Гауссов пучок

В оптике гауссов пучок — идеализированный пучок электромагнитного излучения , огибающая амплитуды которого в поперечной плоскости задается функцией Гаусса ; это также подразумевает гауссовский профиль интенсивности (излучения). Эта фундаментальная (или TEM ₀₀ ) поперечная гауссовая мода описывает предполагаемую мощность многих лазеров , поскольку такой луч меньше расходится и может быть сфокусирован лучше, чем любой другой. Когда гауссов луч перефокусируется идеальной линзой , образуется новый гауссов луч. Профили амплитуды электрического и магнитного поля вдоль кругового гауссова луча заданной длины волны и поляризации определяются двумя параметрами: перетяжкой $w 0$ , которая является мерой ширины луча в его самой узкой точке, и положением $z$ относительно талия. ^[1]

Поскольку функция Гаусса бесконечна по размеру, идеальных гауссовских лучей в природе не существует, и края любого такого луча будут обрезаны любой конечной линзой или зеркалом. Однако гауссиан является полезным приближением к реальному лучу в тех случаях, когда линзы или зеркала в луче значительно больше размера пятна w ( z ) луча.

По сути, гауссиан является решением осевого уравнения Гельмгольца , волнового уравнения для электромагнитного поля. Хотя существуют и другие решения, гауссовы семейства решений полезны для задач, связанных с компактными балками.

Математическая форма

В приведенных ниже уравнениях предполагается, что балка имеет круглое поперечное сечение при всех значениях $z$ ; в этом можно убедиться, заметив, что появляется единственный поперечный размер $r$ . Балки с эллиптическим поперечным сечением или с перетяжками в разных положениях по $z$ для двух поперечных размеров ( астигматические балки) также могут быть описаны как гауссовы балки, но с разными значениями $w 0$ и положения $z = 0$ для двух поперечных измерений. размеры $х$ и $у$ .

Гауссов пучок представляет собой поперечную электромагнитную (ПЭМ) моду . ^[2] Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением параксиального уравнения Гельмгольца . ^[1] Предполагая поляризацию в направлении $x$ и распространение в направлении $+ z$ , электрическое поле в векторных (комплексных) обозначениях определяется выражением:

{\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\, {\hat {\mathbf {x} }}\, {\frac {w_{0}}{w (z)} }\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac { r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)

где ^[1]^[3]

$r$ — радиальное расстояние от центральной оси балки,
$z$ - осевое расстояние от фокуса луча (или «талии»),
$я$ — мнимая единица ,
$k = 2 πn / λ$ — волновое число (в радианах на метр) для длины волны $λ$ в свободном пространстве, а $n$ — показатель преломления среды, в которой распространяется луч,
$E 0 = E (0, 0)$ — амплитуда (и фаза) электрического поля в начале координат ( $r = 0$ , $z = 0$ ),
$w (z)$ — радиус, при котором амплитуды поля падают до $1/ e$ их осевых значений (т. е. где значения интенсивности падают до $1/ e 2$ их осевых значений), в плоскости $z$ вдоль луча,
$w 0 = w (0)$ – радиус талии,
$R (z)$ — радиус кривизны волновых фронтов луча в точке $z$ , а
$ψ (z)$ — фаза Гуи в точке $z$ , дополнительный фазовый член помимо того, который относится к фазовой скорости света.

Физическое электрическое поле получается из приведенной выше амплитуды векторного поля путем умножения действительной части амплитуды на временной коэффициент:

\mathbf {E} _ {\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t} ),

угловая частота

t

соглашение о знаках Математическое описание непрозрачности § Комплексно-сопряженная неоднозначность

{\ textstyle \ омега }

Поскольку это решение основано на параксиальном приближении, оно не является точным для очень сильно расходящихся лучей. Приведенная выше форма справедлива в большинстве практических случаев, когда $w 0 ≫ λ / n$ .

