В оптике гауссов пучок — идеализированный пучок электромагнитного излучения , огибающая амплитуды которого в поперечной плоскости задается функцией Гаусса ; это также подразумевает гауссовский профиль интенсивности (излучения). Эта фундаментальная (или TEM 00 ) поперечная гауссовая мода описывает предполагаемую мощность многих лазеров , поскольку такой луч меньше расходится и может быть сфокусирован лучше, чем любой другой. Когда гауссов луч перефокусируется идеальной линзой , образуется новый гауссов луч. Профили амплитуды электрического и магнитного поля вдоль кругового гауссова луча заданной длины волны и поляризации определяются двумя параметрами: перетяжкой w 0 , которая является мерой ширины луча в его самой узкой точке, и положением z относительно талия. [1]
Поскольку функция Гаусса бесконечна по размеру, идеальных гауссовских лучей в природе не существует, и края любого такого луча будут обрезаны любой конечной линзой или зеркалом. Однако гауссиан является полезным приближением к реальному лучу в тех случаях, когда линзы или зеркала в луче значительно больше размера пятна w ( z ) луча.
По сути, гауссиан является решением осевого уравнения Гельмгольца , волнового уравнения для электромагнитного поля. Хотя существуют и другие решения, гауссовы семейства решений полезны для задач, связанных с компактными балками.
В приведенных ниже уравнениях предполагается, что балка имеет круглое поперечное сечение при всех значениях z ; в этом можно убедиться, заметив, что появляется единственный поперечный размер r . Балки с эллиптическим поперечным сечением или с перетяжками в разных положениях по z для двух поперечных размеров ( астигматические балки) также могут быть описаны как гауссовы балки, но с разными значениями w 0 и положения z = 0 для двух поперечных измерений. размеры х и у .
Гауссов пучок представляет собой поперечную электромагнитную (ПЭМ) моду . [2] Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением параксиального уравнения Гельмгольца . [1] Предполагая поляризацию в направлении x и распространение в направлении + z , электрическое поле в векторных (комплексных) обозначениях определяется выражением:
где [1] [3]
Физическое электрическое поле получается из приведенной выше амплитуды векторного поля путем умножения действительной части амплитуды на временной коэффициент:
Поскольку это решение основано на параксиальном приближении, оно не является точным для очень сильно расходящихся лучей. Приведенная выше форма справедлива в большинстве практических случаев, когда w 0 ≫ λ / n .
Соответствующее распределение интенсивности (или освещенности ) определяется выражением
где константа η — волновое сопротивление среды, в которой распространяется луч. Для свободного пространства η = η 0 ≈ 377 Ом. я 0 = | Е 0 | 2/2 η — интенсивность в центре луча на его перетяжке .
Если P 0 — полная мощность луча,
В положении z вдоль луча (измеренном от фокуса) параметр размера пятна w определяется гиперболическим соотношением : [1]
Радиус луча w ( z ) в любой позиции z вдоль луча связан с полной шириной на полувысоте (FWHM) распределения интенсивности в этом положении согласно: [4]
Кривизна волновых фронтов наибольшая на расстоянии Рэлея z = ± z R по обе стороны от перетяжки, пересекая ноль на самой перетяжке. За пределами расстояния Рэлея | г | > z R , оно снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю при z → ±∞ . Кривизну часто выражают через обратную величину R , радиус кривизны ; для фундаментального гауссова луча кривизна в положении z определяется выражением:
поэтому радиус кривизны R ( z ) равен [1]
Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены балки с положением перетяжки, которые различны для двух поперечных размеров, называемые астигматическими балками. С этими лучами можно иметь дело, используя два приведенных выше уравнения эволюции, но с разными значениями каждого параметра для x и y и разными определениями точки z = 0 . Фаза Гуи — это единственное значение, правильно рассчитанное путем суммирования вклада каждого измерения, причем фаза Гуи находится в диапазоне ± π /4 , вносимая каждым измерением.
Эллиптический луч меняет коэффициент эллиптичности по мере распространения от дальнего поля к перетяжке. Размер, который был больше вдали от талии, возле талии будет меньше.
