Галилеевская инвариантность

Инвариантность Галилея или относительность Галилея утверждает, что законы движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта . Галилео Галилей впервые описал этот принцип в 1632 году в своём «Диалоге о двух главнейших системах мира» на примере корабля, движущегося с постоянной скоростью, без качки, по спокойному морю; любой наблюдатель под палубой не смог бы сказать, движется ли корабль или стоит.

Формулировка

В частности, термин «галилеевская инвариантность» сегодня обычно относится к этому принципу в применении к ньютоновской механике , то есть законы движения Ньютона справедливы во всех системах отсчета, связанных друг с другом преобразованием Галилея . Другими словами, все системы отсчета, связанные друг с другом таким преобразованием, являются инерциальными (то есть уравнение движения Ньютона справедливо в этих системах). В этом контексте его иногда называют ньютоновской относительностью .

Среди аксиом теории Ньютона:

Существует абсолютное пространство , в котором верны законы Ньютона. Инерциальная система отсчета — это система отсчета, которая находится в относительном равномерном движении по отношению к абсолютному пространству.
Все инерциальные системы отсчета имеют единое универсальное время .

Относительность Галилея можно показать следующим образом. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и S' . Физическое событие в S будет иметь координаты положения r = ( x , y , z ) и время t в S , и r' = ( x' , y' , z' ) и время t' в S' . Согласно второй аксиоме выше, можно синхронизировать часы в двух системах отсчета и предположить, что t = t' . Предположим, что S' находится в относительном равномерном движении к S со скоростью v . Рассмотрим точечный объект, положение которого задается функциями r' ( t ) в S' и r ( t ) в S. Мы видим, что

r'(t)=r(t)-vt.\,

Скорость частицы определяется производной по времени от ее положения:

u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.

Другое различие дает ускорение в двух системах отсчета:

a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).

Именно этот простой, но важный результат подразумевает относительность Галилея. Предполагая, что масса инвариантна во всех инерциальных системах, приведенное выше уравнение показывает, что законы механики Ньютона, если они справедливы в одной системе, должны выполняться для всех систем. ^[1] Но предполагается, что они выполняются в абсолютном пространстве, поэтому относительность Галилея выполняется.

Теория Ньютона против специальной теории относительности

Можно провести сравнение между теорией относительности Ньютона и специальной теорией относительности .

Некоторые предположения и свойства теории Ньютона:

Существование бесконечного числа инерциальных систем отсчета. Каждая система отсчета имеет бесконечный размер (вся вселенная может быть охвачена множеством линейно эквивалентных систем отсчета). Любые две системы отсчета могут находиться в относительно равномерном движении. (Релятивистская природа механики, полученная выше, показывает, что предположение об абсолютном пространстве не является необходимым.)
Инерциальные системы отсчета могут двигаться во всех возможных относительных формах равномерного движения.
Существует универсальное, или абсолютное, понятие прошедшего времени.
Две инерциальные системы отсчета связаны преобразованием Галилея .
Во всех инерциальных системах отсчета действуют законы Ньютона и гравитации.

Для сравнения, соответствующие утверждения специальной теории относительности выглядят следующим образом:

Существование также бесконечного множества неинерциальных систем отсчета, каждая из которых ссылается на (и физически определяется) уникальный набор пространственно-временных координат. Каждая система отсчета может иметь бесконечный размер, но ее определение всегда определяется локально контекстуальными физическими условиями. Любые две системы отсчета могут находиться в относительно неравномерном движении (при условии, что это условие относительного движения подразумевает релятивистский динамический эффект — а позднее и механический эффект в общей теории относительности — между обеими системами отсчета).
Вместо того чтобы свободно допускать все условия относительного равномерного движения между системами отсчета, относительная скорость между двумя инерциальными системами становится ограниченной сверху скоростью света.
Вместо универсального прошедшего времени каждая инерциальная система отсчета обладает своим собственным понятием прошедшего времени.
Преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца .
Во всех инерциальных системах отсчета все законы физики одинаковы.

Обе теории предполагают существование инерциальных систем отсчета. На практике размеры систем отсчета, в которых они остаются справедливыми, сильно различаются в зависимости от гравитационных приливных сил.

В соответствующем контексте локальная ньютоновская инерциальная система отсчета , в которой теория Ньютона остается хорошей моделью, простирается примерно до 107 ^{световых} лет.

В специальной теории относительности рассматриваются каюты Эйнштейна , каюты, которые свободно падают в гравитационном поле. Согласно мысленному эксперименту Эйнштейна, человек в такой каюте не испытывает (в хорошем приближении) гравитации, и поэтому каюта является приблизительно инерциальной системой отсчета. Однако следует предположить, что размер каюты достаточно мал, чтобы гравитационное поле было приблизительно параллельным внутри нее. Это может значительно уменьшить размеры таких приблизительных систем отсчета по сравнению с ньютоновскими системами отсчета. Например, искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, можно рассматривать как каюту. Однако достаточно чувствительные приборы могли бы обнаружить «микрогравитацию» в такой ситуации, поскольку «силовые линии» гравитационного поля Земли сходятся.