Соответствующее распределение интенсивности (или освещенности ) определяется выражением

I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z )}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),

где константа $η$ — волновое сопротивление среды, в которой распространяется луч. Для свободного пространства $η = η 0$ ≈ 377 Ом. $я 0 = | Е 0 | 2/2 η$ — интенсивность в центре луча на его перетяжке $.$

Если $P 0$ — полная мощность луча,

I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.

Изменение ширины луча

В положении $z$ вдоль луча (измеренном от фокуса) параметр размера пятна $w$ определяется гиперболическим соотношением : ^[1]

w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}} },

^[1]

z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}

диапазоном Рэлея

п

Радиус луча $w (z)$ в любой позиции $z$ вдоль луча связан с полной шириной на полувысоте (FWHM) распределения интенсивности в этом положении согласно: ^[4]

w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.

Кривизна волнового фронта

Кривизна волновых фронтов наибольшая на расстоянии Рэлея $z = \pm z R$ по обе стороны от перетяжки, пересекая ноль на самой перетяжке. За пределами расстояния Рэлея $| г | > z R$ , оно снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при $z \to \pm\infty$ . Кривизну часто выражают через обратную величину $R$ , радиус кривизны ; для фундаментального гауссова луча кривизна в положении $z$ определяется выражением:

{\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_ {\mathrm {R} }^{2}}},

поэтому радиус кривизны $R (z)$ равен ^[1]

R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R}}}{z}}\right)}^{2}}\right].

Эллиптические и астигматические лучи

Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены балки с положением перетяжки, которые различны для двух поперечных размеров, называемые астигматическими балками. С этими лучами можно иметь дело, используя два приведенных выше уравнения эволюции, но с разными значениями каждого параметра для $x$ и $y$ и разными определениями точки $z = 0$ . Фаза Гуи — это единственное значение, правильно рассчитанное путем суммирования вклада каждого измерения, причем фаза Гуи находится в диапазоне $\pm π /4$ , вносимая каждым измерением.

Эллиптический луч меняет коэффициент эллиптичности по мере распространения от дальнего поля к перетяжке. Размер, который был больше вдали от талии, возле талии будет меньше.

Гауссиан как разложение на моды

Произвольные решения параксиального уравнения Гельмгольца можно разложить как сумму мод Эрмита-Гаусса (чьи профили амплитуды разделимы по $x$ и $y$ с использованием декартовых координат ), мод Лагерра-Гаусса (чьи профили амплитуды разделимы по $r$ и $θ$ с использованием цилиндрических координат). ) или аналогично комбинациям мод Инса – Гаусса (профили амплитуд которых разделяются по $ξ$ и $η$ с использованием эллиптических координат ). ^[5]^[6]^[7] В любой точке луча $z$ эти моды включают в себя тот же коэффициент Гаусса, что и основная гауссова мода, умножая дополнительные геометрические коэффициенты для указанной моды. Однако разные моды распространяются с разной фазой Гуи, поэтому чистый поперечный профиль из-за суперпозиции мод развивается по $z$ , тогда как распространение любой отдельной моды Эрмита-Гаусса (или Лагерра-Гаусса) сохраняет ту же форму вдоль луча.

Хотя существуют и другие модальные разложения , гауссианы полезны для задач, связанных с компактными пучками, то есть там, где оптическая мощность довольно тесно ограничена вдоль оси. Даже если лазер не работает в основной гауссовой моде, его мощность обычно будет определяться среди мод низшего порядка с использованием этого разложения, поскольку пространственная протяженность мод более высокого порядка будет иметь тенденцию выходить за пределы резонатора (резонатора) лазера. . «Гауссов пучок» обычно подразумевает излучение, ограниченное основной (ТЕМ ₀₀ ) гауссовой модой.

Параметры луча

Геометрическая зависимость полей гауссовского луча определяется длиной волны света $λ$ ( в диэлектрической среде, если не в свободном пространстве) и следующими параметрами луча , все из которых связаны, как подробно описано в следующих разделах.