Произвольные решения параксиального уравнения Гельмгольца можно разложить как сумму мод Эрмита-Гаусса (чьи профили амплитуды разделимы по x и y с использованием декартовых координат ), мод Лагерра-Гаусса (чьи профили амплитуды разделимы по r и θ с использованием цилиндрических координат). ) или аналогично комбинациям мод Инса – Гаусса (профили амплитуд которых разделяются по ξ и η с использованием эллиптических координат ). [5] [6] [7] В любой точке луча z эти моды включают в себя тот же коэффициент Гаусса, что и основная гауссова мода, умножая дополнительные геометрические коэффициенты для указанной моды. Однако разные моды распространяются с разной фазой Гуи, поэтому чистый поперечный профиль из-за суперпозиции мод развивается по z , тогда как распространение любой отдельной моды Эрмита-Гаусса (или Лагерра-Гаусса) сохраняет ту же форму вдоль луча.
Хотя существуют и другие модальные разложения , гауссианы полезны для задач, связанных с компактными пучками, то есть там, где оптическая мощность довольно тесно ограничена вдоль оси. Даже если лазер не работает в основной гауссовой моде, его мощность обычно будет определяться среди мод низшего порядка с использованием этого разложения, поскольку пространственная протяженность мод более высокого порядка будет иметь тенденцию выходить за пределы резонатора (резонатора) лазера. . «Гауссов пучок» обычно подразумевает излучение, ограниченное основной (ТЕМ 00 ) гауссовой модой.
Геометрическая зависимость полей гауссовского луча определяется длиной волны света λ ( в диэлектрической среде, если не в свободном пространстве) и следующими параметрами луча , все из которых связаны, как подробно описано в следующих разделах.
Форма гауссова луча заданной длины волны λ определяется только одним параметром — перетяжкой луча w 0 . Это мера размера луча в точке его фокуса ( z = 0 в приведенных выше уравнениях), где ширина луча w ( z ) (как определено выше) является наименьшей (и аналогичным образом, когда интенсивность на оси ( r = 0 ) является наибольшим). Из этого параметра определяются другие параметры, описывающие геометрию балки. Сюда входят диапазон Рэлея z R и асимптотическая расходимость луча θ , как подробно описано ниже.
Расстояние Рэлея или диапазон Рэлея z R определяется с учетом размера перетяжки гауссова луча:
Здесь λ — длина волны света, n — показатель преломления. На расстоянии от перетяжки, равном диапазону Рэлея z R , ширина w луча на √ 2 больше, чем в фокусе, где w = w 0 , перетяжка пучка. Это также означает, что интенсивность на оси ( r = 0 ) составляет половину пиковой интенсивности (при z = 0 ). В этой точке луча кривизна волнового фронта ( 1/ R ) наибольшая. [1]
Расстояние между двумя точками z = ± z R называется конфокальным параметром или глубиной фокуса луча. [8]
Хотя хвосты функции Гаусса на самом деле никогда не достигают нуля, для целей последующего обсуждения «краем» балки считается радиус, где r = w ( z ) . Именно здесь интенсивность упала до 1/ e 2 от ее значения на оси. Теперь при z ≫ z R параметр w ( z ) увеличивается линейно с z . Это означает, что вдали от перетяжки «край» пучка (в указанном выше смысле) имеет конусообразную форму. Угол между этим конусом (чей r = w ( z ) ) и осью луча ( r = 0 ) определяет расходимость луча:
В параксиальном случае, как мы уже рассматривали, θ (в радианах) составляет примерно [1]
где n — показатель преломления среды, через которую распространяется луч, а λ — длина волны в свободном пространстве. Тогда общий угловой разброс расходящегося луча или угол при вершине описанного выше конуса определяется выражением
Тогда этот конус содержит 86% общей мощности гауссова луча.
