Изометрия пространства-времени Минковского обладает тем свойством, что интервал между событиями остается неизменным. Например, если бы все было отложено на два часа, включая два события и путь, по которому вы прошли от одного к другому, то интервал времени между событиями, зафиксированный секундомером, который вы носили с собой, был бы одинаковым. Или если бы все сместилось на пять километров к западу или повернулось на 60 градусов вправо, вы бы тоже не увидели никаких изменений в интервале. Оказывается, такой сдвиг не влияет и на собственную длину объекта. Обращение времени или пространства (отражение) также является изометрией этой группы.
В пространстве Минковского (т. е. без учета эффектов гравитации ) имеется десять степеней свободы изометрий , которые можно рассматривать как перемещение во времени или пространстве (четыре степени, по одной на каждое измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода ориентации этой плоскости); или « ускорение » в любом из трех пространственных направлений (три градуса). Композиция преобразований — это операция группы Пуанкаре, при которой собственные вращения производятся как композиция четного числа отражений.
повышения , преобразования, соединяющие два равномерно движущихся тела ( К ).
Последние две симметрии, J и K , вместе составляют группу Лоренца (см. также Лоренц-инвариантность ); полупрямое произведение группы переводов и группы Лоренца затем дает группу Пуанкаре. Говорят, что объекты, инвариантные относительно этой группы, обладают инвариантностью Пуанкаре или релятивистской инвариантностью .
10 генераторов (в четырех измерениях пространства-времени), связанных с симметрией Пуанкаре, по теореме Нётер , подразумевают 10 законов сохранения: [4] [5]
1 для энергии – связано с перемещением во времени.
3 для импульса – связан с перемещением через пространственные измерения.
3 для углового момента, связанного с вращением между пространственными измерениями.
3 для величины, включающей скорость центра масс, связанной с гиперболическими вращениями между каждым пространственным измерением и временем.
Другими словами, группа Пуанкаре является групповым расширением группы Лоренца посредством ее векторного представления ; ее иногда неофициально называют неоднородной группой Лоренца . В свою очередь, его также можно получить как групповое сжатие группы де Ситтера SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) при стремлении радиуса де Ситтера к бесконечности.
В соответствии с программой Эрлангена геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.
более важно, поскольку представления не способны описывать поля со спином 1/2; то есть фермионы . Вот группа комплексных матриц с единичным определителем, изоморфная спиновой группе Лоренца .
Алгебра Пуанкаре
Алгебра Пуанкаре — это алгебра Ли группы Пуанкаре. Это расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. Точнее, собственная ( ), ортохронная ( ) часть подгруппы Лоренца (ее единичный компонент ), , связана с единицей и, таким образом, обеспечивается возведением в степень этой алгебры Ли . В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями: [7] [8]
Схема коммутационной структуры алгебры Пуанкаре. Ребра диаграммы соединяют генераторы с ненулевыми коммутаторами.
Нижнее коммутационное соотношение представляет собой («однородную») группу Лоренца, состоящую из вращений и повышений . В этих обозначениях вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как
где нижний коммутатор двух повышающих частот часто называют «вращением Вигнера». Упрощение позволяет свести подалгебру Лоренца к связанным с ней представлениям и эффективно обрабатывать их . По физическим параметрам имеем
Как топологическое пространство группа имеет четыре связных компонента: компонент идентичности; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, который одновременно обращен во времени и в пространстве. [9]
Другие размеры
Приведенные выше определения можно легко обобщить на произвольные измерения. d -мерная группа Пуанкаре аналогично определяется полупрямым произведением
с аналогичным умножением
. [6]
Алгебра Ли сохраняет свою форму, а индексы µ и ν теперь принимают значения от 0 до d − 1 . Альтернативное представление в терминах J i и Ki не имеет аналога в более высоких измерениях .
^ Пуанкаре, Анри (декабрь 1906 г.), «Sur la Dynamique de l'Electron» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21..129P, doi : 10.1007/bf03013466, hdl :2027/uiug.30112063899089, S2CID 120211823( Перевод из Wikisource : О динамике электрона). Группу, определенную в этой статье, теперь можно было бы описать как однородную группу Лоренца со скалярными множителями.
^ Минковский, Герман, «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern» , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111(Перевод из Wikisource: Фундаментальные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах).
^ «Обзор симметрии и законов сохранения: больше Пуанкаре» (PDF) . www.frankwilczek.com . Проверено 14 февраля 2021 г.
^ Барнетт, Стивен М (01.06.2011). «О шести компонентах оптического углового момента». Журнал оптики . 13 (6): 064010. Бибкод : 2011JOpt...13f4010B. дои : 10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN 2040-8978. S2CID 55243365.
^ аб Облак, Благое (01 августа 2017 г.). Частицы БМС в трех измерениях. Спрингер. п. 80. ИСБН9783319618784.
^ Н. Н. Боголюбов (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Спрингер. п. 272. ИСБН0-7923-0540-Х.
^ Т. Олссон (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN978-1-13950-4324.
^ «Темы: Группа Пуанкаре» . www.phy.olemiss.edu . Проверено 18 июля 2021 г.
Рекомендации
В Викибуке « Алгебра ассоциативной композиции» есть страница на тему: Группа Пуанкаре .
У-Ки Тунг (1985). Теория групп в физике . Мировое научное издательство. ISBN 9971-966-57-3.
Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том. 1. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55001-7.
Л. Х. Райдер (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН 0-52147-8146.