Пучковая талия

Гауссова ширина луча $w (z)$ как функция расстояния $z$ вдоль луча, образующего гиперболу . $w 0$ : перетяжка пучка; $б$ : глубина фокуса; $z R$ : диапазон Рэлея ; $Θ$ : общий угловой разброс

Форма гауссова луча заданной длины волны $λ$ определяется только одним параметром — перетяжкой луча $w 0$ . Это мера размера луча в точке его фокуса ( $z = 0$ в приведенных выше уравнениях), где ширина луча $w (z)$ (как определено выше) является наименьшей (и аналогичным образом, когда интенсивность на оси ( $r = 0$ ) является наибольшим). Из этого параметра определяются другие параметры, описывающие геометрию балки. Сюда входят диапазон Рэлея $z R$ и асимптотическая расходимость луча $θ$ , как подробно описано ниже.

Диапазон Рэлея и конфокальный параметр

Расстояние Рэлея или диапазон Рэлея $z R$ определяется с учетом размера перетяжки гауссова луча:

z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.

Здесь $λ$ — длина волны света, $n$ — показатель преломления. На расстоянии от перетяжки, равном диапазону Рэлея $z R$ , ширина $w$ луча на $\sqrt 2$ больше, чем в фокусе, где $w = w 0$ , перетяжка пучка. Это также означает, что интенсивность на оси ( $r = 0$ ) составляет половину пиковой интенсивности (при $z = 0$ ). В этой точке луча кривизна волнового фронта ( $1/ R$ ) наибольшая. ^[1]

Расстояние между двумя точками $z = \pm z R$ называется конфокальным параметром или глубиной фокуса луча. ^[8]

Расходимость луча

Хотя хвосты функции Гаусса на самом деле никогда не достигают нуля, для целей последующего обсуждения «краем» балки считается радиус, где $r = w (z)$ . Именно здесь интенсивность упала до $1/ e 2$ от ее значения на оси. Теперь при $z ≫ z R$ параметр $w (z)$ увеличивается линейно с $z$ . Это означает, что вдали от перетяжки «край» пучка (в указанном выше смысле) имеет конусообразную форму. Угол между этим конусом (чей $r = w (z)$ ) и осью луча ( $r = 0$ ) определяет расходимость луча:

\theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).

В параксиальном случае, как мы уже рассматривали, $θ$ (в радианах) составляет примерно ^[1]

\theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}

где $n$ — показатель преломления среды, через которую распространяется луч, а $λ$ — длина волны в свободном пространстве. Тогда общий угловой разброс расходящегося луча или угол при вершине описанного выше конуса определяется выражением

\Theta =2\theta \,.

Тогда этот конус содержит 86% общей мощности гауссова луча.

Поскольку расходимость обратно пропорциональна размеру пятна, для данной длины волны $λ$ гауссовский луч, сфокусированный в небольшое пятно, быстро расходится по мере распространения от фокуса. И наоборот, чтобы минимизировать расходимость лазерного луча в дальней зоне (и увеличить его пиковую интенсивность на больших расстояниях), он должен иметь большое поперечное сечение ( $w 0$ ) в перетяжке (и, следовательно, большой диаметр в месте запуска, поскольку $w (z)$ никогда не меньше $w 0$ ). Эта связь между шириной луча и расходимостью является фундаментальной характеристикой дифракции и преобразования Фурье , которое описывает дифракцию Фраунгофера . Луч с любым заданным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной зависимости, но фундаментальная гауссова мода представляет собой особый случай, когда произведение размера луча в фокусе и расходимости в дальней зоне меньше, чем в любом другом случае.

Поскольку модель гауссова луча использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклонены более чем на 30 ° от оси луча. ^[9] Из приведенного выше выражения для расхождения это означает, что модель гауссова луча точна только для балок с перетяжкой, превышающей примерно $2 λ / π$ .

Качество лазерного луча количественно оценивается произведением параметров луча (BPP). Для гауссова луча BPP является произведением расходимости луча и размера перетяжки $w 0$ . BPP реального луча получается путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне и их произведения. Отношение BPP реального луча к идеальному гауссову лучу на той же длине волны известно как $M 2$ (« М в квадрате »). M $2 для$ гауссова пучка равен единице. Все реальные лазерные лучи имеют значения $M 2$ больше единицы, хотя лучи очень высокого качества могут иметь значения, очень близкие к единице.

