицирующий закон упрочнения Восе. ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

Напряжение насыщения и предел текучести определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}}$

где – значение близкой к температуре расплава, ( ) – значения при 0 К и близкой к плавлению соответственно – константы материала, , ( ) – параметры материала для режима высоких скоростей деформации, ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle y_{0},y_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle (\kappa ,\gamma )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}$ ${\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}$

${\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}$

где – плотность, – атомная масса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• вязкоупругость
• Бингам пластик
• Дашпот
• Ползучесть (деформация)
• Пластичность (физика)
• Механика сплошных сред
• Квазитвердый

Рекомендации

1. Пержина, П. (1966), «Фундаментальные проблемы вязкопластичности», «Достижения в области прикладной механики» , 9 (2): 244–368.
2. Ж. Леметр и Ж. Л. Шабош (2002) «Механика твердых материалов» Издательство Кембриджского университета.
3. Симо, JC; Хьюз, TJR (1998), Вычислительная неэластичность
4. Батра, РЦ; Ким, CH (1990), «Влияние правил вязкопластического течения на возникновение и рост полос сдвига при высоких скоростях деформации», Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 38 (6): 859–874, Bibcode : 1990JMPSo.. 38..859Б, номер документа :10.1016/0022-5096(90)90043-4.
5. Треска, Х. (1864), «Sur l'écoulement des Corps Solides soumis à des fortes pressions», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 59 : 754–756.
6. Леви, М. (1871), «Extrait du mémoire sur les ramener à leur premier état», J Math Pures Appl , 16 : 369– 372.
7. Койич М. и Бате К.Дж. (2006), Неупругий анализ твердых тел и конструкций , Elsevier.
8. фон Мизес, Р. (1913) «Механика der festen Korper im plastisch deformablen Zustand». Gottinger Nachr, math-phys Kl 1913:582–592.
9. Беттен, Дж., 2005, Механика ползучести: 2-е изд. , Спрингер.
10. Нортон, FH (1929). Ползучесть стали при высоких температурах. McGraw-Hill Book Co., Нью-Йорк.
11. Одквист, FKG (1934) «Напряжения ползучести во вращающемся диске». Учеб. IV Межд. Конгресс прикладных технологий. Механика , Кембридж, с. 228.
12. Прандтль, Л. (1924) Материалы 1-го Международного конгресса по прикладной механике, Делфт.
13. Ройсс, А. (1930), "Berücksichtigung der elastischen Formänderung in der Plastizitätstheorie", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik , 10 (3): 266–274, Бибкод : 1930ZaMM...10..266R, doi : 10.1002/ замм.19300100308
14. Хоэнемсер, К.; Прагер, В. (1932), «Фундаментальные уравнения и определения механики изотропных непрерывных сред», Журнал реологии , 3 (1): 16, Бибкод : 1932JRheo...3...16H, doi : 10.1122/1.2116434
15. Бингхэм, ЕС (1922) Текучесть и пластичность. МакГроу-Хилл, Нью-Йорк.
16. Хофф, изд., 1962, Коллоквиум IUTAM «Поползновение структур»; 1-е место , Стэнфорд, Спрингер.
17. Люблинер, Дж. (1990) Теория пластичности , Macmillan Publishing Company, Нью-Йорк.
18. Янг, Mindness, Gray, ad Bentur (1998): «Наука и технология материалов для гражданского строительства», Прентис Холл, Нью-Джерси.
19. Франсуа Д., Пино А., Зауи А. (1993), Механическое поведение материалов, том II: вязкопластичность, повреждения, механика разрушения и контакта , Kluwer Academic Publishers.
20. Кристеску, Н. и Гиода, Г. (1994), Вязкопластическое поведение геоматериалов , Международный центр механических наук.
21. Раппаз, М., Беллет, М. и Девиль, М. (1998), Численное моделирование в материаловедении и инженерии , Springer.
22. Иргенс, Ф., (2008), Механика сплошных сред , Springer.
23. Джейкоб Люблинер (1990). Теория пластичности. Макмиллан. ISBN 978-0-02-372161-8. Проверено 6 декабря 2012 г.