Поскольку расходимость обратно пропорциональна размеру пятна, для данной длины волны λ гауссовский луч, сфокусированный в небольшое пятно, быстро расходится по мере распространения от фокуса. И наоборот, чтобы минимизировать расходимость лазерного луча в дальней зоне (и увеличить его пиковую интенсивность на больших расстояниях), он должен иметь большое поперечное сечение ( w 0 ) в перетяжке (и, следовательно, большой диаметр в месте запуска, поскольку w ( z ) никогда не меньше w 0 ). Эта связь между шириной луча и расходимостью является фундаментальной характеристикой дифракции и преобразования Фурье , которое описывает дифракцию Фраунгофера . Луч с любым заданным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной зависимости, но фундаментальная гауссова мода представляет собой особый случай, когда произведение размера луча в фокусе и расходимости в дальней зоне меньше, чем в любом другом случае.
Поскольку модель гауссова луча использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклонены более чем на 30 ° от оси луча. [9] Из приведенного выше выражения для расхождения это означает, что модель гауссова луча точна только для балок с перетяжкой, превышающей примерно 2 λ / π .
Качество лазерного луча количественно оценивается произведением параметров луча (BPP). Для гауссова луча BPP является произведением расходимости луча и размера перетяжки w 0 . BPP реального луча получается путем измерения минимального диаметра луча и расходимости в дальней зоне и их произведения. Отношение BPP реального луча к идеальному гауссову лучу на той же длине волны известно как M 2 (« М в квадрате »). M 2 для гауссова пучка равен единице. Все реальные лазерные лучи имеют значения M 2 больше единицы, хотя лучи очень высокого качества могут иметь значения, очень близкие к единице.
Числовая апертура гауссова луча определяется как NA = n sin θ , где n — показатель преломления среды, через которую распространяется луч. Это означает, что диапазон Рэлея связан с числовой апертурой соотношением
Фаза Гуи представляет собой фазовый сдвиг , постепенно приобретаемый лучом вокруг фокальной области. В позиции z фаза Гуи фундаментального гауссова пучка определяется выражением [1]
Фаза Гуи приводит к увеличению видимой длины волны вблизи перетяжки ( z ≈ 0 ). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение следует понимать как явление ближнего поля , когда отклонение от фазовой скорости света (как это было бы применимо точно к плоской волне) очень мало, за исключением случая луча с большой числовой апертурой , и в этом случае кривизна волновых фронтов (см. предыдущий раздел) существенно меняется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях волновое уравнение удовлетворяется в каждой позиции.
Знак фазы Гуи зависит от соглашения о знаках, выбранного для вектора электрического поля. [10] При зависимости e iωt фаза Гуи изменяется от - π /2 до + π /2 , а при зависимости e - iωt она изменяется от + π /2 до - π /2 вдоль оси.
Для фундаментального гауссова луча фаза Гуи приводит к чистому расхождению фазы по отношению к скорости света, составляющему π радиан (таким образом, обращение фазы) при движении от дальнего поля на одной стороне перетяжки к дальнему полю на Обратная сторона. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Однако это имеет теоретическое значение и имеет больший диапазон для гауссовых мод более высокого порядка. [10]
Для луча, центрированного на апертуре , мощность P , проходящая через круг радиуса r в поперечной плоскости в положении z , равна [11]
Для круга радиуса r = w ( z ) доля мощности, передаваемая через круг, равна
Аналогично, около 90% мощности луча будет течь через круг радиуса r = 1,07 × w ( z ) , 95 % — через круг радиуса r = 1,224 × w ( z ) и 99 % — через круг радиуса r. знак равно 1,52 × ш ( z ) . [11]
Пиковую интенсивность на осевом расстоянии z от перетяжки луча можно рассчитать как предел заключенной мощности внутри круга радиуса r , разделенный на площадь круга πr 2 по мере сжатия круга:
Предел можно оценить по правилу Лопиталя :
Размер пятна и кривизна гауссова луча как функция z вдоль луча также могут быть закодированы в комплексном параметре луча q ( z ) [12] [13], определяемом как:
Обратная величина q ( z ) содержит кривизну волнового фронта и относительную осевую интенсивность в действительной и мнимой частях соответственно: [12]
Комплексный параметр луча упрощает математический анализ распространения гауссовского луча, особенно при анализе полостей оптических резонаторов с использованием матриц переноса лучей .