Числовая апертура гауссова луча определяется как $NA = n sin θ$ , где $n$ — показатель преломления среды, через которую распространяется луч. Это означает, что диапазон Рэлея связан с числовой апертурой соотношением

z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.

Фаза Гуи

Фаза Гуи представляет собой фазовый сдвиг , постепенно приобретаемый лучом вокруг фокальной области. В позиции $z$ фаза Гуи фундаментального гауссова пучка определяется выражением ^[1]

\psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).

Фаза Гуи приводит к увеличению видимой длины волны вблизи перетяжки ( $z \approx 0$ ). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение следует понимать как явление ближнего поля , когда отклонение от фазовой скорости света (как это было бы применимо точно к плоской волне) очень мало, за исключением случая луча с большой числовой апертурой , и в этом случае кривизна волновых фронтов (см. предыдущий раздел) существенно меняется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях волновое уравнение удовлетворяется в каждой позиции.

Знак фазы Гуи зависит от соглашения о знаках, выбранного для вектора электрического поля. ^[10] При зависимости $e iωt$ фаза Гуи изменяется от $- π /2$ до $+ π /2$ , а при зависимости $e - iωt$ она изменяется от $+ π /2$ до $- π /2$ вдоль оси.

Для фундаментального гауссова луча фаза Гуи приводит к чистому расхождению фазы по отношению к скорости света, составляющему $π$ радиан (таким образом, обращение фазы) при движении от дальнего поля на одной стороне перетяжки к дальнему полю на Обратная сторона. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Однако это имеет теоретическое значение и имеет больший диапазон для гауссовых мод более высокого порядка. ^[10]

Мощность и интенсивность

Питание через отверстие

Для луча, центрированного на апертуре , мощность $P$ , проходящая через круг радиуса $r$ в поперечной плоскости в положении $z$ , равна ^[11]

P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],

P_{0}={\frac {1}{2}}\pi I_{0}w_{0}^{2}

Для круга радиуса $r = w (z)$ доля мощности, передаваемая через круг, равна

{\frac {P(z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.

Аналогично, около 90% мощности луча будет течь через круг радиуса $r = 1,07 \times w (z)$ , 95 % — через круг радиуса $r = 1,224 \times w (z)$ и 99 % — через круг радиуса $r. знак равно 1,52 \times ш (z)$ . ^[11]

Пиковая интенсивность

Пиковую интенсивность на осевом расстоянии $z$ от перетяжки луча можно рассчитать как предел заключенной мощности внутри круга радиуса $r$ , разделенный на площадь круга $πr 2$ по мере сжатия круга:

I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}.

Предел можно оценить по правилу Лопиталя :

I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.

Комплексный параметр луча

Размер пятна и кривизна гауссова луча как функция $z$ вдоль луча также могут быть закодированы в комплексном параметре луча $q (z)$ ^[12]^[13], определяемом как:

q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.

Обратная величина $q (z)$ содержит кривизну волнового фронта и относительную осевую интенсивность в действительной и мнимой частях соответственно: ^[12]

{1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.

Комплексный параметр луча упрощает математический анализ распространения гауссовского луча, особенно при анализе полостей оптических резонаторов с использованием матриц переноса лучей .

Тогда, используя эту форму, более раннее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощается. Если мы назовем $u$ относительной напряженностью поля эллиптического гауссова луча (с эллиптическими осями в направлениях $x$ и $y$ ), то его можно разделить по $x$ и $y$ согласно:

u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),

где

{\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}

где $q x (z)$ и $q y (z)$ — комплексные параметры луча в направлениях $x$ и $y$ .

Для общего случая круглого профиля балки q $x (z) = q y (z) = q (z)$ и $x 2 + y 2 = r 2$ , что дает ^[14]

u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).