24. Джонсон, Греция; Кук, WH (1983), «Конститутивная модель и данные для металлов, подвергающихся большим деформациям, высоким скоростям деформации и высоким» (PDF) , Труды 7-го Международного симпозиума по баллистике : 541–547 , получено 13 мая 2009 г.
25. Стейнберг, диджей; Кокран, С.Г.; Гинан, М.В. (1980), «Конститутивная модель металлов, применимая при высокой скорости деформации», Журнал прикладной физики , 51 (3): 1498, Бибкод : 1980JAP....51.1498S, doi : 10.1063/1.327799
26. Steinberg, диджей; Лунд, CM (1988), «Конститутивная модель для скоростей деформации от 10–4 до 106 с–1», Journal de Physique. Коллокесы , 49 (3): 3 , получено 13 мая 2009 г.
27. Хоге, КГ; Мукерджи, А.К. (1977), «Зависимость напряжения течения тантала от температуры и скорости деформации», Journal of Materials Science , 12 (8): 1666–1672, Бибкод : 1977JMatS..12.1666H, doi : 10.1007/BF00542818, S2CID  136966107
28. Зерилли, Ф.Дж.; Армстронг, Р.В. (1987), «Основные соотношения на основе механики дислокаций для расчетов динамики материалов», Journal of Applied Physics , 61 (5): 1816, Бибкод : 1987JAP....61.1816Z, doi : 10.1063/1.338024
29. Фоллансби, PS; Кокс, У. Ф. (1988), «Основное описание деформации меди, основанное на использовании механического порога», Acta Metallurgica , 36 (1): 81–93, doi : 10.1016/0001-6160(88)90030- 2
30. Чен, СР; Грей, GT (1996), «Основное поведение тантала и тантал-вольфрамовых сплавов», Metallurgical and Materials Transactions A , 27 (10): 2994–3006, Bibcode : 1996MMTA...27.2994C, doi : 10.1007/BF02663849, S2CID  136695336
31. Гото, DM; Гарретт, РК; Бингерт, Дж. Ф.; Чен, СР; Грей, GT (2000), «Описание модели конститутивной прочности механического порогового напряжения стали HY-100», Metallurgical and Materials Transactions A , 31 (8): 1985–1996, Бибкод : 2000MMTA...31.1985G, doi : 10.1007/s11661-000-0226-8, S2CID  136118687
32. Банерджи, Б. (2007), «Модель механического порогового напряжения для различных сортов стали AISI 4340», International Journal of Solids and Structures , 44 (3–4): 834–859, arXiv : cond-mat/0510330 , doi : 10.1016/j.ijsolstr.2006.05.022, S2CID  2166303
33. Пучи-Кабрера, ES; Вильялобос-Гутьеррес, К.; Кастро-Фаринас, Г. (2001), «О механическом пороговом напряжении алюминия: влияние содержания легирующих веществ», Журнал инженерных материалов и технологий , 123 (2): 155, doi : 10.1115/1.1354990
34. Престон, DL; Тонкс, Д.Л.; Уоллес, округ Колумбия (2003), «Модель пластической деформации для условий экстремальных нагрузок», Журнал прикладной физики , 93 (1): 211–220, Бибкод : 2003JAP....93..211P, doi : 10.1063/1.1524706
35. Швер http://www.dynalook.com/european-conf-2007/optional-strain-rate-forms-for-the-johnson-cook.pdf
36. Зерилли, Ф.Дж.; Армстронг, Р.В. (1994), «Установительные соотношения для пластической деформации металлов», Материалы конференции AIP , 309 (1): 989–992, Бибкод : 1994AIPC..309..989Z, doi : 10.1063/1.46201
37. Зерилли, Ф.Дж. (2004), «Основные уравнения на основе механики дислокаций», Metallurgical and Materials Transactions A , 35 (9): 2547–2555, doi : 10.1007/s11661-004-0201-x, S2CID  137397027
38. Абед, FH; Вояджис, Г.З. (2005), «Согласованная модифицированная модель напряжения течения Зерилли – Армстронга для металлов с ОЦК и ГЦК для повышенных условий», Acta Mechanica , 175 (1): 1–18, doi :10.1007/s00707-004-0203-1, S2CID  121579147
39. Гото, DM; Бингерт, Дж. Ф.; Рид, WR; Гарретт-младший, Р.К. (2000), «Моделирование удельной прочности MTS с коррекцией на анизотропию в стали HY-100», Scripta Materialia , 42 (12): 1125–1131, doi :10.1016/S1359-6462(00)00347-X
40. Кокс, УФ (2001), «Реалистичные определяющие соотношения для пластичности металлов», Materials Science and Engineering: A , 317 (1–2): 181–187, doi : 10.1016/S0921-5093(01)01174-1