Тогда, используя эту форму, более раннее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощается. Если мы назовем u относительной напряженностью поля эллиптического гауссова луча (с эллиптическими осями в направлениях x и y ), то его можно разделить по x и y согласно:
где
где q x ( z ) и q y ( z ) — комплексные параметры луча в направлениях x и y .
Для общего случая круглого профиля балки q x ( z ) = q y ( z ) = q ( z ) и x 2 + y 2 = r 2 , что дает [14]
Когда гауссов луч распространяется через тонкую линзу , выходящий луч также является (другим) гауссовым лучом, при условии, что луч движется вдоль цилиндрической оси симметрии линзы и что линза больше ширины луча. Фокусное расстояние линзы , радиус перетяжки луча и положение перетяжки входящего луча можно использовать для определения радиуса перетяжки луча и положения исходящего луча.
Как установили Салех и Тейх, взаимосвязь между входящим и выходящим лучами можно найти, рассматривая фазу , которая добавляется к каждой точке гауссова луча, когда он проходит через линзу. [15] Альтернативный подход, предложенный Селфом, заключается в рассмотрении влияния тонкой линзы на волновые фронты гауссова луча . [16]
Точное решение поставленной выше задачи выражается просто через увеличение.
Увеличение, которое зависит от и , определяется выражением
где
Эквивалентное выражение для положения луча :
Последнее выражение ясно показывает, что уравнение лучевой оптики тонкой линзы восстанавливается в пределе, когда . Также можно отметить, что если тогда входящий луч «хорошо коллимирован», так что .
В некоторых случаях желательно использовать собирающую линзу для фокусировки лазерного луча в очень маленькое пятно. Математически это подразумевает минимизацию увеличения . Если размер луча ограничен размером доступной оптики, обычно этого лучше всего достичь, направляя максимально возможный коллимированный луч через линзу с малым фокусным расстоянием, т.е. путем максимизации и минимизации . В этой ситуации оправдано сделать аппроксимацию , подразумевающую это и дающую результат . Этот результат часто представляют в виде
где
который находится после предположения, что среда имеет показатель преломления и замены . Коэффициенты 2 вводятся из-за общего предпочтения представлять размер балки диаметром перетяжки балки и , а не радиусами перетяжки и .
Как частный случай электромагнитного излучения , гауссовы пучки (и гауссовы моды более высокого порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде, [17] полученного путем объединения уравнений Максвелла для ротор E и ротор H , в результате чего:
Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, ∂ 2 u /∂ z 2 можно существенно пренебречь. Поскольку решения уравнения электромагнитной волны справедливы только для поляризаций, ортогональных направлению распространения ( z ), мы без ограничения общности считали, что поляризация имеет направление x , так что теперь мы решаем скалярное уравнение для u ( x , y , z ) .
Подстановка этого решения в приведенное выше волновое уравнение дает параксиальное приближение скалярного волнового уравнения: [17]
Можно разложить когерентный параксиальный пучок, используя ортогональный набор так называемых мод Эрмита-Гаусса , любая из которых задается произведением коэффициента x и коэффициента y . Такое решение возможно благодаря разделимости по x и y в параксиальном уравнении Гельмгольца , записанном в декартовых координатах . [19] Таким образом, учитывая моду порядка ( l , m ) , относящуюся к направлениям x и y , амплитуда электрического поля в точках x , y , z может быть определена как:
Последние два фактора объясняют пространственное изменение по x (или y ). Четвертый фактор — это полином Эрмита порядка J («физическая форма», т.е. H 1 ( x ) = 2 x ), а пятый отвечает за гауссовское спад амплитуды exp(− x 2 / w ( z ) 2 ) , хотя это неочевидно, если использовать комплекс q в показателе степени. Расширение этой экспоненты также дает фазовый коэффициент в x , который учитывает кривизну волнового фронта ( 1/ R ( z ) ) в точке z вдоль луча.