Лучевая оптика

Когда гауссов луч распространяется через тонкую линзу , выходящий луч также является (другим) гауссовым лучом, при условии, что луч движется вдоль цилиндрической оси симметрии линзы и что линза больше ширины луча. Фокусное расстояние линзы , радиус перетяжки луча и положение перетяжки входящего луча можно использовать для определения радиуса перетяжки луча и положения исходящего луча. $f$ $w_{0}$ $z_{0}$ $w_{0}'$ $z_{0}'$

Уравнение линзы

Как установили Салех и Тейх, взаимосвязь между входящим и выходящим лучами можно найти, рассматривая фазу , которая добавляется к каждой точке гауссова луча, когда он проходит через линзу. ^[15] Альтернативный подход, предложенный Селфом, заключается в рассмотрении влияния тонкой линзы на волновые фронты гауссова луча . ^[16] $(x,y)$

Точное решение поставленной выше задачи выражается просто через увеличение. $M$

{\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}

Увеличение, которое зависит от и , определяется выражением $w_{0}$ $z_{0}$

M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}

где

r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.

Эквивалентное выражение для положения луча : $z_{0}'$

{\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.

Последнее выражение ясно показывает, что уравнение лучевой оптики тонкой линзы восстанавливается в пределе, когда . Также можно отметить, что если тогда входящий луч «хорошо коллимирован», так что . $\left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1$ $\left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f$ $z_{0}'\approx f$

Фокусировка луча

В некоторых случаях желательно использовать собирающую линзу для фокусировки лазерного луча в очень маленькое пятно. Математически это подразумевает минимизацию увеличения . Если размер луча ограничен размером доступной оптики, обычно этого лучше всего достичь, направляя максимально возможный коллимированный луч через линзу с малым фокусным расстоянием, т.е. путем максимизации и минимизации . В этой ситуации оправдано сделать аппроксимацию , подразумевающую это и дающую результат . Этот результат часто представляют в виде $M$ $z_{R}$ $f$ $z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1$ $M\approx f/z_{R}$ $w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}$

{\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}

где

F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},

который находится после предположения, что среда имеет показатель преломления и замены . Коэффициенты 2 вводятся из-за общего предпочтения представлять размер балки диаметром перетяжки балки и , а не радиусами перетяжки и . $n\approx 1$ $z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda$ $2w_{0}'$ $2w_{0}$ $w_{0}'$ $w_{0}$

Волновое уравнение

Как частный случай электромагнитного излучения , гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде, ^[17] полученного путем объединения уравнений Максвелла для ротор $E$ и ротор $H$ , в результате чего:

\nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},

c

в среде

U

параксиальном

+ z

U

u

волновому числу

k

z

^[17]

U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.

Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, $\partial 2 u /\partial z 2$ можно существенно пренебречь. Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, ортогональных направлению распространения ( $z$ ), мы без ограничения общности считали, что поляризация имеет направление $x$ , так что теперь мы решаем скалярное уравнение для $u (x, y, z)$ .

Подстановка этого решения в приведенное выше волновое уравнение дает параксиальное приближение скалярного волнового уравнения: ^[17]

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.

координатах светового конуса^[18]

w 0

z

q (z)

линейной системыне

Режимы высшего порядка

Режимы Эрмита-Гаусса

Можно разложить когерентный параксиальный пучок, используя ортогональный набор так называемых мод Эрмита-Гаусса , любая из которых задается произведением коэффициента $x$ и коэффициента $y$ . Такое решение возможно благодаря разделимости по $x$ и $y$ в параксиальном уравнении Гельмгольца , записанном в декартовых координатах . ^[19] Таким образом, учитывая моду порядка $(l, m)$ , относящуюся к направлениям $x$ и $y$ , амплитуда электрического поля в точках $x, y, z$ может быть определена как:

E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),

x

y

u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),

q (z)

w 0

z

u J

ортонормированным

z

w (z)/ w 0

J.

