В физике преобразование Галилея используется для преобразования координат двух систем отсчета , которые отличаются только постоянным относительным движением в рамках конструкций ньютоновской физики . Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и перемещениями в пространстве и времени образуют неоднородную группу Галилея (предполагаемую далее). Без перемещений в пространстве и времени группа является однородной группой Галилея . Группа Галилея — это группа движений теории относительности Галилея , действующих в четырех измерениях пространства и времени, образующих геометрию Галилея . Это точка зрения пассивной трансформации . В специальной теории относительности однородные и неоднородные преобразования Галилея заменяются соответственно преобразованиями Лоренца и преобразованиями Пуанкаре ; и наоборот, групповое сжатие в классическом пределе преобразований Пуанкаре c → ∞ приводит к преобразованиям Галилея.
Приведенные ниже уравнения физически действительны только в рамках Ньютона и неприменимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростями, приближающимися к скорости света .
Галилей сформулировал эти понятия в своем описании равномерного движения . [1]
Тема была мотивирована его описанием движения шара, катящегося по рампе , с помощью которого он измерил численное значение ускорения силы тяжести вблизи поверхности Земли .
Перевод
Хотя преобразования названы в честь Галилея, именно абсолютное время и пространство в понимании Исаака Ньютона обеспечивают область их определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное представление о сложении и вычитании скоростей как векторов .
Обозначения ниже описывают связь при преобразовании Галилея между координатами ( x , y , z , t ) и ( x ', y ', z ', t ') одного произвольного события, измеренного в двух системах координат S и S' в равномерном относительном движении ( скорость v ) в их общих направлениях x и x ' , причем их пространственные начала совпадают в момент времени t = t ' = 0 : [2] [3] [4] [5]
Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея с точностью до добавления константы и выражает предположение об универсальном времени, независимом от относительного движения различных наблюдателей.
На языке линейной алгебры это преобразование считается отображением сдвига и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении параллельно оси x трансформация действует только на две составляющие:
Хотя матричные представления не являются строго необходимыми для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.
Преобразования Галилея
Симметрии Галилея можно однозначно записать как композицию вращения , перемещения и равномерного движения пространства -времени. [6] Пусть x представляет точку в трехмерном пространстве, а t - точку в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой ( x , t ) .
Равномерное движение со скоростью v определяется выражением
Два преобразования Галилея G ( R , v , a , s ) и G ( R' , v ', a ', s ') составляют третье преобразование Галилея,
грамм ( р ′, v ′, а ′, s ′) ⋅ грамм ( р , v , а , s ) знак равно грамм ( р ′ р , р ′ v + v ′, р ′ а + а ′ + v ′ s , s ′ + s ) .
Набор всех преобразований Галилея Gal(3) образует группу с композицией в качестве групповой операции.
Группу иногда представляют как матричную группу с пространственно-временными событиями ( x , t , 1) в виде векторов, где t — вещественное число, а x ∈ R3 — положение в пространстве. Действие задается [7 ]
где s вещественное число, а v , x , a ∈ R3 и R — матрица вращения . Композиция преобразований затем осуществляется путем умножения матриц . При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь ли связной группой компонент ортогональных преобразований.
Gal(3) имеет именованные подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal(3) .
Пусть m представляет матрицу преобразования с параметрами v , R , s , a :
анизотропные превращения.
изохронные преобразования.
пространственные евклидовы преобразования.
равномерно специальные преобразования/однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
сдвиги происхождения/трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
вращения (системы отсчета) (см. SO(3) ), компактная группа.
равномерные движения/ускорения кадра.
Параметры s , v , R охватывают десять измерений . Поскольку преобразования непрерывно зависят от s , v , R , a , Gal(3) является непрерывной группой , также называемой топологической группой.
Структуру Gal(3) можно понять путем восстановления по подгруппам. Требуется полупрямая комбинация продуктов ( ) групп.
H — генератор сдвигов времени ( гамильтониан ), Pi — генератор сдвигов ( оператор импульса ), C i — генератор безвращенных преобразований Галилея (буст Галилея), [8] и L ij — генератор вращений ( оператор углового момента ).
Эта алгебра Ли рассматривается как специальный классический предел алгебры группы Пуанкаре в пределе c → ∞ . Технически группа Галилея представляет собой знаменитое групповое сокращение группы Пуанкаре (которая, в свою очередь, является групповым сокращением группы де Ситтера SO(1,4) ). [9]
Формально, переименовав генераторы импульса и наддува последних как в
Р 0 ↦ Н / с
К я ↦ c ⋅ C я ,
где c — скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения (структурные константы) в пределе c → ∞ принимают соотношения первых. Идентифицированы генераторы временных трансляций и вращений. Также обратите внимание на групповые инварианты L mn L mn и P i P i .
В матричной форме для d = 3 можно рассмотреть регулярное представление (встроенное в GL(5; R ) , из которого оно может быть получено одним групповым сжатием, минуя группу Пуанкаре),
Тогда бесконечно малый групповой элемент равен
Центральное расширение группы Галилея
Можно рассмотреть [10] центральное расширение алгебры Ли группы Галилея, натянутое на H ′, P ′ i , C ′ i , L ′ ij и оператор M : Так называемая алгебра Баргмана получается наложением , такой, что M лежит в центре , т.е. коммутирует со всеми остальными операторами.
^ Галилей 1638i, 191–196 (на итальянском языке) Галилей 1638e, (на английском языке) Коперник и др. 2002, стр. 515–520.
^ Молд 2002, Глава 2 §2.6, с. 42
^ Лернер 1996, глава 38 §38.2, с. 1046,1047
^ Serway & Jewett 2006, Глава 9 §9.1, стр. 261
^ Хоффманн 1983, глава 5, с. 83
^ abc Арнольд 1989, с. 6
^ [1] Наджафика и Фороф, 2009 г.
^ Унгар, А.А. (2006). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 336. ИСБН 978-0-306-47134-6.Выдержка со страницы 336
^ Гилмор 2006 г.
^ Баргманн 1954 г.
Рекомендации
Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 6. ISBN 0-387-96890-3.
Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении (4-е изд.), Брукс / Коул - Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-Х, Глава 9 §9.1, с. 261