В общем, схождение гравитационных полей во Вселенной диктует масштаб, в котором можно рассматривать такие (локальные) инерциальные системы отсчета. Например, космический корабль, падающий в черную дыру или нейтронную звезду, будет (на определенном расстоянии) подвергаться приливным силам, достаточно сильным, чтобы раздавить его по ширине и разорвать по длине. ^[2] Однако для сравнения такие силы могут быть неприятны только для астронавтов внутри (сжимая их суставы, затрудняя вытягивание конечностей в любом направлении, перпендикулярном гравитационному полю звезды). Уменьшая масштаб еще больше, силы на этом расстоянии могут вообще не оказывать никакого воздействия на мышь. Это иллюстрирует идею о том, что все свободно падающие системы отсчета являются локально инерциальными (без ускорения и гравитации), если масштаб выбран правильно. ^[2]

Электромагнетизм

Существуют два последовательных преобразования Галилея, которые можно использовать с электромагнитными полями в определенных ситуациях.

Преобразование не является согласованным, если и являются скоростями. Согласованное преобразование даст те же результаты при преобразовании в новую скорость за один шаг или за несколько шагов. Невозможно иметь согласованное преобразование Галилея, которое преобразует как магнитное, так и электрическое поле. ^[3]^{: 256} Существуют полезные согласованные преобразования Галилея, которые могут применяться всякий раз, когда доминирует либо магнитное поле, либо электрическое поле. $T\{*,v\}$ $T\{*,v_{1}+v_{2}\}\neq T\{*,v_{1}\}+T\{*,v_{2}\}$ $v_{1}$ $v_{2}$

Система магнитного поля

Системы магнитного поля — это те системы, в которых электрическое поле в исходной системе отсчета незначительно, но магнитное поле сильное. Когда магнитное поле доминирует, а относительная скорость, , мала, то может быть полезным следующее преобразование: $v^{\mathbf {r} }$

${\begin{aligned}\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} \\\mathbf {B^{'}} &=\mathbf {B} \\\mathbf {M^{'}} &=\mathbf {M} \\\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} +v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {B} \\\end{aligned}}$ где - плотность свободного тока, - плотность намагниченности. Электрическое поле преобразуется при этом преобразовании при смене систем отсчета, но магнитное поле и связанные с ним величины остаются неизменными. ^[3]^{: 261} Примером такой ситуации является провод, движущийся в магнитном поле, как это происходит в обычном генераторе или двигателе. Преобразованное электрическое поле в движущейся системе отсчета может индуцировать ток в проводе. $\mathbf {J_{f}}$ $\mathbf {M}$

Система электрического поля

Системы электрического поля — это те системы, в которых магнитное поле в исходной системе отсчета незначительно, но электрическое поле сильное. Когда электрическое поле доминирует, а относительная скорость, , мала, то может быть полезным следующее преобразование: $v^{r}$

${\begin{aligned}\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} \\\mathbf {D^{'}} &=\mathbf {D} \\\mathbf {\rho _{f}^{'}} &=\mathbf {\rho _{f}} \\\mathbf {P^{'}} &=\mathbf {P} \\\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} -v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {D} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} -\rho _{\mathbf {f} }v^{\mathbf {r} }\\\end{aligned}}$

где - плотность свободного заряда, - плотность поляризации. Магнитное поле и плотность свободного тока преобразуются при этом преобразовании при смене систем отсчета, но электрическое поле и связанные с ним величины остаются неизменными ^[3]^{: 265} $\rho _{\mathbf {f} }$ $\mathbf {P}$

Работа, кинетическая энергия и импульс

Поскольку расстояние, пройденное при приложении силы к объекту, зависит от инерциальной системы отсчета, то и проделанная работа зависит . Из-за закона Ньютона о взаимных действиях существует сила реакции; она работает в зависимости от инерциальной системы отсчета противоположным образом. Общая проделанная работа не зависит от инерциальной системы отсчета.

Соответственно, кинетическая энергия объекта и даже изменение этой энергии из-за изменения скорости зависят от инерциальной системы отсчета. Полная кинетическая энергия изолированной системы также зависит от инерциальной системы отсчета: она представляет собой сумму полной кинетической энергии в системе центра импульса и кинетической энергии, которую имела бы полная масса, если бы она была сосредоточена в центре масс . Из-за сохранения импульса последний не меняется со временем, поэтому изменения со временем полной кинетической энергии не зависят от инерциальной системы отсчета.

Напротив, хотя импульс объекта также зависит от инерциальной системы отсчета, его изменение из-за изменения скорости не зависит.

Смотрите также

Абсолютное пространство и время
Быстрее света
Формулировка тензора ковариантного Галилея (никакого отношения к Галилею)
Сверхсветовое движение

Примечания и ссылки

^ Маккомб, У. Д. (1999). Динамика и относительность . Оксфорд [и т. д.]: Oxford University Press . стр. 22–24. ISBN 0-19-850112-9.
^ ab Taylor and Wheeler's Exploring Black Holes - Introduction to General Relativity, Глава 2, 2000, стр. 2:6.
^ abc Woodson, Herbert H.; Melcher, James R. (1968). Electromechanical Dynamics (PDF) (1-е изд.). New York: Wiley. стр. 251–329. Архивировано из оригинала (PDF) 2022-12-20 . Получено 21-08-2022 .