Последние два фактора объясняют пространственное изменение по $x$ (или $y$ ). Четвертый фактор — это полином Эрмита порядка $J$ («физическая форма», т.е. $H 1 (x) = 2 x$ ), а пятый отвечает за гауссовское спад амплитуды $exp(- x 2 / w (z) 2)$ , хотя это неочевидно, если использовать комплекс $q$ в показателе степени. Расширение этой экспоненты также дает фазовый коэффициент в $x$ , который учитывает кривизну волнового фронта ( $1/ R (z)$ ) в точке $z$ вдоль луча.

Режимы Эрмита-Гаусса обычно обозначаются как «TEM _lm »; Таким образом, фундаментальный гауссов пучок можно назвать TEM ₀₀ (где TEM — поперечное электромагнитное излучение ). Умножив $u l (x, z)$ и $um (y, z),$ чтобы получить профиль двумерного режима, и удалив нормализацию так, чтобы ведущий фактор назывался просто $E 0$ , мы можем написать режим $(l, m)$ в более доступной форме:

{\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}

В этой форме параметр $w 0$ , как и раньше, определяет семейство мод, в частности, масштабирует пространственную протяженность перетяжки основной моды и всех других моделей мод при $z = 0$ . Учитывая, что $w 0$ , $w (z)$ и $R (z)$ имеют те же определения, что и для фундаментального гауссова луча, описанного выше. Видно, что при $l = m = 0$ мы получаем описанный ранее фундаментальный гауссов пучок (поскольку $H 0 = 1$ ). Единственная специфическая разница в профилях $x$ и $y$ при любом $z$ связана с коэффициентами полинома Эрмита для порядковых номеров $l$ и $m$ . Однако есть изменение в эволюции фазы Гуи мод по $z$ :

\psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),

где объединенный порядок моды $N$ определяется как $N = l + m$ . Хотя фазовый сдвиг Гуи для фундаментальной (0,0) гауссовской моды изменяется только на $\pm π /2$ радиан по всем $z$ (и только на $\pm π /4$ радиан между $\pm z R$ ), он увеличивается в раз $N + 1$ для мод высшего порядка. ^[10]

Эрмитовые гауссовы моды с их прямоугольной симметрией особенно подходят для модального анализа излучения лазеров, конструкция резонатора которых асимметрична в прямоугольной форме. С другой стороны, с лазерами и системами с круговой симметрией лучше обращаться, используя набор мод Лагерра-Гаусса, представленный в следующем разделе.

Режимы Лагерра-Гаусса

Профили пучка, имеющие круговую симметрию (или лазеры с цилиндрически-симметричными резонаторами), часто лучше всего решать с помощью модального разложения Лагерра-Гаусса. ^[6] Эти функции записаны в цилиндрических координатах с использованием обобщенных полиномов Лагерра . Каждая поперечная мода снова помечается двумя целыми числами, в данном случае радиальным индексом $p \geq 0$ и азимутальным индексом $l$ , который может быть положительным или отрицательным (или нулевым): ^[20]

Пучок Лагерра-Гаусса с l=1 и p=0

{\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}

где $L p l$ — обобщенные полиномы Лагерра . $С LG лп$ – необходимая константа нормализации:

C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }rdr|u(r,\phi ,z)|^{2}=1

$w (z)$ и $R (z)$ имеют те же определения, что и выше. Как и в случае с модами Эрмита-Гаусса более высокого порядка, величина фазового сдвига Гуи мод Лагерра-Гаусса преувеличена в коэффициент $N + 1$ :

\psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),

N = | л | + 2 п

r

вращательной моды

l

фазовом

exp(- ilφ)

l

2 π

φ

оптического вихря

l

орбитальным угловым моментом света

Инс-гауссовы режимы

В эллиптических координатах можно записать моды более высокого порядка, используя полиномы Ince . Четные и нечетные моды Инса-Гаусса задаются формулой ^[7]

u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],

ξ

η

{\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}

С м п (η, ε)

p

m

ε

ε = \infty

ε = 0

^[7]

Гипергеометрическо-гауссовы режимы

Существует еще один важный класс параксиальных волновых мод в цилиндрических координатах , в которых комплексная амплитуда пропорциональна вырожденной гипергеометрической функции .