Режимы Эрмита-Гаусса обычно обозначаются как «TEM lm »; Таким образом, фундаментальный гауссов пучок можно назвать TEM 00 (где TEM — поперечное электромагнитное излучение ). Умножив u l ( x , z ) и um ( y , z ) , чтобы получить профиль двумерного режима, и удалив нормализацию так, чтобы ведущий фактор назывался просто E 0 , мы можем написать режим ( l , m ) в более доступной форме:
В этой форме параметр w 0 , как и раньше, определяет семейство мод, в частности, масштабирует пространственную протяженность перетяжки основной моды и всех других моделей мод при z = 0 . Учитывая, что w 0 , w ( z ) и R ( z ) имеют те же определения, что и для фундаментального гауссова луча, описанного выше. Видно, что при l = m = 0 мы получаем описанный ранее фундаментальный гауссов пучок (поскольку H 0 = 1 ). Единственная специфическая разница в профилях x и y при любом z связана с коэффициентами полинома Эрмита для порядковых номеров l и m . Однако есть изменение в эволюции фазы Гуи мод по z :
где объединенный порядок моды N определяется как N = l + m . Хотя фазовый сдвиг Гуи для фундаментальной (0,0) гауссовской моды изменяется только на ± π /2 радиан по всем z (и только на ± π /4 радиан между ± z R ), он увеличивается в раз N + 1 для мод высшего порядка. [10]
Эрмитовые гауссовы моды с их прямоугольной симметрией особенно подходят для модального анализа излучения лазеров, конструкция резонатора которых асимметрична в прямоугольной форме. С другой стороны, с лазерами и системами с круговой симметрией лучше обращаться, используя набор мод Лагерра-Гаусса, представленный в следующем разделе.
Профили пучка, имеющие круговую симметрию (или лазеры с цилиндрически-симметричными резонаторами), часто лучше всего решать с помощью модального разложения Лагерра-Гаусса. [6] Эти функции записаны в цилиндрических координатах с использованием обобщенных полиномов Лагерра . Каждая поперечная мода снова помечается двумя целыми числами, в данном случае радиальным индексом p ≥ 0 и азимутальным индексом l , который может быть положительным или отрицательным (или нулевым): [20]
где L p l — обобщенные полиномы Лагерра . СLG
лп– необходимая константа нормализации:
w ( z ) и R ( z ) имеют те же определения, что и выше. Как и в случае с модами Эрмита-Гаусса более высокого порядка, величина фазового сдвига Гуи мод Лагерра-Гаусса преувеличена в коэффициент N + 1 :
В эллиптических координатах можно записать моды более высокого порядка, используя полиномы Ince . Четные и нечетные моды Инса-Гаусса задаются формулой [7]
Существует еще один важный класс параксиальных волновых мод в цилиндрических координатах , в которых комплексная амплитуда пропорциональна вырожденной гипергеометрической функции .
Эти моды имеют сингулярный фазовый профиль и являются собственными функциями орбитального углового момента фотона . Их профили интенсивности характеризуются одним блестящим кольцом; как и моды Лагерра – Гаусса, их интенсивности падают до нуля в центре (на оптической оси), за исключением основной (0,0) моды. Комплексную амплитуду моды можно записать через нормированную (безразмерную) радиальную координату ρ = r / w 0 и нормированную продольную координату Ζ = z / z R следующим образом: [21]
где индекс вращения m является целым числом и имеет действительное значение, Γ( x ) является гамма-функцией и 1 F 1 ( a , b ; x ) является вырожденной гипергеометрической функцией.
Некоторые подсемейства гипергеометрическо-гауссовских мод (HyGG) можно перечислить как модифицированные моды Бесселя-Гаусса, модифицированные экспоненциальные гауссовские моды [21] и модифицированные моды Лагерра-Гаусса.
Набор гипергеометрическо-гауссовских мод является сверхполным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на сложный профиль поля, моды HyGG имеют очень простой профиль в перетяжке пучка ( z = 0 ):