Эти моды имеют сингулярный фазовый профиль и являются собственными функциями орбитального углового момента фотона . Их профили интенсивности характеризуются одним блестящим кольцом; как и моды Лагерра – Гаусса, их интенсивности падают до нуля в центре (на оптической оси), за исключением основной (0,0) моды. Комплексную амплитуду моды можно записать через нормированную (безразмерную) радиальную координату $ρ = r / w 0$ и нормированную продольную координату $Ζ = z / z R$ следующим образом: ^[21]

{\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}

где индекс вращения $m$ является целым числом и имеет действительное значение, $Γ($ $x$ $)$ является гамма-функцией и $1$ $F$ $1$ $($ $a$ $,$ $b$ $;$ $x$ $)$ является вырожденной гипергеометрической функцией. ${\mathsf {p}}\geq -|m|$

Некоторые подсемейства гипергеометрическо-гауссовских мод (HyGG) можно перечислить как модифицированные моды Бесселя-Гаусса, модифицированные экспоненциальные гауссовские моды ^[21] и модифицированные моды Лагерра-Гаусса.

Набор гипергеометрическо-гауссовских мод является сверхполным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль в перетяжке пучка ( $z = 0$ ):

u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.

Смотрите также

Примечания

^ abcdefghi Svelto, стр. 153–5.
^ Свелто, с. 158.
^ Ярив, Амнон; Да, Альберт Почи (2003). Оптические волны в кристаллах: распространение и управление лазерным излучением . Дж. Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43081-1. ОКЛК 492184223.
↑ Хилл, Дэн (4 апреля 2007 г.). «Как преобразовать измерения FWHM в полуширину 1/e-квадрат». База знаний Radiant Zemax . Проверено 7 июня 2016 г.
^ Зигман, с. 642.
^ ab , вероятно, впервые был рассмотрен Губау и Шверингом (1961).
^ abc Бандрес и Гутьеррес-Вега (2004)
^ Брорсон, SD (1988). «Что такое конфокальный параметр?». Журнал IEEE по квантовой электронике . 24 (3): 512–515. Бибкод : 1988IJQE...24..512B. дои : 10.1109/3.155.
^ Зигман (1986) с. 630.
^ abc Пашотта, Рюдигер. «Фазовый сдвиг Гуи». Энциклопедия лазерной физики и техники . РП Фотоника . Проверено 2 мая 2014 г.
^ аб Меллес Гриот. Гауссова лучевая оптика
^ аб Зигман, стр. 638–40.
^ Гарг, стр. 165–168.
^ См. Зигман (1986), с. 639. Уравнение. 29
^ Салех, Бахаа Э.А.; Тейх, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83965-5.Глава 3, «Лучевая оптика»
↑ Селф, Сидни (1 марта 1983 г.). «Фокусировка сферических гауссовых пучков». Прикладная оптика . 22 (5): 658–661. Бибкод : 1983ApOpt..22..658S. дои : 10.1364/AO.22.000658. ПМИД 18195851.
^ abc Svelto, стр. 148–9.
^ Эсарей, Э.; Спрэнгл, П.; Пиллофф, М.; Кралл, Дж. (1 сентября 1995 г.). «Теория и групповая скорость ультракоротких, жестко сфокусированных лазерных импульсов». ЖОСА Б. 12 (9): 1695–1703. Бибкод : 1995JOSAB..12.1695E. дои : 10.1364/JOSAB.12.001695. ISSN 1520-8540.
^ Зигман (1986), стр. 645, экв. 54
↑ Валлоне, Г. (8 апреля 2015 г.). «О свойствах круглых пучков: нормализация, расширение Лагерра – Гаусса и расходимость в свободном пространстве». Оптические письма . 40 (8): 1717–1720. arXiv : 1501.07062 . Бибкод : 2015OptL...40.1717V. дои : 10.1364/OL.40.001717. PMID 25872056. S2CID 36312938.
^ Аб Карими и др. (2007)

Внешние ссылки

Учебное пособие по гауссовой лучевой оптике, Ньюпорт